« Ouvert étoilé » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m Bot : Remplacement de texte automatisé (-({{[Mm]ulti[_\- ]bandeau *\|(.*\|)*|{{) *([Mm]athématiques) *((\|.*)*}}) +\1Portail mathématiques\4) |
m Robot, rempl. texte : c'est à dire → c’est-à-dire |
||
| Ligne 1 : | Ligne 1 : | ||
Un [[ouvert (topologie)|ouvert]] ''U'' de l'[[espace euclidien]] ou d'un [[espace vectoriel normé]] est dit '''étoilé''' par rapport à un point ''a'' si pour tout point ''x'' de ''U'', le segment ''[a x]'', |
Un [[ouvert (topologie)|ouvert]] ''U'' de l'[[espace euclidien]] ou d'un [[espace vectoriel normé]] est dit '''étoilé''' par rapport à un point ''a'' si pour tout point ''x'' de ''U'', le segment ''[a x]'', c’est-à-dire l'ensemble des [[barycentre]]s positifs des points ''a'' et ''x'' est contenu dans ''U'' (cette condition assure que ''a'' est forcément dans ''U''). |
||
Il revient au même de dire que ''U'' est stable sous l'action des [[homothétie]]s de centre ''a'' et de rapport ''t'' pour ''t'' positif inférieur à 1. |
Il revient au même de dire que ''U'' est stable sous l'action des [[homothétie]]s de centre ''a'' et de rapport ''t'' pour ''t'' positif inférieur à 1. |
||
Version du 26 avril 2007 à 04:06
Un ouvert U de l'espace euclidien ou d'un espace vectoriel normé est dit étoilé par rapport à un point a si pour tout point x de U, le segment [a x], c’est-à-dire l'ensemble des barycentres positifs des points a et x est contenu dans U (cette condition assure que a est forcément dans U). Il revient au même de dire que U est stable sous l'action des homothéties de centre a et de rapport t pour t positif inférieur à 1.
Il sera dit étoilé (sans plus de précisions) s'il est étoilé par rapport à un point au moins.
- Exemples
- Un ouvert convexe est étoilé par rapport à chacun de ses points.
- Dans le plan, le complémentaire d'une demi-droite est étoilé mais n'est pas convexe ; le complémentaire d'un point n'est pas étoilé.
- Remarque
- La propriété d'être étoilé est complètement indépendante de celle d'être ouvert, mais il se trouve qu'elle sert principalement pour les ouverts.
L'intérêt principal des ouverts étoilés est leur rôle dans le lemme de Poincaré, d'après lequel toute forme différentielle sur un ouvert étoilé qui est fermée est exacte.
