Ondelette de Haar

L'ondelette de Haar

En mathématiques, l'ondelette de Haar est une certaine séquence de rééchelonné "carré" des fonctions dont l'ensemble forme une famille d'ondelettes ou de base. L'analyse par ondelettes est similaire à l'analyse de Fourier en ce qu'il permet à une fonction sur un intervalle cible à se faire représenter en termes d'une base de fonctions orthonormales. La séquence de Haar est maintenant reconnu comme le premier connu d'ondelettes de base et largement utilisés comme par exemple l'enseignement de la théorie des ondelettes.

La séquence de Haar a été proposé en 1909 par Alfréd Haar. Haar utilisé ces fonctions pour donner un exemple d'un système orthonormal dénombrable de l'espace des fonctions intégrables carré sur la droite réelle . L'étude des ondelettes, et même le terme ondelettes, n'est pas venu que beaucoup plus tard. Comme un cas particulier de l' ondelette de Daubechies , il est également connu comme D2.

L'ondelette de Haar est également le plus simple possible d'ondelettes. L'inconvénient technique de l'ondelette de Haar est qu'il n'est pas continu , et donc pas dérivable . Cette propriété ne peut, cependant, être un avantage pour l'analyse de signaux, avec des transitions soudaines, telles que la surveillance de l'échec outils dans les machines.

Haar ondelette mère ondelettes fonction ψ Le (t) peut être décrite comme

$\psi (t)=\left\{{\begin{array}{l l}1&\quad {\textrm {pour}}\;\;0\leq t<{\frac {1}{2}}\\-1&\quad {\textrm {pour}}\;\;{\frac {1}{2}}\leq t<1\\0&\quad {\textrm {sinon}}\\\end{array}}\right.$

Sa fonction d'échelle φ (t) peut être décrite comme

$\phi (t)=\left\{{\begin{array}{l l}1&\quad {\textrm {pour}}\;\;0\leq t<1\\0&\quad {\textrm {sinon}}\\\end{array}}\right.$

Haar système

En analyse fonctionnelle , les systèmes de Haar désigne l'ensemble des ondelettes de Haar

$\{t\mapsto \psi _{n,k}(t)=\psi (2^{n}t-k);n\in \mathbb {N} ,0\leq k<2^{n}\}.$

En l'espace de Hilbert termes, ce qui constitue un système complet orthogonal pour les fonctions sur le intervalle unitaire . Il existe une relation avec système de Rademacher , des sommes de fonctions de Haar, qui est un système orthogonal, mais pas complète.

Le système de Haar (avec l'ordre naturel) est en outre une base de Schauder pour l'espace $L^{p}[0,1]$ for $1\leq p<+\infty$. Cette base est inconditionnelle pou p > 1.

Propriétés du L'ondelette de Haar

L'ondelette de Haar a plusieurs propriétés remarquables:

1. Toute fonction réelle continue peut être approchée par des combinaisons linéaires de $\phi (t),\phi (2t),\phi (4t),\dots ,\phi (2^{k}t),\dots$ et leurs fonctions changé. Cela s'étend à ces espaces de fonctions, où toute fonction y peut être approchée par des fonctions continues.
2. Toute fonction numérique continue peut être approchée par des combinaisons linéaires de la fonction constante, $\psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{k}t),\dots$ et leurs fonctions changé.
3. Orthogonalité dans la forme

$\int _{-\infty }^{\infty }2^{m}\psi (2^{m}t-n)\psi (2^{m_{1}}t-n_{1})\,dt=\delta _{m,m_{1}}\delta _{n,n_{1}}.$

Ici δ_i,j représente le delta de Kronecker . La double fonction de $\psi (t)$ est $\psi (t)$ lui-même.

Wavelet / fonctions d'échelle avec m échelle différente ont une relation fonctionnelle:

$\phi (t)=\phi (2t)+\phi (2t-1)$

$\psi (t)=\phi (2t)-\phi (2t-1)$

Les coefficients de m échelle peut être calculée par les coefficients de m échelle 1: m+1:

Si $\chi _{w}(n,m)=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\phi (2^{m}t-n)\,dt$

et $\mathrm {X} _{w}(n,m)=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{m}t-n)\,dt$

puis

$\chi _{w}(n,m)={\sqrt {\frac {1}{2}}}(\chi _{w}(2n,m+1)+\chi _{w}(2n+1,m+1))$

$\mathrm {X} _{w}(n,m)={\sqrt {\frac {1}{2}}}(\chi _{w}(2n,m+1)-\chi _{w}(2n+1,m+1)).$

Haar matrice

Le Haar matrice 2 × 2 qui est associé à l'ondelette de Haar est

$H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.$

Utilisation de la transformée en ondelettes discrètes , on peut transformer n'importe quelle séquence $(a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})$ de même longueur dans une séquence de deux-composant-vecteurs $\left(\left(a_{0},a_{1}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)$. Si l'on multiplie droit chaque vecteur avec la matrice $H_{2}$, on obtient le résultat $\left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)$ d'une étape du jeûne Haar-transformée en ondelettes.Habituellement, on sépare les séquences s et d et continue de transformer la séquence s.

Si l'on a une séquence de longueur d'un multiple de quatre, on peut construire des blocs de 4 éléments et de les transformer d'une manière similaire à la Haar matrice 4 × 4

$H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}},$

qui combine deux phases de la rapide Haar-transformée en ondelettes.

Transformation de Haar

La transformation de Haar est la plus simple de la transformée en ondelettes . Cette transformation de la Croix-multiplie une fonction contre l'ondelette de Haar à différents quarts de travail et s'étend, comme la transformée de Fourier de la Croix-multiplie une fonction contre une onde sinusoïdale avec deux phases et de nombreux tronçons.

La transformation de Haar est dérivé de la matrice de Haar. Un exemple de transformation de Haar matrice 4x4 est indiqué ci-dessous.

$H_{4}={\frac {1}{\sqrt {4}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}$

La transformation de Haar peut être considéré comme un processus d'échantillonnage dans lesquelles les lignes de la Loi sur la transformation de matrice que les échantillons de plus fin et une résolution plus fine.

Articles connexes

• Caractéristiques pseudo-Haar
• Base de Hilbert