Rayon d'Einstein

Le rayon d'Einstein est le rayon d'un anneau d'Einstein, et l'angle caractéristique pour les lentilles gravitationnelles en général, puisque les distances typiques entre les images de lentilles gravitationnelles sont du même ordre que celles du rayon d'Einstein.

Dérivation

La géométrie d'une lentille gravitationnelle

Dans la dérivation suivante du rayon d'Einstein nous supposerons que toute masse M de la galaxie lenticulaire L est concentrée au centre de la galaxie.

Pour une masse ponctuelle, la déflexion peut être calculée et est un des tests expérimentaux de la relativité générale. Pour un petit αb₁ la déflexion totale par une masse M est donnée par (voir la Métrique de Schwarzschild)

$\alpha _{1}={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b_{1}}}$

où

b₁ Paramètre d'impact (la distance de l'approche la plus courte pour un rayon de lumière au centre de masse)

G est la constante gravitationnelle,

c est la vitesse de la lumière.

En notant que pour de petits angles et avec l'angle exprimé en radian, le point d'approche le plus court b₁ à un angle de θ₁ pour la lentille L à une distance d_L est donnée par b₁ = θ₁d_L, nous pouvons réexprimer l'angle α₁ comme

$\alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta _{1}}}{\frac {1}{d_{\rm {L}}}}$ (eq. 1)

Si nous posons θ_S comme étant l'angle sous lequel un observateur pourrait voir la source sans la lentille (qui est généralement non observable), et θ₁ comme l'angle observé de l'image de la source par rapport à la lentille, alors on peut voir par la géométrie de la lentille (en calculant les distances dans le plan de la source) que la distance verticale sous-tendue par l'angle θ₁ à la distance d_S est la même que la somme des deux distances verticales θ_S d_S et α₁ d_LS. Cela donne l'équation de lentille

$\theta _{1}\;d_{\rm {S}}=\theta _{\rm {S}}\;d_{\rm {S}}+\alpha _{1}\;d_{\rm {LS}}$

qui peut être réarrangée pour former

$\alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {d_{\rm {S}}}{d_{\rm {LS}}}}(\theta _{1}-\theta _{\rm {S}})$ (eq. 2)

En plaçant la première équation en égalité avec la deuxième, et en réarrangeant le résultat nous obtenons

$\theta _{1}-\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{1}}}\;{\frac {d_{\rm {LS}}}{d_{\rm {S}}d_{\rm {L}}}}$

Pour une source directement en arrière de la lentille, θ_S = 0, l'équation de lentille pour une masse ponctuelle donne la valeur caractéristique pour θ₁ qui est appelée rayon d'Einstein, dénoté θ_E. En plaçant θ_S = 0 et en résolvant pour θ₁ donne

$\theta _{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {d_{\rm {LS}}}{d_{\rm {L}}d_{\rm {S}}}}\right)^{1/2}$

Le rayon d'Einstein pour une masse ponctuelle apporte une échelle linéaire pratique pour rendre les variables lenticulaires sans dimension. En termes de rayon d'Einstein, l'équation de lentille devient

$\theta _{1}=\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{1}}}$

En substituant pour les constantes donne

$\theta _{E}=\left({\frac {M}{10^{11.09}M_{\bigodot }}}\right)^{1/2}\left({\frac {d_{\rm {L}}d_{\rm {S}}/d_{\rm {LS}}}{\rm {Gpc}}}\right)^{-1/2}{\rm {arcsec}}$

Dans la dernière forme, la masse est exprimée en masses solaires (M_☉) et la distance en giga-parsec (Gpc). Le rayon d'Einstein est plus important pour une lentille située à mi-chemin entre la source et l'observateur.

Pour un amas dense avec une masse M_c ≈ 10 × 10¹⁵ M_☉ à une distance d'un giga-parsec (1 Gpc) ce rayon pourrait atteindre 100 arc-sec (appelé macro-lentille). Pour une microlentille (avec une masse d'un ordre de 1 M_☉) pour des distances galactiques (disons d ~ 3 kpc), le rayon d'Einstein typique serait de l'ordre du milli-seconde d’arc. En conséquence il est impossible d'en observer avec nos techniques actuelles.

De la même manière, pour le rayon de lumière qui atteint l'observateur en passant par le bas de la lentille, nous avons

$\theta _{2}\;d_{\rm {S}}=-\;\theta _{\rm {S}}\;d_{\rm {S}}+\alpha _{2}\;d_{\rm {LS}}$

et

$\theta _{2}+\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{2}}}\;{\frac {d_{\rm {LS}}}{d_{\rm {S}}d_{\rm {L}}}}$

et donc

$\theta _{2}=-\;\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{2}}}$

L'argument précédent peut être utilisé pour les lentilles qui ont une masse distribuée, plutôt qu'une masse ponctuelle, en utilisant une expression différente pour l'angle de courbure α. La position θ_I(θ_S) des images peuvent alors être calculées. Pour une petite déflexion, cette cartographie est biunivoque et consiste en des distorsions des positions observées qui sont inversibles. Ce phénomène est une lentille gravitationnelle faible. Pour une grande déflexion, il peut y avoir plusieurs images et la cartographie est non-inversible : ce phénomène est une lentille forte. Il faut noter que pour obtenir une répartition de masse comme celle d'un anneau d'Einstein, il faut qu'il y ait une symétrie axiale parfaite.

Notes et références

Notes

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Einstein Radius » (voir la liste des auteurs).

Références

• (en) O Chwolson, « Über eine mögliche Form fiktiver Doppelsterne », Astronomische Nachrichten, vol. 221, n^o 20,‎ 1924, p. 329–330 (DOI 10.1002/asna.19242212003, Bibcode 1924AN....221..329C) (le premier article qui propose les anneaux d'Einstein)
• (en) Albert Einstein, « Lens-like Action of a Star by the Deviation of Light in the Gravitational Field », Science, vol. 84, n^o 2188,‎ 1936, p. 506–507 (PMID 17769014, DOI 10.1126/science.84.2188.506, JSTOR 1663250, Bibcode 1936Sci....84..506E) (Le fameux article sur les anneaux d'Einstein)
• (en) Jurgen Renn, « The Origin of Gravitational Lensing: A Postscript to Einstein's 1936 Science paper », Science, vol. 275, n^o 5297,‎ 1997, p. 184–186 (PMID 8985006, DOI 10.1126/science.275.5297.184, Bibcode 1997Sci...275..184R)

Voir aussi

• Lentille gravitationnelle
• Anneau d'Einstein