הצגת המקור של הדף "שיחה:עוצמה (מתמטיקה)"

== משימות נוספות ==

(להוסיף על פרדוקס המלון)
(להוסיף על משפט קנטור,  ולהוכיח הן את המשפט הכללי - בין קבוצה לקבוצת החזקה.)

(להוסיף מונחים: על קבוצה, תת קבוצה ממש, הקבוצה האוניברסלית, יחסי הכלה, משלים.  '''להוסיף את הסימנים של הפעולות האלו''', וכן להוסיף לכולן דוגמאות.  ואפשר גם על גבול של סדרת קבוצות, ועד lim sup, lim inf).
(להוסיף מונח - תורת הקבוצות האקסיומטית והאקסיומות של צרמלו ופרנקל.  אקסיומת הבחירה, הלמה של צורן, הצורך באקסיומת הבחירה).
(להסביר על גודל של קבוצות ללא מבנה.  להצביע לגדלים של קבוצות עם מבנה - מבנה אלגברי - שתי חבורות באותה עוצמה יכולות להיות שונות ואף אחת חלקית לשניה מבחינת המבנה.  כך גם בהבט של מידה, קבוצות שיש עליהן סדר, ובפרט הטבעיים עם המספר אינסוף, בהבט של קטגוריה, בהבט של מידה וכן דוגמאת שני מרחבים אויקלידיים בממדים שונים, אחד חלקי לשני, אך אותה עוצמה כקבוצות.  במיוחד חשובות הדוגמאות אשר מגדירות גדלים של קבוצות: סדרים, קטגוריות ומידה).
(להוסיף את המונחים באנגלית - קבוצה דוקא כ- Set, וחבורה דווקא כ- Group)
(להוסיף את הסימנים של הפעולות המתמטיות, וכן להוסיף לכולן דוגמאות).

(להוסיף את פעולות אריתמטיקה של עוצמות) -
אם A,B קבוצות '''זרות''' שעוצמתן k וn בהתאמה -

n+k מוגדרת כעוצמת AUB (איחוד - לשפץ סימן)

n*k מוגדרת כעוצמת AxB ([[מכפלה קרטזית]] של שתי הקבוצות)

n^k מוגדר כעוצמת A^B ([[קבוצת כל הפונקציות]] מB לA)

+ציון ההתאמה בין ההגדרות האלו להגדרת חזקה, חיבור וכפל במספרים טבעיים.
+ציון העובדה ש'''לא קיים חיסור עוצמות''' (והסברת הבעייתיות בהגדרה כזו)) 

יש כאן הוכחה נחמדה לכך שהרציונלים והטבעיים הם בעלי אותה עוצמה, היא שייכת לערך שבו מובאת ההוכחה המוכרת יותר. [[משתמש:שן שש זעם|שן שש זעם]]

==האם לעוצמה יש הגדרה?==
לדעתי, אין הגדרה לעוצמה. למושג מספר יש הגדרה הנובעת מהמושג עוצמה. לדעתי, ישנן הגדרות ל-1, ל-2, ל-3 ולשאר, אולם אני לא מצליח לחשוב על הגדרה ראשונית לעוצמה.
הדבר דומה להגדרה של צבע, אשר קיימת, אולם לא קיימת הגדרה אמיתית, מובנת ואובייקטיבית לאדום, לכחול ולירוק (כמובן שאפשר להגדיר לפי התדירות של הגלים הללו, אבל יכול להיות שמה שאני תופש כאדום, זה הכחול של שכני וכו').
בכל מקרה, ערך זה טוב למדי.
: במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית קל להגדיר מתי לשתי קבוצות יש אותה עוצמה; לעומת זאת, ההגדרה המקובלת (?) של העוצמה של A כ"קבוצת כל הקבוצות שעוצמתן שווה לזו של קבוצה A" אינה טובה (זו [[מחלקה (תורת הקבוצות)|מחלקה]] שאינה קבוצה). אם מקבלים את [[אקסיומת הסדר הטוב]], אפשר להגדיר את העוצמה של A כ[[סודר]] הקטן ביותר שעוצמתו שווה לזו של A. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 21:54, 21 במאי 2007 (IDT)

