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L'ondelette de Haar, ou fonction de Rademacher, est une ondelette créée par Alfréd Haar en 1909^[1]. On considère que c'est la première ondelette connue. Il s'agit d'une fonction constante par morceaux, ce qui en fait l'ondelette la plus simple à comprendre et à implémenter. L'ondelette de Haar peut être généralisée par ce qu'on appelle le système de Haar.

Ondelette de Haar

La fonction-mère des ondelettes de Haar est une fonction constante par morceaux :

\psi (t)={\begin{cases}1&\quad {\textrm {pour}}\;\;0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&\quad {\textrm {pour}}\;\;{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&\quad {\textrm {sinon}}\\\end{cases}}

La fonction d'échelle associée est alors une fonction porte :

f(t)={\begin{cases}1&\quad {\textrm {pour}}\;\;0\leq t<1,\\0&\quad {\textrm {sinon}}\\\end{cases}}

Le système de Haar

Le système de Haar est une suite de fonctions continues par morceaux, appartenant à $L^{p}([0,1])$ pour $1\leq p<+\infty$ . Il est défini de la manière suivante, à partir des fonctions indicatrices :

$h_{1}(t)=1\!\!1_{[0;1]}(t)$

Pour $k\geq 0$ et $1\leq l\leq 2^{k}$ :

h_{2^{k}+l}(t)=1\!\!1_{\left[{\frac {2l-2}{2^{k+1}}};{\frac {2l-1}{2^{k+1}}}\right]}(t)-1\!\!1_{\left[{\frac {2l-1}{2^{k+1}}};{\frac {2l}{2^{k+1}}}\right]}(t).

Voici les représentations graphiques de $h 2$ et de $h 3$ :

Une des propriétés intéressantes du système de Haar est qu'il est une base de Schauder de $L^{p}([0,1])$ pour $1\leq p<+\infty$ .

Références

Sur les autres projets Wikimedia :

Ondelette de Haar, sur Wikimedia Commons

↑ (en) « Wavelets: seeing the Forest - and the Trees », sur www.beyonddiscovery.org (consulté le 22 mai 2010)

Articles connexes

Portail de l'analyse

[1] (en) « Wavelets: seeing the Forest - and the Trees », sur www.beyonddiscovery.org (consulté le 22 mai 2010)

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 {{Ébauche|mathématiques}}
-[[Image:Haar wavelet.svg|thumb|right|L'ondelette de Haar]]
+[[Image:Haar wavelet.svg|vignette|droite|L'ondelette de Haar]]
-L''''ondelette de Haar''' est une [[ondelette]] créée par [[Alfréd Haar]] en [[1909]]<ref>{{en}} {{Lien web|url=http://www.beyonddiscovery.org/content/view.page.asp?I=1954|titre=Wavelets: seeing the Forest - and the Trees|site=www.beyonddiscovery.org|consulté le=22 mai 2010}}</ref>, ou '''[[application (mathématiques)|fonction]] de [[Hans Rademacher|Rademacher]]'''. On considère que c'est la première ondelette connue. Elle est la plus simple à comprendre et à implémenter. C'est une fonction [[Dilatation (géométrie)|dilatée]] et/ou [[translation (géométrie)|translatée]] de la fonction mère ψ qui vaut :
+L''''ondelette de Haar''', ou '''[[application (mathématiques)|fonction]] de [[Hans Rademacher|Rademacher]]''', est une [[ondelette]] créée par [[Alfréd Haar]] en [[1909]]<ref>{{en}} {{Lien web|url=http://www.beyonddiscovery.org/content/view.page.asp?I=1954|titre=Wavelets: seeing the Forest - and the Trees|site=www.beyonddiscovery.org|consulté le=22 mai 2010}}</ref>. On considère que c'est la première ondelette connue. Il s'agit d'une [[fonction constante]] par morceaux, ce qui en fait l'ondelette la plus simple à comprendre et à implémenter. L'ondelette de Haar peut être généralisée par ce qu'on appelle [[#Le système de Haar|le système de Haar]].
+== Ondelette de Haar ==
-<math>\psi(t)= \left\{
-\begin{array}{l l}
+La fonction-mère des ondelettes de Haar est une fonction constante par morceaux :
-& \quad \textrm{pour} \;\; 0\leqslant t < \frac{1}{2}\\
-  -1 & \quad \textrm{pour} \;\;\frac{1}{2}\leqslant t <1 \\
+:<math>\psi(t)=
+\begin{cases}
+& \quad \textrm{pour} \;\; 0\le t < \frac12,\\
+  -1 & \quad \textrm{pour} \;\;\frac12\le t <1, \\
 & \quad \textrm{sinon}\\
-\end{array} \right. </math>
+\end{cases}</math>
+La fonction d'échelle associée est alors une [[fonction porte]] :
+:<math>f(t)=
+\begin{cases}
+& \quad \textrm{pour} \;\; 0\le t < 1,\\
+& \quad \textrm{sinon}\\
+\end{cases}</math>
+== Le système de Haar ==
+Le système de Haar est une [[Suite et série de fonctions|suite de fonctions]] [[Régularité par morceaux|continues par morceaux]], appartenant à <math> L^p( [0,1]) </math> pour <math> 1 \leq p < + \infty </math>. Il est défini de la manière suivante, à partir des [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonctions indicatrices]] :
+* <math> h_1(t) = 1\!\!1_{[0;1]}(t)  </math>
+* Pour <math>k \geq 0</math> et <math> 1 \leq l \leq 2^k </math> :
+<center> <math> h_{2^k+l}(t) = 1\!\!1_{\left[ \frac{2l-2}{2^{k+1}}; \frac{2l-1}{2^{k+1}}\right]}(t) -1\!\!1_{\left[\frac{2l-1}{2^{k+1}}; \frac{2l}{2^{k+1}}\right]}(t). </math></center>
+Voici les représentations graphiques de {{math|''h''<sub>2</sub>}} et de {{math|''h''<sub>3</sub>}} :
+ [[Fichier:H2wiki.png|centré|vignette]]
+ [[Fichier:H3wiki.png|centré|vignette]]
+Une des propriétés intéressantes du système de Haar est qu'il est une [[base de Schauder]] de <math> L^p( [0,1]) </math> pour <math> 1 \leq p < + \infty </math> .
 == Références ==
+{{Autres projets
+|Commons=Category:Haar wavelet
+}}
 <references />
+== Articles connexes ==
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-[[es:Wavelet de Haar]]
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-[[pl:Falki Haara]]
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-[[sv:Haarwavelet]]