« Réunion disjointe » : différence entre les versions

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Version du 26 novembre 2009 à 17:59

La réunion disjointe est une opération sur les ensembles. La définition est donnée ci-dessous.

Lorsque l'on réunit deux ensembles, les éléments de l'intersection de ces deux ensembles ne sont comptés qu'une seule fois. Dans certaines situations, on ne souhaite pas tenir compte de l'intersection. On désire alors que les éléments de l'intersection soient pris en compte deux fois. On parle alors de réunion disjointe, c'est à dire que l'on réunit les deux ensemble comme s'ils étaient disjoints, même s'ils ne le sont pas. Une propriété immédiate de cette façon de voir, c'est que la réunion devient vraiment additive, le cardinal de la réunion disjointe est toujours égal à la somme des cardinaux.

La réunion disjointe d'une famille d'ensembles correspond à leur somme en théorie des catégories.

On utilise beaucoup la réunion disjointe en topologie. Alliée avec l'espace quotient, la réunion disjointe permet de construire de nombreux espaces, notamment les variétés topologiques, les complexes cellulaires ou simpliciaux.

Définition

Soit $(E_{i})_{i\in I}$ une famille d'ensemble. Leur réunion disjointe est l'ensemble

\bigsqcup _{i\in I}E_{i}=\{(i,x)\mid x\in E_{i}\}

Exemple

La figure géométrique du signe = peut être vue comme la réunion disjointe du segment [0,1] avec lui-même.

Réunion disjointe d'espaces topologiques

Dans la définition ci-dessus, si chaque Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle E_i } est un espace topologique, on dispose d'une topologie naturelle sur Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle \sqcup_{i\in I} E_i } , dont les ouverts sont les réunions disjointes $\sqcup _{i\in I}U_{i}$ où chaque $U_{i}$ est un ouvert de $E_{i}$ .

Cette structure joue le rôle de somme dans la catégorie des espaces topologiques.

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			La '''réunion disjointe''' est une opération sur les ensembles. La définition est donnée ci-dessous.

	Lorsque l'on réunit deux ensembles, les éléments de l'intersection de ces deux ensembles ne sont comptés qu'une seule fois. Dans certaines situations, on ne souhaite pas tenir compte de l'intersection. On désire alors que les éléments de l'intersection soient pris en compte deux fois. On parle alors de réunion disjointe, c'est à dire que l'on réunit les deux ensemble comme s'ils étaient disjoints, même s'ils ne le sont pas. Une propriété immédiate de cette façon de voir, c'est que la réunion devient vraiment additive, le cardinal de la réunion disjointe est toujours égal à la somme des cardinaux.		Lorsque l'on réunit deux ensembles, les éléments de l'intersection de ces deux ensembles ne sont comptés qu'une seule fois. Dans certaines situations, on ne souhaite pas tenir compte de l'intersection. On désire alors que les éléments de l'intersection soient pris en compte deux fois. On parle alors de réunion disjointe, c'est à dire que l'on réunit les deux ensemble comme s'ils étaient disjoints, même s'ils ne le sont pas. Une propriété immédiate de cette façon de voir, c'est que la réunion devient vraiment additive, le cardinal de la réunion disjointe est toujours égal à la somme des cardinaux.