==על קנטור וקבלה==

הורדתי את ההסבר שקנטור בחר באות העברית <math>\!\, \aleph_0</math> לציון עוצמה אינסופית "בשל משמעותה ב[[קבלה]]". מה ל[[גאורג קנטור|קנטור]], שנולד למשפחה מתבוללת, ולרזי הקבלה? אמנם כבר בהיכרות שלו עם [[אלפבית עברי|האלפבית העברי]] יש משום נס, אבל כדי לקבל את ההסבר נחוצה אסמכתא כלשהי. בדקתי בספר "מבוא למתמטיקה", שכתב [[אברהם הלוי פרנקל]], וההסבר שם הוא שהמתמטיקאים כבר השתלטו כל סימני ה[[אלפבית]] של השפות האירופיות ולכן נדחף קנטור אל האלפבית העברי. העובדה שפרנקל, ממשיכו הישיר של קנטור ומי שהקבלה לא היתה זרה לו, אינו מזכיר הסבר זה מחזקת את חוסר האימון שלי בהסבר.[[משתמש:דוד שי|דוד שי]] 18:51, 14 אוג' 2004 (UTC)

גוגל הגדול מכולם מצא לי ספר שיוצר קשר בין קנטור ובין הקבלה The Mystery of the Aleph מאת Amir Aczel. מכאן עברתי לענק אחר, Amazon, שסיפק לי את המשפט הבא מדש הספר:
Cantor used the term aleph-the first letter of' the Hebrew alphabet, with all its attendant divine associations-to refer to the mysterious number which is the sum of positive integers 

הקשר שיוצר ספר זה בין קנטור לקבלה זוכה לביקורת חריפה ביותר ברחבי האינטרנט, כך שאני עדיין מעדיף להשאיר את המילים "בשל משמעותה ב[[קבלה]]" מחוץ לערך, עד שנזכה לאסמכתא ברורה, אולי ממישהו שקרא את הספר והשתכנע. [[משתמש:דוד שי|דוד שי]] 19:27, 14 אוג' 2004 (UTC)

קנטור הגה את הסימן <math>\!\, \aleph_0</math> בשנת [[1893]], וזמן קצר לאחר מכן החל לסבול מ[[מחלת נפש]], ממנה סבל עד סוף ימיו. אני מקווה שהאובססיה שלי בעניין זה אינה רומזת לכך שזה גורלו של כל מי שעוסק במספר מופלא זה, [[אלף 0]]. בכל אופן הנה [http://members.aol.com/jeff570/set.html קישור מעניין]. [[משתמש:דוד שי|דוד שי]] 19:38, 14 אוג' 2004 (UTC)
:גם אני תהיתי בקשר לתוספת המשונה הזו לערך, וגם כן מצאתי את הספר הזה בגוגל, אבל לא נכנסתי לפולמוס שמאחוריו, והעדפתי לא להעיף את הטקסט כל עוד אני לא מכיר את העניין הזה יותר לעומק. אני אקבל את דעתך בעניין - שיבוא איש הקבלה שלנו ויסביר את עצמו! [[משתמש:Gadial|גדי אלכסנדרוביץ']] 20:15, 14 אוג' 2004 (UTC)
:::כתבתי את הערך [[אלף 0]], ואני מקווה שכעת אמצא מרגוע לנפשי הסוערת. [[משתמש:דוד שי|דוד שי]] 20:21, 14 אוג' 2004 (UTC)

==שלושה ערכים, שלוש הוכחות==

איזה דבר משונה. בערך הזה, בערך [[מספר רציונלי]] ובערך [[קבוצה בת מנייה]] יש הוכחות לכך שהרציונליים בני מנייה, אך כל אחת מההוכחות שונה. [[משתמש:שן שש זעם|שן שש זעם]]

