Voir la source de Matrice/Déterminant

== Propriété fondamentale ==
La définition par la formule de Leibniz présente peu d'intérêt pour le calcul pratique des déterminants, mais permet, comme on vient de le voir, d'établir des résultats très utiles. Le suivant est essentiel :
{{Théorème|contenu=L'application déterminant est l'unique application de <math>\mathrm M_n(K)</math> dans <math>K</math> qui :
#dépend de façon linéaire de chaque colonne de la matrice ;
#vaut <math>0</math> lorsque deux colonnes sont égales ;
#vaut <math>1</math> pour la matrice identité.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Vérifions que l'application déterminant possède les trois propriétés.
#Dans chaque terme de la somme qui définit <math>\det(A)</math>, on a affaire à un produit de composantes, une pour chaque colonne de la matrice. Donc si une seule colonne varie, cette somme est une combinaison linéaire des composantes de cette colonne.
#Si deux colonnes d'indices <math>k</math> et <math>\ell</math> distincts sont égales, on introduit la transposition <math>\tau</math> qui échange <math>k</math> et <math>\ell</math>. On regroupe les termes deux par deux : chaque permutation paire <math>\sigma</math> avec la permutation <math>\tau\circ\sigma</math>. L'application <math>\sigma\mapsto\tau\circ\sigma</math> étant bijective de l'ensemble <math>A_n</math> des permutations paires dans celui des permutations impaires, on a bien décrit chaque terme une seule fois.
#:<math>\det(A)=\sum_{\sigma\in A_n}\left(\prod_{j=1}^na_{\sigma(j),j}-\prod_{j=1}^na_{\tau(\sigma(j)),j}\right)</math>.
#:Les deux termes dont on fait la différence étant égaux, le résultat est donc bien nul.
#Immédiat.
L'unicité, admise ici, sera démontrée dans la leçon « [[Application multilinéaire]] », de niveau 15.
}}

{{Corollaire|contenu=
#Le déterminant d'une matrice carrée ne change pas lorsqu'on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres.
#Si les colonnes d'une matrice carrée sont liées, alors son déterminant est nul.
#Si l'on échange deux colonnes d'une matrice carrée, cela multiplie son déterminant par <math>-1</math>.
#Plus généralement, si l'on effectue sur ses colonnes une permutation <math>\sigma</math>, cela multiplie son déterminant par <math>\epsilon(\sigma)</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
#D'après les propriétés 1 et 2 du théorème :
#:<math>\det\left(C_1,\dots,C_{k-1},C_k+\sum_{j\ne k}\lambda_jC_j,C_{k+1},\dots,C_n\right)=\det\left(C_1,\dots,C_n\right)+\sum_{j\ne k}\lambda_j\det\left(C_1,\dots,C_{k-1},C_j,C_{k+1},\dots,C_n\right)=</math><math>\det\left(C_1,\dots,C_n\right)+\sum_{j\ne k}\lambda_j\times0=\det\left(C_1,\dots,C_n\right)</math>.
#Si une colonne est combinaison linéaire des autres, <math>C_k=\sum_{j\ne k}\lambda_jC_j</math>, alors, en ajoutant à cette colonne la combinaison linéaire <math>\sum_{j\ne k}(-\lambda_j)C_j</math>, on obtient un déterminant à la fois inchangé (d'après le point précédent) et nul (puisqu'il a une colonne nulle).
#[[Application multilinéaire/Définitions#Application alternée|Toute application multilinéaire alternée est antisymétrique]].
#Résulte du point précédent car si <math>\sigma</math> est une composée de <math>k</math> transpositions alors <math>\epsilon(\sigma)=(-1)^k</math>.
}}

{{Remarque|contenu=
{{Attention|Le déterminant de <math>\lambda A</math> n'est pas égal à <math>\lambda\times\det(A)</math>.}}
Si <math>A=\left(C_1,\dots,C_n\right)\in\mathrm M_n(K)</math> (et <math>\lambda,\lambda_1,\dots,\lambda_n\in K</math>) alors <math>\det\left(\lambda_1C_1,\dots,\lambda_nC_n\right)=\lambda_1\dots\lambda_n\det\left(C_1,\dots,C_n\right)</math>, en particulier :
<div style="text-align: center;"><math>\det(\lambda A)=\lambda^n\det(A)</math>.</div>
}}