Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès s'est davantage intéressé aux angles opposés dans des droites sécantes, aux triangles isocèles et aux cercles circonscrits. Les Anglo-Saxons nomment d'ailleurs théorème de Thalès une propriété plus proche de la réalité historique (voir théorème de Thalès (cercle)).

Cette propriété de proportionnalité était connue des Babyloniens. Mais la première démonstration de ce théorème est attribuée à Euclide qui la présente dans ses Éléments (proposition 2 du livre VI) : il le démontre par proportionnalité d'aires de triangles de hauteur égale. La preuve de ce théorème est triviale quand on dispose du calcul vectoriel.

Le Théorème de Thalès sert notamment à calculer des longueurs dans un triangle, à condition d'avoir deux droites parallèles.

Selon la légende, une application a été de calculer la hauteur des pyramides d'Égypte en mesurant la longueur de l'ombre au sol de chaque pyramide, et la longueur de l'ombre d'un bâton de hauteur donnée.

Énoncés

Triangles homothétiques

La propriété dite « petite propriété de Thalès » concerne un triangle coupé par une droite parallèle à l'un de ses côtés.

Cette propriété (ainsi que sa réciproque) est généralisée (appelée dorénavant : « théorème de Thalès ») avec deux triangles partageant un même sommet, ayant chacun deux côtés dans le prolongement l'un de l'autre et leur troisième côté parallèle.

Pour résumer, lorsque nous sommes dans une situation telle que nous avons :

• deux droites sécantes,
• deux points supplémentaires sur chacune des deux droites,
• deux droites parallèles passant par ces points,

nous pouvons appliquer le théorème de Thalès qui énonce que le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour chacun des deux segments des 2 droites sécantes et le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour les segments qui représentent les droites parallèles sont égaux.

Dans les deux cas, les droites (DE) et (BC) sont parallèles ((DE)//(BC))
et nous avons les égalités :

${\frac {AD}{AB}}={\frac {AE}{AC}}={\frac {DE}{BC}}$

L'utilisation de ce théorème est plutôt visible et directe : le nombre de conditions nécessaires à son application est faible (mais pas négligeable) et on pourra souvent l'utiliser.

Il permettra par exemple de calculer la longueur de certains segments manquants.

En effet, chaque segment peut se déduire de la mesure de trois autres. Par exemple :

$AD={\frac {AB\times AE}{AC}}={\frac {AB\times DE}{BC}}$

et

$AB={\frac {AD\times AC}{AE}}={\frac {AD\times BC}{DE}}$

Ou bien de prouver que deux droites ne sont pas parallèles. En effet si l'une des trois égalités n'est pas vérifiée alors forcément les droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles. Par exemple : si ${\frac {AD}{AB}}\not ={\frac {AE}{AC}}$ ou si ${\frac {AD}{AB}}\not ={\frac {DE}{BC}}$ ou si ${\frac {AE}{AC}}\not ={\frac {DE}{BC}}$

Enseignement

• Dans les pays anglo-saxons ainsi qu'en Allemagne, l'approche est différente et l'énoncé est : « un angle inscrit dans un demi-cercle est droit » - voir l'article théorème de Thalès anglo-saxon.
• En France, la « petite propriété de Thalès » est enseignée dès la classe de quatrième. Le « théorème de Thalès » a proprement parler est généralisé en troisième.
• En Suisse, le théorème est principalement approché grâce à la « petite propriété de Thalès » française. Le « théorème de Thalès suisse » exprime par contre la hauteur dans un triangle rectangle. [1]

Segments homologues

En réalité, le théorème de Thalès concerne une propriété plus générale:

Trois droites parallèles déterminent sur deux sécantes (quelconques) des segments homologues proportionnels.