==פסקה מיותרת?==
לערך הוספה הפסקה הבאה:
"הגירסה הבאה של הפרדוקס של ראסל מראה שלכל עוצמה, קיימת עוצמה גדולה יותר. תהי A קבוצה, ותהי P(A) קבוצת החזקה שלה (כלומר, קבוצת כל תת-הקבוצות של A). נניח, בשלילה, שקיימת התאמה \ f\,:\,A \rightarrow P(A) שהיא על. נתבונן בקבוצה \,X = \{a \in A\,:\,a\not\in f(a)\}. אם f על, אז צריך להיות איבר x \in A שעבורו X = f(x). אבל אז מ- x\in X נובע x \not \in X (לפי הגדרת X), ולהיפך - סתירה. מכאן שעוצמתה של קבוצת החזקה גדולה ממש מעוצמתה של הקבוצה המקורית."

כרגע קיים קישור בערך אל [[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)]], שמראה בדיוק את זה, ולכן הפסקה הזו די מיותרת. [[משתמש:Gadial|גדי אלכסנדרוביץ']] 05:49, 23 דצמ' 2004 (UTC)
::מסכים, מחקתי את הפסקה ושיניתי קצת את הפסקה המקשרת למשפט קנטור. אולי כדאי להוסיף את הנימוק שמראה שאוסף העוצמות אינו יכול להיות קבוצה (אחרת, מה העוצמה שלה?). שינוי נוסף: בתורת הקבוצות האקסיומטית יש sets ו- classes. שיניתי את המונח האחרון מ"קטגוריה" ל"מחלקה".
:::אשמח מאוד אם תוסיף את הנימוק לפיו מחלקת העוצמות אינה קבוצה. אני לא מכיר אותו בניסוח פורמלי מדוייק מספיק כדי לכתוב אותו בעצמי. [[משתמש:Gadial|גדי אלכסנדרוביץ']] 17:55, 23 דצמ' 2004 (UTC)

==שם הערך==
טרול רפאים שינה את שם הערך ל"עוצמה (מתמטיקה)", ובהתאם להסבר המופיע ב[[ויקיפדיה:פירושונים]] החזרתי את המצב לקדמותו: יש לנו כשלושים קישורים ל[[עוצמה]] במשמעותה המתמטית, ואין כל קישור לעוצמה במשמעות אחרות. עצם קיומה של משמעות מילונית אחרת אינו מצדיק את שינוי השם. [[משתמש:דוד שי|דוד שי]] 05:40, 4 מרץ 2005 (UTC)
::גם אני חושב כך.מה עדיף: עוצמה או עצמה כשם ראשי? [[משתמש:אבינעם|אבינעם]] 08:36, 4 מרץ 2005 (UTC)
:::הסיבה היחידה לכך שאין לנו קישורים בהקשרים אחרים היא שאף אחד לא העלה על דעתו שיהיה ערך כזה (בעיה נפוצה בקביעת הערכים, ראה מקרה [[מוחמד עלי]]). יש 79 קישורים לעוצמה, וזה אומר שיש כ-40 אזכורים אחרים של המילה. אני חושב שיש להעביר את הערך. [[משתמש:טרול רפאים|טרול רפאים]] 09:10, 4 מרץ 2005 (UTC)
::::אני מסכים עם הטרול שהערך צריך להיות בעוצמה (מתמטיקה), אך עם זאת, אפשר להסתפק בינתיים בהפנייה רגילה עד אשר יגיע ערך אחר. [[משתמש:Amitayk|אמיתי]] 09:21, 4 מרץ 2005 (UTC)
:::::זה היה המצב שעשיתי, לא יצרתי דף פירושונים. [[משתמש:טרול רפאים|טרול רפאים]] 09:31, 4 מרץ 2005 (UTC)
::::::לא מובן לי המשפט: "יש 79 קישורים לעוצמה". היכן מסתתרים קישורים אלה? האם הכוונה שבכל מיני מקומות משתמשים במילה "עוצמה" במשמעות הטריביאלית של "כוח"? אם כן, למי זה מפריע? הראו משמעויות של "עוצמה" שיהפכו לערך בויקיפדיה, ואז הדיון יהיה משמעותי. [[משתמש:דוד שי|דוד שי]] 13:33, 4 מרץ 2005 (UTC)

