« Ondelette de Haar » : différence entre les versions
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L''''ondelette de Haar''', ou '''[[application (mathématiques)|fonction]] de [[Hans Rademacher|Rademacher]]''', est une [[ondelette]] créée par [[Alfréd Haar]] en [[1909]]<ref>{{en}} {{Lien web|url=http://www.beyonddiscovery.org/content/view.page.asp?I=1954|titre=Wavelets: seeing the Forest - and the Trees|site=www.beyonddiscovery.org|consulté le=22 mai 2010}}</ref>. On considère que c'est la première ondelette connue. |
L''''ondelette de Haar''', ou '''[[application (mathématiques)|fonction]] de [[Hans Rademacher|Rademacher]]''', est une [[ondelette]] créée par [[Alfréd Haar]] en [[1909]]<ref>{{en}} {{Lien web|url=http://www.beyonddiscovery.org/content/view.page.asp?I=1954|titre=Wavelets: seeing the Forest - and the Trees|site=www.beyonddiscovery.org|consulté le=22 mai 2010}}</ref>. On considère que c'est la première ondelette connue. Il s'agit d'une [[fonction constante]] par morceaux, ce qui en fait l'ondelette la plus simple à comprendre et à implémenter. L'ondelette de Haar peut être généralisée par ce qu'on appelle [[#Le système de Haar|le système de Haar]]. |
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* Pour <math>k \geq 0</math> et <math> 1 \leq l \leq 2^k </math> : |
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La fonction d'échelle associée est alors une [[fonction porte]] : |
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:<math>f(t)= |
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\begin{cases} |
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1 & \quad \textrm{pour} \;\; 0\le t < 1,\\ |
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0 & \quad \textrm{sinon}\\ |
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\end{cases}</math> |
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== Le système de Haar == |
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<center> <math> h_{2^k+l}(t) = -1</math> si <math> \frac{2l-1}{2^{k+1}} < t < \frac{2l}{2^{k+1}} </math></center> |
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⚫ | Le système de Haar est une [[Suite et série de fonctions|suite de fonctions]] [[Régularité par morceaux|continues par morceaux]], appartenant à <math> L^p( [0,1]) </math> pour <math> 1 \leq p < + \infty </math>. Il est défini de la manière suivante, à partir des [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonctions indicatrices]] : |
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et <math>0</math> ailleurs. |
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* Pour <math>k \geq 0</math> et <math> 1 \leq l \leq 2^k </math> : |
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Voici les représentations graphiques de {{math|''h''<sub>2</sub>}} et de {{math|''h''<sub>3</sub>}} : |
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== Références == |
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== Articles connexes == |
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*[[Caractéristiques pseudo-Haar]] |
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*[[Base de Hilbert]] |
* [[Base de Hilbert]] |
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* Voir aussi la {{Catégorie|Ondelette}} |
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Dernière version du 28 avril 2022 à 20:45
L'ondelette de Haar, ou fonction de Rademacher, est une ondelette créée par Alfréd Haar en 1909[1]. On considère que c'est la première ondelette connue. Il s'agit d'une fonction constante par morceaux, ce qui en fait l'ondelette la plus simple à comprendre et à implémenter. L'ondelette de Haar peut être généralisée par ce qu'on appelle le système de Haar.
Ondelette de Haar
[modifier | modifier le code]La fonction-mère des ondelettes de Haar est une fonction constante par morceaux :
La fonction d'échelle associée est alors une fonction porte :
Le système de Haar
[modifier | modifier le code]Le système de Haar est une suite de fonctions continues par morceaux, appartenant à pour . Il est défini de la manière suivante, à partir des fonctions indicatrices :
- Pour et :
Voici les représentations graphiques de h2 et de h3 :
Une des propriétés intéressantes du système de Haar est qu'il est une base de Schauder de pour .
Références
[modifier | modifier le code]- (en) « Wavelets: seeing the Forest - and the Trees », sur www.beyonddiscovery.org (consulté le )