Teorema do resto

En álxebra, o teorema do resto ou pequeno teorema de Bézout é un resultado que provén da división euclidiana de polinomios, que expón que o resto da división dun polinomio $f(x)$ polo polinomio linear $x-r$ é igual a $f(r)$. Deste xeito, pódese enunciar un resultado aínda máis en particular, $x-r$ é un divisor de $f(x)$ se e só se $f(r)=0$, unha propiedade coñecida coma o teorema do factor.

Proba

Malia que é un resultado moi sinxelo, existen diferentes formas de probar a súa veracidade, entre as cales se atopan as seguintes.

Proba 1

O teorema do resto é deducido desde o teorema da división euclidiana, o cal, dados dous polinomios f(x) (o dividendo) e g(x) (o divisor), afirma a existencia e a unicidade dun cociente q(x) e un resto R(x) tal que:

$f(x)=q(x)g(x)+R(x)\ {\text{ e }}\ R(x)=0\ {\text{ ou }}\ \operatorname {deg} (R)<\operatorname {deg} (g)$

Escollendo o divisor como $g(x)=x-r$, o resto é $R=0$ ou o seu grao é cero, mais en ámbolos dous casos, $R$ é unha constante independente de $x$; isto é

$f(x)=q(x)(x-r)+R\,.$

Avaliando $x=r$ nesta fórmula, obtense:

$f(r)=R\,.$

Proba 2

Unha proba lixeiramente diferente, que pode semellar máis elemental, comeza coa observación de que $f(x)-f(r)$é unha combinación linear dos termos da forma $x-r$ porque $x^{k}-r^{k}=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1})$. Deste xeito, se $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$ tense que:

$f(x)-f(r)=a_{n}(x^{n}-r^{n})+a_{n-1}(x^{n-1}-r^{n-1})+\ldots +a_{1}(x-r)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}(x^{k}-r^{k})$

Tódolos termos da dereita teñen factor común $(x-r)$, así que usando a propiedade distributiva:

${\begin{aligned}f(x)-f(r)&=(x-r)\sum _{k=1}^{n}a_{k}(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1})\\f(x)&=(x-r)\sum _{k=1}^{n}a_{k}(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1})+f(r)\end{aligned}}$

E substituíndo $x=r$, obtense $f(r)=R\,.$

Proba 3

Esta proba baséase na idea de substituír a variábel $x$ no polinomio inicial

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$

o binomio $(x-r)+r$, observando que $f(x)=f((x-r)+r)$. Entón, tense que

${\begin{aligned}f(x)&=f((x-r)+r)=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}((x-r)+r)^{k}=\\&=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}\left(\sum _{i=0}^{k}(x-r)^{i}r^{k-i}\right)=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}\left(r^{k}+\sum _{i=1}^{k}(x-r)^{i}r^{k-i}\right)\\&=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}r^{k}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}\left(\sum _{i=1}^{k}(x-r)^{i}r^{k-i}\right)=f(r)+\sum _{k=1}^{n}a_{k}\left(\sum _{i=1}^{k}(x-r)^{i}r^{k-i}\right)\\&=f(r)+\sum _{k=1}^{n}a_{k}(x-r)\left(\sum _{i=1}^{k}(x-r)^{i-1}r^{k-i}\right)=f(r)+(x-r)\sum _{k=1}^{n}a_{k}\left(\sum _{j=0}^{k}(x-r)^{j}r^{k-j+1}\right)\\&=f(r)+(x-r)q(x)\end{aligned}}$

onde o que se fixo foi aplicar a expansión do binomio de Newton, observando que tódolos termos da expansión malia un son divisíbeis por $(x-r)$, que é o termo da forma $r^{k}$. Ao xuntar todos estes termos, tense o resto ao dividir por $(x-r)$, e ao os sumar, tense que o resto é $f(r)$.

Exemplos

Exemplo 1

Sexa o polinomio $f(x)=x^{3}-12x^{2}-42$. División polinómica de $f(x)$ por $(x-3)$ ten como resultado o cociente $x^{2}-9x-27$ e o resto $-123$.

Por outro lado, $f(3)=(3)^{3}-12(3)^{2}-42=-123$, coincidindo co resto antes calculado.

Exemplo 2

Pódese observar que o teorema do resto é satisfeito para polinomios arbitrarios de segundo grado $f(x)=ax^{2}+bx+c$ usando manipulacións alxébricas semellantes ás da terceira proba, pero no caso particular de $n$, podendo ser así máis doada de entender.

${\begin{aligned}{\frac {f(x)}{x-r}}&={\frac {a{x^{2}}+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {a{x^{2}}-arx+arx+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {ax(x-r)+(b+ar)x+c}{x-r}}\\&=ax+{\frac {(b+ar)(x-r)+c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {a{r^{2}}+br+c}{x-r}}\end{aligned}}$

Multiplicando ámbolos dous lados por (x − r) resulta en

$f(x)=ax^{2}+bx+c=(ax+b+ar)(x-r)+{a{r^{2}}+br+c}$

Xa que $R=ar^{2}+br+c$ é o resto, demostrouse que $f(r)=R$.

Aplicacións

Ademais da aplicación directa de calcular o resto da división entre o polinomio linear e un polinomio $f(x)$, o teorema do resto ten outras aplicacións.