יש לעשות הפרדה בין המונחים "עוצמה", "עוצמת הטבעיים", ו"עוצמת הרצף".--[[משתמש:Darth.Vader|Darth.Vader]] 22:06, 20 יולי 2006 (IDT)
:לדעתך כרגע אין הפרדה? לאיזו הפרדה אתה חותר? [[משתמש:Gadial|גדי אלכסנדרוביץ&#39;]] 22:10, 20 יולי 2006 (IDT)

ההפרדה היא לערך עוצמה, לערך א0 (עוצמת הטבעיים והתוצאות המרכזיות) א (עוצמת הרצף)
:זה המצב עם [[אלף 0]]. את [[עוצמת הרצף]] יצרתי לפי הצעתך, רצוי להרחיב (אפשר לפי ויקי האנגלית). [[משתמש:דוד שי|דוד שי]] 08:10, 21 יולי 2006 (IDT)
:אין סיבה מיוחדת לקרוא ל[[אלף 0]] בשם "עוצמת הטבעיים" דווקא. [[משתמש:Gadial|גדי אלכסנדרוביץ&#39;]] 09:25, 21 יולי 2006 (IDT)

יש הרבה פירושים '''כחולים''' לעוצמה וכעת אני חושב שראוי להעביר את הערך להיות עוצמה (מתמטיקה) ועוצמה יהיה דף פירושונים. לחשוב שיותר אנשים יחפשו עוצמה במובן של קבוצות מאשר במובן של פוליטיקה או פיזיקה זה לא ריאלי. [[משתמש:Setreset|Setreset]] - [[שיחת משתמש:Setreset|שיחה]] 15:11, 24 באוקטובר 2009 (IST)
:אני מסכים. &rlm;[[משתמש:odedee|odedee]] <small>•</small> [[שיחת משתמש:odedee|שיחה]] 15:13, 24 באוקטובר 2009 (IST)
::מצטרף להסכמה. אין סיבה להעדיף את עוצמה במשמעות של מספר קרדינלי על פני יתר המשמעויות הנפוצות. אם לא תהיה התנגדות משמעותית שתשנה את תוצאות הדיון כאן, הדף עוצמה יהפוך לדף פירושונים. --[[משתמש:Jys|Jys]] - [[שיחת משתמש:Jys|שיחה]] 08:03, 2 בדצמבר 2011 (IST)
:::אני מתנגד, לפחות עד לתיקון הקישורים. [[משתמש:דניאל ב.|דניאל]] <small>• [[משתמש:דניאל ב./מיזם מחזיק מברשות|תרמו ערך]]</small> 09:04, 2 בדצמבר 2011 (IST)
::::הקישורים יתוקנו, רובם קשורים לתבנית ויספיק תיקון אחד. --[[משתמש:Jys|Jys]] - [[שיחת משתמש:Jys|שיחה]] 13:06, 2 בדצמבר 2011 (IST)
:::::אני לא חושב שאתה צודק. במרבית הערכים בהם מופיעה התבנית מופיע גם קישור ישיר מגוף הערך (אני מניח שאני לבדי יצרתי עשרות קישורים). ראשית, אני מציע שתפנה לפה את דוד שבעבר התנגד לשינוי. אם יוסכם על השינוי, יש קודם לתקן את כל הקישורים ל[[עוצמה (מתמטיקה)]], ורק ואז לבצע העברה. [[משתמש:דניאל ב.|דניאל]] <small>• [[משתמש:דניאל ב./מיזם מחזיק מברשות|תרמו ערך]]</small> 13:13, 2 בדצמבר 2011 (IST)
::::::בדקתי. יש אכן כ-120 קישורים שדורשים תיקון. הם יתוקנו כאמור אם לא תהיה התנגדות שתשנה את ההסכמה לשינוי. --[[משתמש:Jys|Jys]] - [[שיחת משתמש:Jys|שיחה]] 02:19, 3 בדצמבר 2011 (IST)