Autrement :

Si trois droites parallèles rencontrent deux droites (d) et (d'), respectivement et dans cet ordre, en A, B, C et A', B', C', alors :

${\frac {A'B'}{AB}}={\frac {B'C'}{BC}}={\frac {A'C'}{AC}}$

En permutant les termes moyens des fractions, on peut faire naître d'autres égalités de rapports :

${\frac {A'B'}{B'C'}}={\frac {AB}{BC}}\qquad {\frac {B'C'}{A'C'}}={\frac {BC}{AC}}\qquad {\frac {A'B'}{A'C'}}={\frac {AB}{AC}}$

Ces rapports traduisent la propriété suivante : la projection d'une droite sur une autre, suivant une direction donnée, conserve les proportions.

Remarque : Attention si $A\not =A'$ il ne faut surtout pas utiliser les rapports utilisant les segments rouges comme c'est le cas avec les triangles homothétiques.

Démonstrations

Par les aires

Figure de la preuve

La démonstration de ce théorème a été donnée par Euclide dans le livre VI de ses Éléments, proposition 2.

La voici retouchée en notation et vocabulaire modernes, les passages dans le style euclidien bénéficieront d’un alinéa.

Les triangles ADE et CDE sont entre eux comme leurs bases AE et EC sont entre elles.

Les aires des triangles ADE et CDE sont respectivement ½AE×h’ et ½CE×h’, en effet, ils ont la même hauteur h’.

Les triangles BDE et CDE ont même aire car ils ont même base DE et même hauteur puisque (BC) est parallèle à (DE)

De même ADE est à BDE comme leurs bases AD et DB sont entre elles.

La troisième hauteur n’est pas dessinée, mais c’est la même chose qu’au début de la preuve.

Récapitulons dans un tableau de proportionnalités :

AE	ADE	ADE	AD
CE	CDE	BDE	BD

AE est à CE comme ADE est à CDE.
Or CDE=BDE donc ADE est à CDE comme ADE est à BDE.
Enfin ADE est à BDE comme AD est à BD.
Donc on obtient une chaîne d’égalités de rapports, on a donc l’égalité des rapports extrêmes, soit AE est à CE comme AD est à BD.

Soit ${\frac {AE}{CE}}={\frac {AD}{BD}}$

Pour revenir à la forme plus classique de segments d'origine A, il faut travailler sur le tableau de proportionnalité suivant :

AE	CE	AE + EC
AD	BD	AD + DB

qui permet de dire que ${\frac {AE}{AC}}={\frac {AD}{AB}}$

Fin de la preuve

Pour compléter l'égalité par la dernière fraction, il suffit de tracer une droite (EF) parallèle à (AB) et d'utiliser le théorème de Thalès pour écrire l'égalité des rapports :${\frac {AE}{AC}}={\frac {BF}{BC}}$

Comme BF = DE, on peut conclure sur les égalités : ${\frac {AD}{AB}}={\frac {AE}{AC}}={\frac {DE}{BC}}$

Il resterait à faire des démonstrations analogues dans l'autre configuration.

Quelques remarques :

- Utiliser Thalès pour démontrer Thalès est assez époustouflant !

- On peut travailler directement avec les triangles ADE et ADC d'une part et ADE et AEB d'autre part ? Il est aussi aisé de prouver que l'aire de AEB est égale à l'aire de ADC et l'on obtient ainsi directement l'égalité de quotients souhaitée sans avoir à invoquer un tableau de proportionnalité.

- Enfin, en ce qui concerne les démonstrations analogues qu'il suffit de faire dans l'autre configuration (j'aimerais bien les voir), ne serait-il pas plus simple d'utiliser une symétrie centrale afin de se ramener dans le cas présent ?

Par le calcul vectoriel

Il faut se poser la question de la validité d'une démonstration vectorielle du théorème de Thalès. En effet, la géométrie vectorielle s'appuie souvent sur une définition géométrique des vecteurs, définition dans laquelle le théorème de Thalès joue un rôle prépondérant quand il s'agit d'affirmer que $k({\vec {u}}+{\vec {v}})=k{\vec {u}}+k{\vec {v}}$.

Mais on peut toutefois s'intéresser à une écriture possible du théorème de Thalès et sa justification grâce aux opérations vectorielles. Ce qui pourrait permettre de généraliser le théorème de Thalès à tout espace affine euclidien associé à un espace vectoriel.

