Voir la source de Physique statistique hors d'équilibre

{{Infobox Discipline
|image = Brownianmotion5particles150frame.gif
|légende = Le [[mouvement brownien]].
}}

La '''physique statistique hors d'équilibre''' étudie les phénomènes de relaxation et de transport au voisinage de l'[[équilibre thermodynamique]]. Il s'agit là de phénomènes dissipatifs donc [[Réversibilité thermodynamique|irréversibles]], liés à une augmentation de l'[[Entropie (thermodynamique)|entropie]].

À la différence de la [[thermodynamique hors équilibre]] les méthodes utilisées relèvent du domaine de la [[physique statistique]] et permettent de donner les lois caractérisant un phénomène ainsi que les coefficients présents dans ces lois par l'étude des fluctuations dans le milieu au voisinage de l'[[équilibre thermodynamique]].

Dans cet article on adopte la [[convention de sommation d'Einstein]].

== Histoire ==

À la fin du {{s-|XIX}} la thermodynamique va voir un extraordinaire développement avec les travaux de [[Rudolf Clausius]] qui établit la [[seconde loi de la thermodynamique]] et introduit la notion d'[[Entropie (thermodynamique)|entropie]] en 1862<ref>{{article|langue=en|nom= [[Rudolf Clausius]]|date=1862|titre=On the Application of the Theorem of the Equivalence of Transformations to Interior Work to a Mass of Matter|périodique= [[Philosophical Magazine|Philosophical Magazine and Journal of Sciences]]}}.</ref>. Cette théorie trouvera son pendant en théorie cinétique des gaz avec les travaux de [[Ludwig Boltzmann]] en 1872 ([[théorème H]]) et 1877 ([[formule de Boltzmann]])<ref>{{Ouvrage|langue=en|langue originale=de|nom1=[[Ludwig Boltzmann]]|titre=Lectures on Gas Theory|lieu=New York|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=1964|pages totales=490|isbn=0-486-68455-5|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=-I7QzCXnstEC}}.</ref>.

En 1866 [[James Clerk Maxwell]] publie la [[Équations de Stefan-Maxwell|loi de diffusion]] dans un milieu à plusieurs espèces<ref name="Maxwell">{{Ouvrage|langue=en|nom1=[[James Clerk Maxwell]]|titre=The Scientific Papers of J. C. Maxwell|sous-titre=On the dynamical theory of gases|volume=2|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=1965|pages totales=26–78|lire en ligne=http://strangebeautiful.com/other-texts/maxwell-scientificpapers-vol-ii-dover.pdf}}.</ref>.

[[Albert Einstein]]<ref>{{article| langue=de| nom=[[Albert Einstein]]| titre =  Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen| périodique = [[Annalen der Physik]]| volume=322| numéro=8| année=1905| pages=549–560| issn =0003-3804 | url texte =http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_549-560.pdf |doi   =10.1002/andp.19053220806 }}.</ref> en 1905 et [[Paul Langevin]]<ref>{{article|nom=[[Paul Langevin]]|titre= Sur la théorie du mouvement brownien|périodique= [[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences|Comptes-rendus de l'Académie des Sciences]]|volume=146|année=1908|pages= 530-532|url= https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3100t/f530 Lire en ligne sur Gallica}}.</ref> en 1908 donnent la description du [[mouvement brownien]] conduisant au premier calcul d'un coefficient de transport. À la même époque [[Marian Smoluchowski]] développe les méthodes associées aux processus aléatoires<ref>{{article|nom=[[Marian Smoluchowski]]|titre=Sur le chemin moyen parcouru par les molécules d'un gaz et sur son rapport avec la théorie de la diffusion|journal=Bulletin International de L'Académie de Cracovie|année=1906|volume=1|pages=202-213|url=https://archive.org/stream/bulletininternat1906pols#page/202/mode/2up}}.</ref>.

[[Willard Gibbs]] (1902)<ref>{{Gibbs1902}}.</ref> et [[Albert Einstein]] (1910)<ref>{{article|langue=de|auteur=[[Albert Einstein]]|titre=Theorie der Opaleszenz von homogenen Flüssigkeiten und Flüssigkeitsgemischen in der Nähe des kritischen Zustandes|journal=[[Annalen der Physik]]|série=4|volume=33|pages=1275–1298|année=1910|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k153366/f1295.item.r=einstein}}.</ref> établissent la théorie des fluctuations autour de l'équilibre.