:::::::למילה [[עוצמה]] כשלעצמה יש רק משמעות אחת נוספת, בפיזיקה. למשמעות זו יש כעשירית מהקישורים מאשר למשמעות המתמטית. אינני רואה הצדקה להעברה המוצעת. [[משתמש:דוד שי|דוד שי]] - [[שיחת משתמש:דוד שי|שיחה]] 12:43, 3 בדצמבר 2011 (IST)
::::::::השאלה אם כמות הציטוטים בערכים אחרים מהווה כאן הוכחה על תפוצת יתר בחישוב הכולל. ייתכן שזה מצביע על שימוש נרחב במילה בקטגוריה 'איזוטרית' מסויימת, לעניינו מתמטיקה, שגם נדמה שזוכה כאן (הרבה בזכותכם) לטיפול מקיף יותר מתחום הסוציולוגיה, הפיזיקה, והפוליטיקה גם יחד. ב[[חזקה]] למשל השאלה כנראה כלל לא עלתה משום שגם תחום ההלכה מכוסה כאן היטב. בכל אופן, נראה שרוב המשתתפים עד כה בדיון סבורים שיותר אנשים יחפשו את יתר המשמעויות הנפוצות, וישנה גם הפנייה לדיון מלוח המודעות. --[[משתמש:Jys|Jys]] - [[שיחת משתמש:Jys|שיחה]] 14:17, 3 בדצמבר 2011 (IST)
:::::::::אני מסכים שקישורים הם לא מדד. מדד אמין יותר הוא מספר הצפיות בערכים. ב[[עוצמה]] צופים יותר מפי 10 יותר אנשים מאשר ב[[עוצמה (פירושונים)]] ומב[[עוצמה (פיזיקה)]]. אני מסיק מכך שרוב הקוראים מחפשים את המקרה המתמטי. זה הגיוני משום שהפירוש המתמטי הוא מרכזי מאוד בכל תחומי המתמטיקה ואינו טריוויאלי (כך שיש טעם לחפשו כאן). לעומת זאת הפירוש הפיזיקלי הוא משני בתחום המכניקה, ואין דברים לא טריוויאלים להגיד עליו. לדעתי גם בדף [[חזקה]] עשו טעות. [[חזקה (מתמטיקה)]] פופולרי בהרבה מכל שאר הפירושים, כולל דף הפירושונים [[חזקה]] עצמו. [[משתמש:דניאל ב.|דניאל]] <small>• [[משתמש:דניאל ב./מיזם מחזיק מברשות|תרמו ערך]]</small> 14:40, 3 בדצמבר 2011 (IST)
::::::::::אני לא בטוח אם גם כמות הצפיות רלוונטית כאן כמדד לדומיננטיות, אם כאמור הנושאים עצמם לא מכוסים כאן מספיק ואין דרך להגיע לערכים. למילה עוצמה יש גם מטען תרבותי ואינטואיטיבי שאנשים מצפים לראות, גם אם קשה לשקף זאת במדד צפיות. --[[משתמש:Jys|Jys]] - [[שיחת משתמש:Jys|שיחה]] 15:09, 3 בדצמבר 2011 (IST)
:::::::::::האם המטען תרבותי ואינטואיטיבי אנציקלופדי מספיק בשביל ערך? לא נראה לי ולכן הוא לא במערכת השיקולים שלנו. זה לא מילון. גם למילה [[אנרגיה]] משמעות מילונית מופשטת חזקה, אבל ברור שלא נעביר ל[[אנרגיה (פיזיקה)]]. אני גם לא רואה למה שמישהו יחפש כאן את המשמעות המופשטת של עוצמה. עובדה שכאשר הם לא מוצאים את מבוקשם בערך הזה, הם לא טורחים להיכנס ל[[עוצמה (פירושונים)]]. [[משתמש:דניאל ב.|דניאל]] <small>• [[משתמש:דניאל ב./מיזם מחזיק מברשות|תרמו ערך]]</small> 15:28, 3 בדצמבר 2011 (IST)
