Application multilinéaire

En algèbre linéaire, une application multilinéaire est une fonction mathématique à plusieurs variables vectorielles qui est linéaire en chaque variable.

Quelques exemples :

• Le produit scalaire est une fonction bilinéaire symétrique à deux variables vectorielles,
• Le déterminant est une fonction multilinéaire antisymétrique des colonnes (ou rangées) d'une matrice carrée.

La discussion générale des sujets auxquels cela mène est à algèbre multilinéaire.

Forme k-linéaire

Soit k>1 un entier. Soit E un K-espace vectoriel. Une forme k-linéaire sur E est une application de E^k dans K, linéaire en chaque variable. Ainsi pour des vecteurs x₁, ..., x_k, x'_i et des scalaires a et b

$f(x_{1},\dots ,x_{i-1},ax_{i}+bx'_{i},x_{i+1},\dots ,x_{k})=af(x_{1},\dots ,x_{k})+bf(x_{1},\dots ,x'_{i},\dots x_{k})$

Il ne faut pas confondre cette notion avec celle d'application linéaire de E^k dans K. Pour une telle application on aurait en effet

$f(ax_{1}+bx'_{1},\dots ,ax_{k}+bx'_{k})=af(x_{1},\dots ,x_{k})+bf(x'_{1},\dots ,x'_{k})$

De façon informelle, il faut se représenter une application k-linéaire comme une application produit de k termes, avec une propriété de type distributivité.

Écriture en composantes

Si l'espace E est de dimension finie n et muni d'une base e₁, ..., e_n, on peut décomposer chaque vecteur

$x_{j}=\sum _{i=1}^{n}X_{i,j}e_{i}$

Alors l'expression d'une forme k-linéaire sur le k-uplet x₁, ..., x_k devient

$f(x_{1},\dots ,x_{k})=f\left(\sum _{i_{1}=1}^{n}X_{i_{1},1}e_{i_{1}},\dots ,\sum _{i_{k}=1}^{n}X_{i_{k},k}e_{i_{k}}\right)=\sum _{i_{1}=1}^{n}\dots \sum _{i_{k}=1}^{n}\prod _{j=1}^{k}X_{i_{j},j}f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{k}})$

La connaissance des n^k valeurs $f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{k}})$ détermine entièrement la forme k-linéaire f.

Les formes k-linéaires alternées sur un espace vectoriel E de dimension n forment donc un espace vectoriel L_k(E), de dimension n^k.