Les progrès ultérieurs seront liés à la connaissance des processus aléatoires avec [[Norbert Wiener]]<ref>{{article|langue=en|nom=[[Norbert Wiener]]|titre=Generalized Harmonic Analysis|journal=[[Acta Mathematica]]|année=1930|volume=55|pages=117–258}}.</ref> (1930) et [[Alexandre Khintchine]]<ref>{{article|langue=de|nom=[[Alexandre Khintchine]]|titre=Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse |journal=[[Mathematische Annalen]]|année=1934 |volume=109 |numéro=1 |pages=604–615 |doi=10.1007/BF01449156 }}.</ref> (1934) qui démontrent le [[Théorème de Wiener-Khintchine|théorème qui porte leur nom]], [[Herbert Callen]] et [[Theodore Welton]] pour le [[théorème de fluctuation-dissipation]] (1951)<ref>{{article|langue=en|nom1=[[Herbert Callen|Herbert B. Callen]]|nom2=[[Theodore Welton|Theodore A. Welton]]|titre=Irreversibility and Generalized Noise|périodique=[[Physical Review]]|volume=83|numéro=1|année=1951|pages=34-40}}.</ref>, [[Melville Green]] (1954)<ref>{{article|langue=en|auteur=[[Melville Green|Melville S. Green]]|titre=Markoff Random Processes and the Statistical Mechanics of Time-Dependent Phenomena. II. Irreversible Processes in Fluids|périodique=[[Journal of Chemical Physics]]|volume=22|année=1954|pages=398–413|DOI=10.1063/1.1740082}}.</ref> et [[Ryogo Kubo]] (1957)<ref>{{article|langue=en|auteur=[[Ryogo Kubo]]|titre=Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems|périodique=[[Journal of the Physical Society of Japan]]|volume=12|année=1957|pages=570–586}}.</ref> pour leurs travaux sur le lien entre coefficients de transport et propriétés temporelles du système ([[relation de Green-Kubo]]).

== Ensemble de Gibbs, variables conservatives, fluctuations ==
Les systèmes auxquels on s'intéresse, qu'ils soient solides, liquides ou gazeux, sont constitués d'un très grand nombre de particules. À l'équilibre il est décrit par un nombre faible de variables [[Extensivité et intensivité (physique)|extensives]] (conservatives) décrivant une collection d'états du système appelé '''ensemble de Gibbs'''. L'ensemble des états microscopiques contenus dans cet ensemble est décrit à chaque instant par une [[fonction de distribution]] ([[densité de probabilité]] conjointe) <math>f</math> dans l'[[espace des phases]] que l'on supposera normalisée à 1. Si l'on se limite à des particules sans degré de liberté interne, celles-ci sont décrites par leurs positions <math>\mathbf{x}_i</math> et leur [[quantité de mouvement]] <math>\mathbf{p}_i</math>. Les valeurs macroscopiques temporelles de chaque variable conservative <math>A_i</math> sont définies par les moments :
* d'ordre 0 (valeur moyenne) :
::<math>A_i(\mathbf{x},t)=\langle a_i \rangle:=\int_V\int_0^\infty a_i(\mathbf{x},\mathbf{p})f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,\mathrm{d}\mathbf{p}\,\mathrm{d}\mathbf{x}</math>
::<math>V</math> étant le [[Volume#Volume élémentaire|volume élémentaire]] définissant l'ensemble de Gibbs.
* d'ordre 2, caractérisant les [[Corrélation (statistiques)|corrélations]] des écarts aux valeurs moyennes :
** la [[Variance (statistiques et probabilités)|variance]] : <math>\langle a_ia_j\rangle</math> ;
** la [[covariance]] : <math>\langle (a_i- A_i )(a_j-A_j ) \rangle=\langle a_ia_j\rangle-\langle a_i\rangle\langle a_j\rangle</math>.

== La distribution gaussienne ==
Outre la généralité de cette [[fonction de distribution|distribution]] telle que l'établit le [[théorème central limite]], celle-ci peut être obtenue à partir d'arguments thermodynamiques.