::::::::::::אני סבור שכן, בייחוד כשזה מעוגן במדעי הפיזיקה והחברה ומתפרס על תתי נושאים שהקורא מצפה להשכיל בהם. לגבי הדוגמא של אנרגיה, שם מדובר במשמעות מושאלת פרופר. הדוגמא המתאימה שגם קשורה לנושא שלנו היא [[כוח]]. אגב מדדי ציטוטים, תוכל לבדוק אם אין טעות בחישובים שהובאו על כתבי עת ישראלים בערך [[אימפקט פקטור]]? --[[משתמש:Jys|Jys]] - [[שיחת משתמש:Jys|שיחה]] 15:50, 3 בדצמבר 2011 (IST)
:::::::::::::כמו jys. [[משתמש:יעל י|יעל י]] 19:42, 3 בדצמבר 2011 (IST)
::::::::::::::דניאל: "אנרגיה" היא מושג פיזיקלי, שלא התקיים (לפחות לא בשם הזה) לפני שהוגדר באופן פיזיקלי, ומשמש '''בהשאלה''' בתחומים אחרים. היפוכו ב"עצמה": למילה הזו יש קיום בעברית מימי התנ"ך, ודווקא המשמעות המתמטית היא "בהשאלה". לדעתי שקוף שהמשמעות הישירה צריכה להוביל לדף הפירושונים, והערך הנוכחי צריך להיקרא "עוצמה (מתמטיקה)". נכון שאת הניתוח צריך לעשות לאט ובזהירות: קודם כל להעביר ולהשאיר הפניה, אחר כך לתקן את כל הקישורים שהצטברו לערך הנוכחי, ורק לבסוף להעביר את דף הפירושונים (וכמובן להשאיר את ההפניה מ"עוצמה (פירושונים)"). לגבי ספירת מספר הצפיות: זו תוצאה צפויה לערך שיש אליו קישורים פנימיים רבים. אם אכן רוב הצפיות נובעות מהקשה על קישור פנימי, מאום לא יגרע מכבודן אם אותן הקשות עצמן יובילו ל"עוצמה (מתמטיקה)". [[משתמש:קיפודנחש|קיפודנחש]] - [[שיחת משתמש:קיפודנחש|שיחה]] 23:32, 3 בדצמבר 2011 (IST)
:::::::::::::::נדמה לי שאני במיעוט, ולכן עלי לקבל את המתווה שהציע [[משתמש:קיפודנחש|קיפודנחש]]. [[משתמש:דוד שי|דוד שי]] - [[שיחת משתמש:דוד שי|שיחה]] 23:50, 3 בדצמבר 2011 (IST)
::::::::::::::::א. אני דווקא לא רואה איך אתה במיעוט כזה מכריע
::::::::::::::::ב. רבים לא נחשפו לדיון הזה. אני נתקלתי בו לראשונה עכשיו
::::::::::::::::ג. אני לא יודע בקשר לדברים אחרים, אבל בפיזיקה, המונח "עוצמה" הוא ממש לא מרכזי, ואני אפילו תוהה האם ניתן להתייחס אליו כאל מונח פיזיקלי. אני אפילו לא בטוח שיש הצדקה לערך [[עוצמה (פיזיקה)]]. [[משתמש:Eman|eman]]<small> • [[שיחת משתמש:Eman|שיחה]] • </small>[[משתמש:Eman/♥|♥]] 23:28, 18 בדצמבר 2011 (IST)
:::::::::::::::::בהצלחה במאבקך הצודק. [[משתמש:דוד שי|דוד שי]] - [[שיחת משתמש:דוד שי|שיחה]] 23:36, 18 בדצמבר 2011 (IST)

