Réunion disjointe

En mathématiques, la réunion disjointe est une opération ensembliste, variante de la réunion usuelle.

Motivation

Lorsque l'on réunit deux ensembles, les éléments de l'intersection de ces deux ensembles ne sont comptés qu'une seule fois. Dans certaines situations, on ne souhaite pas tenir compte de l'intersection. On désire alors que les éléments de l'intersection soient pris en compte deux fois. On parle alors de réunion disjointe, c'est-à-dire que l'on réunit les deux ensemble comme s'ils étaient disjoints, même s'ils ne le sont pas. Une propriété immédiate de cette façon de voir, c'est que la réunion devient vraiment additive, le cardinal de la réunion disjointe est toujours égal à la somme des cardinaux.

La réunion disjointe d'une famille d'ensembles correspond à leur somme en théorie des catégories.

On utilise beaucoup la réunion disjointe en topologie. Alliée avec l'espace quotient, la réunion disjointe permet de construire de nombreux espaces, notamment les variétés topologiques et les complexes cellulaires ou simpliciaux.

Définition

À toute famille d'ensembles (E_i)_i∈I on peut associer une nouvelle famille (E'_i)_i∈I, où E'_i = {i}×E_i. Les E'_i sont alors disjoints par construction, et l'on définit la réunion disjointe ∐_i∈I E_i des E_i comme la réunion (ordinaire) des E'_i.

Formellement :

$\bigsqcup _{i\in I}E_{i}=\{(i,x)\mid i\in I,\ x\in E_{i}\}.$

C'est bien un ensemble parce que (E'_i)_i∈I est bien une famille. En effet, chaque E'_i est inclus dans le produit cartésien de I par la réunion E des E_i, donc la classe des couples (i, E'_i) forme bien un ensemble, que l'on peut décrire en compréhension comme une partie de I×P(I×E).

Réunion disjointe d'espaces topologiques

Dans la définition ci-dessus, si chaque E_i est un espace topologique, on dispose d'une topologie naturelle sur ∐_i∈I E_i, dont les ouverts sont les réunions disjointes ∐_i∈I U_i où chaque U_i est un ouvert de E_i.

Cette structure, appelée somme topologique, joue le rôle de somme dans la catégorie des espaces topologiques.