Dire que D est sur (AB) c'est écrire qu'il existe un réel x tel que ${\overrightarrow {AD}}=x{\overrightarrow {AB}}$.

De même, dire que E est sur (AC), c'est écrire qu'il existe un réel y tel que ${\overrightarrow {AE}}=y{\overrightarrow {AC}}$.

Enfin, dire que les droites (ED) et (BC) sont parallèles, c'est écrire qu'il existe un réel t tel que ${\overrightarrow {DE}}=t{\overrightarrow {BC}}$.

Les égalités précédentes et la relation de Chasles permettent d'écrire que :

$y{\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {AE}}$

$y{\overrightarrow {AB}}+y{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AD}}+{\overrightarrow {DE}}$

$y{\overrightarrow {AB}}+y{\overrightarrow {BC}}=x{\overrightarrow {AB}}+t{\overrightarrow {BC}}$

L'écriture suivant les vecteurs ${\overrightarrow {AB}}$ et ${\overrightarrow {BC}}$ se doit d'être unique car ces vecteurs sont libres. Donc $y=x\,$ et $y=t\,$

On obtient donc les trois égalités:

${\overrightarrow {AD}}=x{\overrightarrow {AB}}$

${\overrightarrow {AE}}=x{\overrightarrow {AC}}$

${\overrightarrow {DE}}=x{\overrightarrow {BC}}$.

L'avantage de cet énoncé et de cette démonstration est que cela n'oblige pas à traiter les différents cas de configuration évoqués plus haut.

Retour au cas de trois droites parallèles

Il suffit de tracer une droite parallèle à (A'C') passant par A. Elle est coupée par la droite (BB') en E et par la droite (CC') en D. On peut alors lui appliquer le théorème de Thalès :

${\frac {AB}{AC}}={\frac {AE}{AD}}$

Comme AE = A'B' et AD = A'C', on peut remplacer dans l'égalité précédente :

${\frac {AB}{AC}}={\frac {A'B'}{A'C'}}$

En permutant les extrêmes et en complétant par la dernière proportionnalité, on obtient :

${\frac {A'C'}{AC}}={\frac {A'B'}{AB}}={\frac {A'C'-A'B'}{AC-AB}}={\frac {B'C'}{BC}}$

Théorème réciproque

Le théorème de Thalès, dans son sens direct, permet de déduire certaines proportions dès que l'on connaît un certain parallélisme. Sa réciproque permet de déduire un parallélisme dès que l'on connaît l'égalité de certains rapports.

Dans un triangle ABC, si les points A, D, B sont alignés dans cet ordre, si les points A, E, C sont alignés dans cet ordre et si, de plus, les rapports AD/AB et AE/AC sont égaux alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Des théorèmes analogues existent pour des points A, B, D alignés dans cet ordre et pour des points D, A, B alignés dans cet ordre.

Une démonstration géométrique de cette propriété consiste à construire un point E' tel que (DE') soit parallèle à (BC). Alors les points A, E', C sont alignés dans cet ordre et AE'/AC = AD/AB donc il vient que AE' = AE. Or il n'existe qu'un seul point situé entre A et C vérifiant cette propriété donc E' = E et (DE) est parallèle à (BC).

Un énoncé vectoriel de cette réciproque a le mérite d'être beaucoup plus simple à énoncer et à démontrer :

Dans le triangle ABC, s'il existe un réel x et deux points D et E tels que ${\overrightarrow {AD}}=x{\overrightarrow {AB}}$ et ${\overrightarrow {AE}}=x{\overrightarrow {AC}}$ alors les vecteurs ${\overrightarrow {DE}}$ et ${\overrightarrow {BC}}$ ont même direction. Il suffit, pour le prouver, d'utiliser la relation de Chasles :

${\overrightarrow {DE}}={\overrightarrow {DA}}+{\overrightarrow {AE}}$

${\overrightarrow {DE}}=x{\overrightarrow {BA}}+x{\overrightarrow {AC}}$

${\overrightarrow {DE}}=x{\overrightarrow {BC}}$

En revanche, il n'existe pas de réciproque simple dans le cas de trois droites découpant deux droites en segments proportionnels.