== קבוצה בעלת/חסרת מבנה ==

מהי קבוצה בעלת מבנה, ומהי קבוצה חסרת מבנה? [[משתמש:דורון שדמי|דורון שדמי]] 23:25, 2 באוקטובר 2006 (IST)
:עבור [[קבוצה סדורה היטב]] קיים מושג יותר "עדין" של גודל - [[מספר סודר]]. הסדר של אברי הקבוצה הוא דוגמה למבנה שמושרה עליה. [[משתמש:Gadial|גדי אלכסנדרוביץ&#39;]] 07:21, 3 באוקטובר 2006 (IST)


היות ודיון זה התפתח מעבר למטרות דף השיחה של הערך, העברתי אותו לדף השיחה שלי. 

[[תמונה:Flag of Israel.svg|20px]]_'''[[משתמש:MathKnight|MathKnight]]'''_[[תמונה:Star of David.svg|10px]]  אתה מוזמן להמשיך את הדיון, בברכה [[משתמש:דורון שדמי|דורון שדמי]] 23:32, 8 בדצמבר 2006 (IST)

== אוסף כל העוצמות ==

למה הוא לא קבוצה? ------22:11, 11 במאי 2009 (IDT)[[מיוחד:תרומות/87.68.159.254|87.68.159.254]]
:אוסף כל העוצמות הוא קבוצה. אך אוסף כל הקבוצות אינו קבוצה. אם כך היה, הייתה נוצרת סתירה, בניסיון לבחון האם אותה קבוצה-כביכול מכילה את עצמה כאיבר, או לא ([[הפרדוקס של ראסל]]). [[משתמש:תומר ט|תומר]] - [[שיחת משתמש:תומר ט|שיחה]] 12:38, 3 בדצמבר 2011 (IST)
::לא נכון. אוסף כל העוצמות אינו קבוצה. ההגדרה הפורמלית של עוצמה היא כ[[מספר סודר]] ועל אוסף כל העוצמות חלה גרסה של [[הפרדוקס של בורלי-פורטי]]. [[משתמש:דניאל ב.|דניאל]] <small>• [[משתמש:דניאל ב./מיזם מחזיק מברשות|תרמו ערך]]</small> 12:43, 3 בדצמבר 2011 (IST)
::למעשה <math>\alpha \to \aleph_\alpha</math> היא התאמה חד-חד-ערכית ועל מהסודרים לעוצמות האינסופיות, ולכן פרדוקס בורלי-פורטי חל גם על עוצמות. [[משתמש:דניאל ב.|דניאל]] <small>• [[משתמש:דניאל ב./מיזם מחזיק מברשות|תרמו ערך]]</small> 12:49, 3 בדצמבר 2011 (IST)
:::וואלה? חידשת לי. עם זאת, את ההוכחה בערך [[הפרדוקס של בורלי-פורטי]] לא הבנתי... [[משתמש:תומר ט|תומר]] - [[שיחת משתמש:תומר ט|שיחה]] 12:52, 3 בדצמבר 2011 (IST)
::::להוכחה דרושה היכרות מינימלית עם סודרים. לצערי, לרוב לא עוסקים בסודרים בקורסים סטנדרטיים בדיסקרטית. הרעיון הכללי (לעוצמות) הוא שאם אוסף העוצמות היה קבוצה, אז העוצמה שלו היתה העוצמה המקסימלית. אבל [[משפט קנטור]] קובע שאין עוצמה מקסימלית. [[משתמש:דניאל ב.|דניאל]] <small>• [[משתמש:דניאל ב./מיזם מחזיק מברשות|תרמו ערך]]</small> 13:03, 3 בדצמבר 2011 (IST)

