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Algorithme binaire de calcul du PGCD

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En informatique, en mathématiques, l'algorithme du PGCD binaire est un algorithme pour calculer le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers écrits en binaire (voir Problème 31.1, p. 902 dans [1]). L'algorithme a été publié par Josef Stein en 1967[2], bien qu'il semble avoir été connu en Chine dès le Ier siècle[3].

L'algorithme applique itérativement les règles suivantes pour calculer le PGCD de deux nombres a et b (on suppose a supérieur à b) :

Si alors
a = 0 pgcd(0, b) = b
a et b sont pairs pgcd(a, b) = 2 × pgcd(a/2, b/2)
a est impair, b pair pgcd(a, b) = pgcd(a, b/2)
a est pair, b impair pgcd(a, b) = pgcd(a/2, b)
a et b impairs pgcd(a, b) = pgcd( (a - b)/2, b)

pgcd(30, 24) = 2 × pgcd(15, 12) = 2 × pgcd(15, 6) = 2 × pgcd(15, 3) = 2 × pgcd( (15-3)/2, 3) = 2 × pgcd(6, 3) = 2 × pgcd(3, 3) = 2 × pgcd(0, 3) = 2 × 3 = 6

Complexité

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Si on considère les opérations arithmétiques (soustraction et division par deux) comme unitaires, la complexité est en O(log a), c'est-à-dire en le nombre de chiffres du grand nombre (on suppose a > b). Si ces opérations sont considérées comme linéaires en ce même nombre de chiffres, l'algorithme est en O(log2 a).

En prenant comme taille des entrées le nombre de chiffres n du plus grand nombre, ces complexités deviennent respectivement O(n) et O(n2).

Notes et références

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  1. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, et Clifford Stein, Introduction à l'algorithmique, 1176 p., Section 31.2
  2. J Stein, « Computational problems associated with Racah algebra », Journal of Computational Physics, vol. 1, no 3,‎ , p. 397–405 (ISSN 0021-9991, DOI 10.1016/0021-9991(67)90047-2, lire en ligne, consulté le )
  3. Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. II : Seminumerical Algorithms, Addison-Wesley,