=== Obtention de la distribution ===
À l'équilibre thermodynamique, la [[Formule de Boltzmann|loi de Boltzmann]] permet de lier la fonction de distribution à l'[[Entropie (thermodynamique)|entropie]] <math>S</math> par :
:<math>f(a_i)=Ce^{\frac{S(a_i)}{k}}</math>
<math>S</math> est une fonction positive, [[Fonction convexe|concave]], continûment différentiable<ref name="Callen">{{Ouvrage|langue=en|nom1=[[Herbert Callen|Herbert B. Callen]]|titre=Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|année=1985|pages totales=512|isbn=0-471-86256-8|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=m_39DwAAQBAJ}}.</ref> et l'équilibre est défini par <math>\left.\frac{\partial S}{\partial A_i}\right|_{S=S_0}=0</math>

On peut donc écrire un développement en [[série de Taylor]] conduisant à une [[Fonction gaussienne|distribution gaussienne]] des fluctuations des valeurs à l'équilibre <math>x_i=a_i-A_{i_0}</math> :
:<math>f\simeq C\mathrm{e}^{\frac{S_0(A_{i_0})}{k}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\beta_{ij}x_ix_j}\,,\;\;\;\beta_{ij}=-\frac{1}{k}\frac{\partial^2 S}{\partial A_i \partial A_j}\ge 0</math>

la matrice <math>\boldsymbol{\beta}=\beta_{i,j}</math> est symétrique semi-[[Matrice définie positive|définie positive]] et la [[Norme (mathématiques)|normalisation]] de f permet d'obtenir la constante<ref name="Landau">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Lev Landau]]|auteur2=[[Evgueni Lifchits]]|titre=Course of Theoretical Physics Volume 5|sous-titre=Statistical Physics|éditeur=[[Pergamon Press]]|année=1969|lire en ligne=https://ia600709.us.archive.org/19/items/ost-physics-landaulifshitz-statisticalphysics/LandauLifshitz-StatisticalPhysics.pdf}}.</ref> :
:<math>\int_{-\infty}^\infty ...\int_{-\infty}^\infty f\,\mathrm{d}x_1...\mathrm{d}x_N=1\;\;\;\Rightarrow\;\;\;Ce^{\frac{S_0}{k}}=\frac{\sqrt{\det \boldsymbol{\beta}}}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}</math>
Si les fluctuations sont indépendantes alors <math>\boldsymbol{\beta}</math> est diagonale et <math>\boldsymbol{\beta}^{-1}</math> est la matrice des covariances.

=== Propriétés ===
On définit les quantités thermodynamiques conjuguées par :
:<math>X_i=-\frac{\partial S}{\partial x_i}=\beta_{ij}x_j</math>
On peut montrer<ref name="Landau"/> une relation importante de ces quantités avec les fluctuations :
:<math>\langle X_ix_j \rangle=\frac{\sqrt{\det \boldsymbol{\beta}}}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\int_{-\infty}^\infty ...\int_{-\infty}^\infty x_i\beta_{jl}x_l\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\beta_{mn}x_mx_n}\,\mathrm{d}x_1...\mathrm{d}x_N=\delta_{ij}</math>
Cette propriété constitue un résultat important pour l'établissement des [[relations de réciprocité d'Onsager]].

En utilisant l'équation de définition de <math>X_i</math> on obtient :
:<math>\langle x_ix_j \rangle=(\boldsymbol{\beta})^{-1}_{ij}\,,\;\;\;\langle X_iX_j \rangle=\beta_{ij}</math>

On définit une approximation linéaire des fluctuations de la variable thermodynamique g par :
:<math>\Delta g=\frac{\partial g}{\partial x_i}x_i</math>
On peut calculer la moyenne quadratique :
:<math>\langle (\Delta g)^2 \rangle=\frac{\partial g}{\partial x_i}\frac{\partial g}{\partial x_j}\langle x_ix_j \rangle</math>
On peut ainsi exprimer les fluctuations des quantités thermodynamiques fondamentales<ref name="Landau"/>{{,}}<ref name="de Groot">{{Ouvrage|langue=en|nom1=Sybren Ruurds de Groot|nom2=[[Peter Mazur]]|titre=Nonequilibrium Thermodynamics|lieu=New York|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=2011|pages totales=510|isbn=978-0-486-64741-8|isbn2=0-486-64741-2|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=HFAIv43rlGkC}}.</ref>, par exemple la vitesse ou la température :
:<math>\langle (\Delta v_x)^2 \rangle=\frac{kT}{m}\,,\;\;\;\langle (\Delta T)^2 \rangle=\frac{RT^2}{MC_V}</math>
où <math>R</math> est la [[Constante universelle des gaz parfaits|constante universelle des gaz]], <math>M</math> la [[masse molaire]] et <math>C_V</math> est la [[Capacité thermique massique|chaleur spécifique à volume constant]]. L'expression pour la vitesse peut être trouvée directement par le calcul à partir de la [[Loi de distribution des vitesses de Maxwell|distribution maxwellienne des vitesses]].

