Magma (álxebra)

En álxebra abstracta, un magma, binar, ou, raramente, un grupoide é un tipo básico de estrutura alxébrica. En concreto, un magma consiste nun conxunto equipado cunha única operación binaria que debe ser pechado por definición. Non se impón outras propiedades.

Definición

Un magma é un conxunto M combinado cunha operación • que envía dous elementos calquera a, b ∈ M a outro elemento, a • b ∈ M. O símbolo • é un marcador de posición xeral para unha operación correctamente definida. Para ser denominado como magma, o conxunto e a operación (M, •) deben cumprir o seguinte requisito (coñecido como pechamento do magma):

Para todo a, b en M, o resultado da operación a • b tamén está en M.

E en notación matemática:

$a,b\in M\implies a\cdot b\in M.$

Se • é en cambio unha operación parcial, entón (M, •) chámase magma parcial ou, máis a miúdo, grupoide parcial.

Morfismo dos magmas

Un morfismo de magmas é unha función f : M → N que mapea magma (M, •) a magma (N, ∗) que conserva a operación binaria:

f ( x • y ) = f ( x ) ∗ f ( y ).

Por exemplo, con M igual aos números reais positivos e * como media xeométrica, N igual á recta numérica real e • como media aritmética, un logaritmo f é un morfismo do magma (M, *) a (N, •).

$\log {\sqrt {xy}}\ =\ {\frac {\log x+\log y}{2}}$

Nótese que estes magmas conmutativos non son asociativos; e tampouco non teñen un elemento identidade.

Notación

A operación do magma pódese aplicar repetidamente, e no caso xeral, non asociativo, importa a orde, que se sinala entre parénteses. Ademais, a operación • adoita omitirse e anotarse por xustaposición:

(a • (b • c)) • d ≡ (a(bc))d.

A miúdo utilízase unha escrita para reducir o número de parénteses, nas que se omiten as operacións máis internas e os pares de parénteses, substituíndose só por xustaposición: xy • z ≡ (x • y) • z. Por exemplo, o anterior abreviase coa seguinte expresión, aínda contén parénteses:

(a • bc)d.

Magma libre

Un magma libre M_X nun conxunto X é o magma "máis xeral posíbel" xerado por X (é dicir, non hai relacións nin axiomas impostos aos xeradores; ver obxecto libre). A operación binaria en M_X fórmase envolvendo cada un dos dous operandos entre parénteses e xustapoñéndoos na mesma orde. Por exemplo:

a • b = (a)(b),

a • (a • b) = (a)((a)(b)),

(a • a) • b = ((a)(a))(b).

M_X pódese describir como o conxunto de palabras non asociativas en X coas parénteses conservadas.

Tamén se pode ver, en termos familiares na informática, como o magma de árbores binarias completas con follas etiquetadas por elementos de X. A operación é a de operar atá unir árbores na raíz. Polo tanto, ten un papel fundamental na sintaxe.

Un magma libre ten a propiedade universal tal que se f : X → N é unha función de X a calquera magma N, entón hai unha extensión única de f a un morfismo de magmas f ′

f′ : M_X → N.

Tipos de magma

Estruturas alxébricas desde magmas ata grupos

Os magmas non se adoitan estudar como tal; porén, hai varios tipos diferentes de magma, dependendo dos axiomas que se requiren para a operación. Os tipos de magma comúnmente estudados inclúen:

• Cuasigrupo: magma onde sempre é posible a división.
  • Loop : un cuasigrupo cun elemento de identidade.
• Semigrupo : magma onde a operación é asociativa .
  • Monoide: Un semigrupo cun elemento de identidade.
• Grupo: Un magma con inverso, asociatividade e un elemento de identidade.

Teña en conta que as propiedades de divisibilidade e invertibilidade implican a propiedade de cancelación.

Magmas con conmutividade

• Magma conmutativo: magma con conmutividade.
• Monoide conmutativo: monoide con conmutividade.
• Grupo abeliano: grupo con conmutividade.