Teorema do factor

Unha consecuencia directa do teorema do resto provén da seguinte observación: tense un polinomio $f(x)$ e divídese polo polinomio linear $(x-r)$ e o resto é $0$, entón $f(r)=0$. Ademais, se $f(r)=0$, entón a división de $f(x)$ por $(x-r)$ ten o resto nulo. Este resultado é coñecido polo nome é o teorema do factor, que enuncia resumidamente que un polinomio $f(x)$ ten como factor $(x-r)$ se e só se $f(r)=0$, é dicir $r$ é unha raíz.

Dous problemas nos que se emprega a miúdo este teorema son os de factorizar un polinomio e atopar as raíces dunha ecuación polinomial, que como unha consecuencia directa do teorema tense que ámbolos dous problemas son esencialmente equivalentes. Ademais, o teorema do factor tamén se usa para eliminar raíces coñecidas dun polinomio, deixando o resto de raíces sen cambios e producindo así un polinomio de grao inferior cuxas raíces poden ser máis doadas de atopar, facilitando a factorización do polinomio. Os pasos a seguir neste método son os seguintes:

1. "Adiviñar" unha raíz $a$ do polinomio $f(x)$. En xeral, isto pode chegar a ser moi difícil, mais en certos casos pódense descubrir certas raíces. Por exemplo, se o polinomio só ten coeficientes enteiros, o resultado do teorema das raíces racionais sería de axuda.
2. Usar o teorema do factor para concluír que $(x-a)$ é un factor de $f(x)$.
3. Calcular o polinomio $g(x)=f(x)/(x-a)$, por exemplo, usando a regra de Ruffini.
4. Concluír que calquera raíz $x\neq a$ de $f(x)=0$ é raíz de $g(x)=0$. Xa que o grao polinomial de $g$ é un menor que o de $f$, suponse que é máis sinxelo atopar o resto de raíces de $g$.

Exemplo de atopar de raíces

Atopar os factores de

$x^{3}+7x^{2}+8x+2.$

Pódese actuar por proba e erro (ou co teorema das raíces racionais) para atopar o primeiro valor x que fai que a expresión sexa igual a cero. Para saber se $(x-1)$ é un factor, substitúese $x=1$ no polinomio anterior:

${\begin{aligned}x^{3}+7x^{2}+8x+2=&(1)^{3}+7(1)^{2}+8(1)+2\\=&1+7+8+2\\=&18\\\end{aligned}}$

Isto é igual a 18 e non é $0$ e, polo tanto $x-1$ non é un factor. Así, téntase ver se $x+1$ é factor e para iso, substitúese $x=-1$ no polinomio anterior:

$(-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2$

Isto é $0$. Por tanto $x-(-1)$, é dicir $x+1$, é un factor, e $-1$ é unha raíz de $x^{3}+7x^{2}+8x+2$.

As seguintes dúas raíces pódense atopar dividindo alxebricamente $x^{3}+7x^{2}+8x+2$ por $(x+1)$, para obter unha cadrática:

${x^{3}+7x^{2}+8x+2 \over x+1}=x^{2}+6x+2,$

e, por tanto, $(x+1)$ e $x^{2}+6x+2$ son factores de $x^{3}+7x^{2}+8x+2$. Destes, o factor cadrático pode ser aínda factorizado resolvendo unha ecuación de segundo grado, que terá as raíces $-3\pm {\sqrt {7}}.$ Así, os tres factores irredutíbeis do polinomio orixinal son $x+1,$ $x-(-3+{\sqrt {7}}),$ e $x-(-3-{\sqrt {7}}).$

Cálculo de valores dun polinomio

O teorema do resto adóitase empregar para avaliar $f(r)$ calculando o resto $R$. Malia que a división longa de polinomios é máis difícil que avaliar a función, a división sintética é computacionalmente máis doada. A aplicación da división sintética, neste caso usando a regra de Ruffini, e o teorema do resto para avaliar un polinomio é equivalente á aplicación do algoritmo de Horner.

É salientábel que o algoritmo de Horner só precisa n sumas e n produtos cando o grao do polinomio é n, sendo este o número mínimo de operacións de cada tipo que se precisa para avaliar un polinomio. Deste xeito, en canto ao número de operacións, o algoritmo de Horner, e polo tanto o algoritmo equivalente de usar a regra de Ruffini e o teorema do resto, é óptimo. As minimalidades de cada unha das operacións foi demostrada por separado: o número de sumas foi probado por Alexander Ostrowski en 1954, e o número de produtos por Victor Pan en 1966.

Véxase tamén

Bibliografía

• Bansal, R. K. Laxmi Publications, ed. Comprehensive Mathematics IX. p. 142. ISBN 81-7008-629-9. 
• Larson, Ron (2014). College Algebra. Cengage Learning. 
• Larson, Ron (2011). Precalculus with Limits. Cengage Learning. 
• Rudnicki, Piotr (2004). "Little Bezout Theorem (Factor Theorem)" (PDF). Formalized Mathematics 12 (1). 
• Sehgal, V K; Gupta, Sonal. Dorling Kindersley (India), ed. Longman ICSE Mathematics Class 10. p. 381. ISBN 978-81-317-2816-1. .
• Sullivan, Michael (1996). Prentice Hall, ed. Algebra and Trigonometry. ISBN 0-13-370149-2. 
• Pan, Y. Ja (1966). "On means of calculating values of polynomials". Russian Math. Surveys 21: 105–136. doi:10.1070/rm1966v021n01abeh004147. 
• Ostrowski, Alexander M. (1954). "On two problems in abstract algebra connected with Horner's rule". Studies in Mathematics and Mechanics presented to Richard von Mises. Academic Press. pp. 40–48. ISBN 978-1-4832-3272-0.