La fluctuation relative de la température peut être calculée (<math>\gamma = C_P / C_V</math>):
:<math>\frac{\sqrt{\langle (\Delta T)^2 \rangle}}{T}=\sqrt{\gamma-1}</math>

== Processus temporel ==
=== Processus aléatoires gaussiens ===

L'évolution de l'ensemble de Gibbs en <math>\mathbf{x}</math> obéit à un [[processus aléatoire]] (ou stochastique) caractérisé par l'évolution <math>g(t)</math>. Dans nombre de cas ce processus peut être supposé :
* gaussien : les densités conjointes sont des [[fonction de distribution|distributions]] maxwelliennes (gaussiennes) ;
* stationnaire : les densités sont indépendantes de l'[[Échantillonnage (signal)|échantillonage]] en temps ;
* ergodique en moyenne : toute réalisation du processus ([[Échantillon (statistiques)|échantillon]]) caractérise complètement celui-ci. Ceci s'exprime en disant que la moyenne
::<math>\overline{g}=\lim_{\tau\mapsto \infty}\frac{1}{\tau}\int_{t}^{t+\tau}g(t')\mathrm{d}t'</math>
:est indépendante de <math>t</math>.

De plus l'analyse harmonique<ref name="Pottier">{{Ouvrage|langue=fr|nom1=Noëlle Pottier|titre=Physique statistique hors d'équilibre|sous-titre=processus irréversibles linéaires|lieu=Les Ulis/Paris|éditeur=[[EDP Sciences]]/[[CNRS Éditions]]|année=2007|pages totales=524|isbn=978-2-86883-934-3|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=RcVor7dLy74C&pg=PA238}}.</ref> montre que les descriptions temporelle et en moyenne d'ensemble sont équivalentes :
:<math>\overline{g}=\langle g \rangle</math>

=== Fonction de corrélation, densité spectrale ===
On peut décomposer la [[fonction de distribution|distribution]] composée par une réalisation <math>g(t)</math> dans l'intervalle <math>\left[ 0,T \right]</math> et 0 au dehors en série de Fourier<ref name="Pottier"/> :
:<math>g(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_i\mathrm{e}^{-i\omega_nt}\,,\;\;\;\omega_n=\frac{2\pi n}{T}\,,\;\;\;0\le t\le T.</math>
On peut alors définir la transformation du processus <math>G(t)</math> dont <math>g(t)</math> est une réalisation par :
:<math>G(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty B_i\mathrm{e}^{-i\omega_nt},\;\;\;0\le t\le T.</math>
Les coefficients <math>B_n</math> sont des combinaisons linéaires des <math>b_n</math>. Ce sont des variables aléatoires indépendantes.

La fonction de corrélation pour les fluctuations des processus <math>G_i</math> est définie par :
:<math>C_{ij}(\mathbf{x},\mathbf{x}',t-t')=\langle G_i(\mathbf{x},t)G_j(\mathbf{x}',t') \rangle</math>
On s'intéresse plus particulièrement aux fonctions d'autocorrélation <math>C_{ii}</math> qui permet de mesurer l'étendue temporelle des corrélations. Dans le cas d'un processus gaussien :
:<math>C(\tau)=\frac{1}{2\tau_c} \mathrm{e}^{-\frac{\tau}{\tau_c}}</math>
<math>\tau_c</math> est le temps de corrélation. La [[densité spectrale]] de puissance du processus est dès lors connue par le [[théorème de Wiener–Khintchine]] :
:<math>\Gamma(\omega)=\frac{\omega_c^2}{\omega^2+\omega_c^2}\,,\;\;\;\omega_c=\tau_c^{-1}</math>
On a de façon évidente :
:<math>C(\tau_i-\tau_j)C(\tau_j-\tau_k)=C(\tau_i-\tau_k)</math>
Un processus qui obéit à cette relation est [[Processus de Markov à temps continu|markovien]] d'après le [[théorème d'arrêt de Doob]].

== Réponse linéaire d'un système au voisinage de l'équilibre thermodynamique ==
{{article détaillé|Théorie de la réponse linéaire}}
=== Susceptibilité ===

On suppose un système à l'équilibre perturbé par un champ externe. La perturbation est décrite par l'[[Mécanique hamiltonienne|hamiltonien]] perturbatif<ref name="de Groot"/>{{,}}<ref name="Pottier"/> :
:<math>\mathcal{H}(t)=-\alpha(t)A</math>
où <math>A</math> est la [[Thermodynamique hors équilibre#Définitions et postulats|grandeur conjuguée]] associée à <math>\alpha</math>.