Par exemple : si AB et A'B' sont deux segments de milieux respectifs I et I', on a bien AI/AB = A'I'/A'B'= 1/2 sans pour autant que les droites (AA'), (II') et (BB') soient parallèles.

Si, toutefois, deux des droites sont parallèles, la troisième est alors parallèle aux deux autres.

Comment Thalès calcula-t-il la hauteur de la pyramide ?

Une légende veut que Thalès, lors d'un voyage en Égypte, soit allé visiter les pyramides construites plusieurs siècles plus tôt. Alors qu'il admirait ces monuments, il fut mis au défi d'en calculer la hauteur.

Thalès entreprit donc une mesure des pyramides, dont le principe repose sur le concept de triangles semblables et de proportionnalité. Thalès remarqua qu'à cette époque de l'année, à midi, l'ombre portée d'un homme ou d'un bâton égalait la taille de l'homme ou la longueur du bâton. Les rayons de soleil pouvant être supposés parallèles, Thalès en déduisit qu'il en serait de même pour la hauteur de la pyramide et son ombre projetée.

Encore fallait-il être capable de mesurer l'ombre projetée : il repéra le sommet de l'ombre projetée mais pour la mesurer dans son entier, il lui fallait partir du centre de la pyramide qui n'était pas accessible. Thalès bénéficia d'un atout supplémentaire: non seulement l'ombre portée égalait la hauteur de la pyramide mais les rayons du soleil étaient perpendiculaire à une arête de la base. Le sommet de l'ombre de la pyramide se trouvait alors sur la médiatrice d'un côté de la base. Il lui suffit de mesurer la distance séparant l'extrémité de l'ombre et le milieu du côté, d'ajouter à cette longueur un demi-côté pour obtenir la hauteur de la pyramide.

Analyse critique : la pyramide de Khéops est située à une latitude de 30°, la longueur de l'ombre égale celle du bâton lorsque le soleil fait 45° avec la verticale. L'angle que forme le soleil avec la verticale varie au cours de l'année entre 6,73° (au plus fort de l'été) et 53,27° (au plus fort de l'hiver) et ne fait un angle de 45° que deux fois dans l'année (le 21 novembre et le 20 janvier). Ce serait un hasard extraordinaire que Thalès se fût trouvé là à cet instant précis. À tout autre période de l'année, la longueur de l'ombre est proportionnelle à la hauteur. On retrouve alors presque une configuration dite de Thalès. En comparant la longueur de l'ombre et la hauteur du bâton, il est facile de connaître le coefficient de proportionnalité et de l'appliquer ensuite à l'ombre de la pyramide pour en déterminer la hauteur.

Le fait que le sommet de l'ombre de la pyramide soit sur la médiatrice d'un côté à midi ne tient absolument pas du hasard mais du fait que les pyramides sont orientées plein sud ou plein ouest.

Application numérique

La pyramide a une base carrée de 232 mètres de côté. On divise cette valeur par deux (116 mètres) et on ajoute la longueur de l'ombre de la pyramide. Admettons que cette ombre soit de 40 mètres. On obtient alors la longueur du segment C (voir figure ci-contre), soit 156 mètres dans notre exemple.

On fait de même avec un bâton de 2 mètres (segment A). On mesure l'ombre dont la longueur est de 2,13 mètres (segment B). Il suffit maintenant d'appliquer le théorème de Thalès avec x la hauteur de la pyramide (soit la longueur du segment D sur la figure) :

${\frac {x}{156}}={\frac {2}{2,13}}$

On peut résoudre ce rapport et on obtient :

$x={\frac {2\cdot 156}{2,13}}\approx 146$ mètres

La pyramide mesure donc aux alentours de 146 mètres.

Voir aussi

• Théorème des milieux : cas particulier du théorème de Thalès.

• Site du Kangourou : Une animation flash édifiante

• Modèle:Exercices