Réunion disjointe

En mathématiques, la réunion disjointe est une opération ensembliste, variante de la réunion usuelle.

Motivation

Lorsque l'on réunit deux ensembles, les éléments de l'intersection de ces deux ensembles ne sont comptés qu'une seule fois. Dans certaines situations, on ne souhaite pas tenir compte de l'intersection. On désire alors que les éléments de l'intersection soient pris en compte deux fois. On parle alors de réunion disjointe, c'est-à-dire que l'on réunit les deux ensembles comme s'ils étaient disjoints, même s'ils ne le sont pas. Une propriété immédiate de cette façon de voir, c'est que la réunion devient vraiment additive, le cardinal de la réunion disjointe est toujours égal à la somme des cardinaux.

La réunion disjointe d'une famille d'ensembles correspond à leur somme en théorie des catégories.

On utilise beaucoup la réunion disjointe en topologie. Alliée avec l'espace quotient, la réunion disjointe permet de construire de nombreux espaces, notamment les variétés topologiques et les complexes cellulaires ou simpliciaux.

Définition

Pour toute famille (E_i)_i∈I d'ensembles, les ensembles produits {i}×E_i (i parcourant l'ensemble I des indices de la famille) sont disjoints deux à deux. La réunion disjointe ∐_i∈I E_i des E_i est, par définition, la réunion (ordinaire) de ces ensembles disjoints. Formellement :

$\bigsqcup _{i\in I}E_{i}=\{(i,x)\mid i\in I,\ x\in E_{i}\}.$

Il s'agit bien d'un ensemble car, vue sa définition, ∐_i∈I E_i peut se décrire en compréhension comme une partie de I×E, le produit cartésien de I par la réunion (ordinaire) E des E_i.

Exemples

• Soient I n'importe quelle paire {a, b}, E_a l'ensemble {1, 2} et E_b l'ensemble {2, 3, 4}. La réunion ordinaire de E_a et E_b n'a que quatre éléments. La réunion disjointe de (E_i)_{i∈{a, b}} est la partie$(\{a\}\times \{1,2\})\cup (\{b\}\times \{2,3,4\})=\{(a,1),(a,2),(b,2),(b,3),(b,4)\}$de {a, b}×{1, 2, 3, 4}. Elle a 2 + 3 = 5 éléments.
• L'ensemble des indices et les ensembles de la famille ne sont pas nécessairement finis ni même dénombrables :$\bigsqcup _{n\in \mathbb {N} }\left[n,+\infty \right[=\{(n,x)\in \mathbb {N} \times \mathbb {R} \mid x\geq n\}.$

Réunion disjointe d'espaces topologiques

Dans la définition ci-dessus, si chaque E_i est un espace topologique, on dispose d'une topologie naturelle sur ∐_i∈I E_i, dont les ouverts sont les réunions disjointes ∐_i∈I U_i où chaque U_i est un ouvert de E_i.

Cette structure, appelée somme topologique, joue le rôle de somme dans la catégorie des espaces topologiques.

Voir aussi

Multiensemble : généralisation de la notion d'ensemble, où l'on permet plusieurs occurrences (indiscernables) d'un même élément ; l'union de deux multiensembles ayant des éléments communs n’amène pas à les disjoindre comme ci-dessus mais à cumuler les nombres d'occurrences de chaque élément.