On cherche à connaître la réponse de <math>A</math> à une telle fluctuation, dans le domaine linéaire. Celle-ci est le [[produit de convolution]] :
:<math>\langle A \rangle=\int_{-\infty}^t \tilde{\chi}(t-t')\,\alpha(t')\,dt'</math>
<math>\tilde{\chi}</math> est la [[Réponse en fréquence|fonction de réponse]] invariante en temps et [[Causalité (physique)|causale]] : elle ne dépend que de <math>t - t'</math> et est nulle pour <math>t' > t</math>. En supposant une perturbation impulsionnelle, on peut intégrer l'équation :
:<math>\langle A \rangle=\tilde{\chi}(t)</math>
<math>\tilde{\chi}</math> est donc la [[réponse impulsionnelle]] ou [[fonction de Green]] retardée, qui ne dépend que des propriétés du système non perturbé.

On prendra à présent la perturbation sous forme d'une fonction harmonique <math>\alpha=\mathcal{R}e\left(e^{-i\omega t}\right)</math> :
:<math>
\begin{array}{rcl}
\langle A(t) \rangle & = & \int_{-\infty}^t \tilde{\chi}(t-t')\mathcal{R}e\left(e^{-i\omega t}\right)\mathrm{d}t'   \\   [0.6em]
                     & = & \mathcal{R}e\left[e^{-i\omega t}\int_0^\infty \tilde{\chi}(\tau)e^{-i\omega \tau}\mathrm{d}\tau\right]   \\   [0.6em]
                     & = & \mathcal{R}e\left[e^{-i\omega t}\chi(\omega)\right]
\end{array}
</math>
où l'on a introduit la [[transformée de Fourier]] au sens des [[Distribution (mathématiques)|distributions]] :
:<math>\chi(\omega)=\chi'+\mathrm{i} \chi''=\mathcal{F}\left(\tilde{\chi}\right)=\int_0^\infty \tilde{\chi}(t)e^{-i\omega t}dt</math>
Les parties réelle <math>\chi'</math> et imaginaire <math>\chi''</math> de <math>\chi</math> obéissent aux [[relations de Kramers-Kronig]].

=== Dissipation ===
La puissance instantanée reçue par le système soumis au champ <math>\alpha (t)</math> harmonique est :
:<math>W=\alpha(t)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle A \rangle=\omega \cos \omega t\left(-\chi'\sin \omega t+\chi'' \cos \omega t\right)</math>
dont la valeur moyenne vaut :
:<math>\overline{W}=\frac{1}{2}\omega \chi''</math>
La dissipation est donc liée à la partie imaginaire de la fonction d'autocorrélation de la fluctuation : c'est le [[théorème de fluctuation-dissipation]].

== Un exemple classique : le mouvement brownien ==
Le [[mouvement brownien]] se définit par le mouvement stochastique d'une particule de faible dimension dans un fluide. Il est représenté par l'[[équation de Langevin]] :
:<math>m\frac{\mathrm{d}\mathbf{V}}{\mathrm{d} t}=-m\beta \mathbf{V}+F(t)</math>

* <math>\mathbf{V}</math> vitesse ;
* <math>m</math> masse ;
* <math>\beta</math> coefficient lié à la traînée (donnée par exemple par la [[loi de Stokes]]) ;
* <math>F</math> force aléatoire résultant des chocs avec les molécules.

On suppose que :
* <math>F(t)</math> est de moyenne nulle :
:<math>\langle F(t) \rangle=0</math>,
* <math>F(t)</math> obéit à un processus gaussien de temps caractéristique <math>\tau_C<<\beta^{-1}</math>. On assimilera donc la fonction d'autocorrélation à une fonction de Dirac :
:<math>C(\tau)=\int_{-\infty}^\infty \langle F(t)F(t+\tau)\rangle \mathrm{d}\tau=D \delta(\tau)</math>
La résolution de l'équation de Langevin pour une vitesse initiale <math>V_0</math> est la suivante<ref>{{lien web|auteur=Bertrand Duplantier|sous-titre=Le mouvement brownien|date=2005|titre=Séminaire Poincaré ''Einstein, 1905-2005''|url=http://www.bourbaphy.fr/avril2005.html}}.</ref> :
:<math>V=V_0e^{-\beta t}+\frac{1}{m}\int_0^t F(t')e^{-\beta (t-t')}dt'</math>
Soit en moyenne :
:<math>\langle V \rangle = V_0 \mathrm{e}^{-\beta t}</math>
La vitesse moyenne relaxe vers 0 avec un temps caractéristique <math>\beta^{-1}</math>.

On peut également calculer la variance :
:<math>\sigma^2=\langle V(t)-\langle V(t)\rangle \rangle=\frac{D}{2m^2\beta}\left(1-e^{-2\beta t}\right)</math>
Aux temps grands :
:<math>\sigma^2 \simeq \frac{D}{2m^2\beta}\,,\;\;\;t>>\tau_C</math>
On peut également écrire la variance sous la forme :
:<math>\sigma^2=\langle V^2(t)\rangle-\langle V(t)\rangle^2</math>
L'énergie moyenne est :
:<math>\langle E(t) \rangle=\frac{m}{2}\langle V^2(t) \rangle</math>
La limite de cette quantité aux temps longs est :
:<math>\langle E(t) \rangle \simeq \frac{D}{4m\beta}\,,\;\;\;t>>\tau_C</math>
L'équipartition de l'énergie avec les particules environnantes permet d'écrire :
:<math>\langle E \rangle=\frac{kT}{2}</math>
D'où l'expression de <math>\beta</math> :
:<math>\beta=\frac{D}{2mkT}=\frac{C\delta(\tau)}{2mkT}</math>
Cette relation qui lie le coefficient de frottement à la fonction d'autocorrélation illustre la [[relation de Green-Kubo]].

== Références ==
<references/>

== Ouvrages de référence ==
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Ryōgo Kubo]]|auteur2=Morikazu Toda|auteur3=Natsuki Hashitsume|titre=Statistical Physics II|sous-titre=Nonequilibrium Statistical Mechanics|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]|année=1991|pages totales=279|isbn=978-3-642-58244-8|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=cF3wCAAAQBAJ}}
* {{Ouvrage|langue=en|nom1=Byung Chan Eu|titre=Generalized Thermodynamics. The Thermodynamics of Irreversible Processes and Generalized Hydrodynamics|éditeur=[[Wolters Kluwer|Kluwer Academic Publishers]]|année=2002|pages totales=342|isbn=1-4020-0788-4|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=5eNfUI27mwcC}}
* {{Ouvrage|langue=en|nom1=P. Glansdorff|nom2=[[Ilya Prigogine]]|titre=Thermodynamic Theory of Structure, Stability, and Fluctuations|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley-Interscience]]|année=1971|isbn=0-471-30280-5|lire en ligne=http://tocs.ulb.tu-darmstadt.de/193921839.pdf}}
* {{Ouvrage|langue=en|nom1=Walter T. Grandy Jr|titre=Entropy and the Time Evolution of Macroscopic Systems|lieu=Oxford|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=2008|pages totales=209|isbn=978-0-19-954617-6|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=jgsUDAAAQBAJ}}
* {{Ouvrage|langue=en|nom1=István Gyarmati|titre=Non-equilibrium Thermodynamics. Field Theory and Variational Principles|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=1967|pages totales=184|isbn=978-3-642-51067-0|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=OILuCAAAQBAJ}}
* {{Ouvrage|langue=en|nom1=[[Dimitri Zubarev|Dimitrii Zubarev]]|titre=Nonequilibrium Statistical Thermodynamics|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=1974|isbn=0-306-10895-X}}.
* {{Ouvrage|langue=en|nom1=[[Dimitri Zubarev|Dimitrii Zubarev]]|nom2=Vladimir Morozov|nom3=Gerd Röpke|titre=Statistical Mechanics of Nonequilibrium Processes|sous-titre=Basic Concepts, Kinetic Theory|éditeur=Academie Verlag|année=1996|pages totales=375|isbn=978-3-05-501708-7}}
* {{Ouvrage|langue=en|nom1=[[Dimitri Zubarev|Dimitrii Zubarev]]|nom2=Vladimir Morozov|nom3=Gerd Röpke|titre=Statistical Mechanics of Nonequilibrium Processes|sous-titre=Relaxation and Hydrodynamic Processes|éditeur=Academie Verlag|année=1997|isbn=}}

== Articles connexes ==
* [[Théorie cinétique des gaz]]
* [[Hiérarchie BBGKY]]
* [[Température négative]]
* [[Fluctuations thermodynamiques]]

{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Physique statistique]]
[[Catégorie:Thermodynamique]]