== שתי שאלות על עוצמה ==

1) כמה עוצמות יש (תיתכנה) ? האם מספרן סופי (אם כן האם הוא ידוע ? האם ידוע לפחות החסם העליון שלו ?) או לאו ? (אם הוא אינסופי, מהי עוצמתו ?)
:ל<big>כל</big> השאלות הנ"ל - האם התשובה בהתאם לכל שאלה מוכחת/משוערת/ נחקרה בלי תשובה/לא נחקרה ?
2) האם יש לפיתוח המושג עוצמה "תועלת יומיומית" ? עדיפה הדוגמה "יומיומית" ביותר (כמה דוגמאות כאלו, אם הן קיימות, נחמד יותר כמובן). תודה.[[משתמש:רצוני|רצוני]] - [[שיחת משתמש:רצוני|שיחה]] 04:37, 7 בפברואר 2012 (IST)
:: מ[[משפט קנטור]] נובע שאין עוצמה גדולה ביותר (לכל עוצמה יש עוצמה גדולה ממנה). למעשה אפשר להוכיח ש"קבוצת העוצמות" יוצרת פרדוקסים דומים לאלו של "קבוצת כל הקבוצות", ולכן במסגרת (הקפדנית והמדוייקת) של תורת הקבוצות האקסיומטית, אפשר להוכיח שאוסף העוצמות גדול מכל קבוצה, ולכן אין לו עוצמה.
:: התועלת ה"יומיומית" (למתמטיקאי) היא במספר גדול של הוכחות קיום (יש מספרים לא אלגבריים, משום שיש יותר מספרים ממשיים ממספרים אלגבריים; יש מספרים שאינם ניתנים לתאור סופי, ועוד). בעולם הפיזי, שניתן בסופו של דבר למידול סופי, אי אפשר לצפות ליישומים הנשענים על עוצמות אינסופיות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] - [[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]] 10:59, 7 בפברואר 2012 (IST)

== דיווח על טעות ==

<קטע התחלה="1422306294794" />
=== פרטי הדיווח ===
ההוכחה של שקילות בין הרציונלים לטבעיים לא מדוייקת. f שולחת למספרים לא טבעיים כאשר m וn שליליים דווח על ידי:  [[מיוחד:תרומות/93.172.24.144|93.172.24.144]] 23:04, 26 בינואר 2015 (IST)
:טופל, הודגש שמדובר במספרים חיוביים בלבד. ‏[[משתמש:Uziel302|Uziel302]] • [[שיחת משתמש:Uziel302|שיחה]] • [[ויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/ערכים יתומים|אמצו ערך יתום!]] 23:26, 27 בינואר 2015 (IST)
::זה לא טיפול. אי אפשר "להדגיש" שהמדובר בחיוביים בלבד כשהטענה היא שקיימת התאמה חח"ע בין הרציונליים לטבעיים (לא בין "הרציונליים החיוביים" לטבעיים). על הדרך אציין גם שהסייג שמופיע בערך ("כאשר המספר הרציונלי מוצג בצורה המצומצמת ביותר שלו") מיותר. נחוץ תיקון יותר טוב - רצוי ממתמטיקאי (אולי {{א|דניאל ב.}} או {{א|עוזי ו.}}  ?) [[שיחת משתמש:קיפודנחש|קיפודנחש]] 23:50, 27 בינואר 2015 (IST) 
:::הטענה היא אכן בין "הרציונליים החיוביים" לטבעיים, כך על פי [https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=%D7%A2%D7%95%D7%A6%D7%9E%D7%94_%28%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94%29&diff=16485083&oldid=16484796 עריכה זו] של עוזי ו. ‏[[משתמש:Uziel302|Uziel302]] • [[שיחת משתמש:Uziel302|שיחה]] • [[ויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/ערכים יתומים|אמצו ערך יתום!]] 23:59, 27 בינואר 2015 (IST)
::::הדיוק חשוב, וטוב שהעניין תוקן. מובן שברגע שהוצגה התאמה חח"ע בין הרציונליים החיוביים לטבעיים, נובעת מכך מיד התאמה חח"ע בין הרציונליים לטבעיים, לפי מידע שכבר מופיע בערך. [[משתמש:דוד שי|דוד שי]] - [[שיחת משתמש:דוד שי|שיחה]] 07:10, 28 בינואר 2015 (IST)
: הפסקה בערך פותחת בכך שקנטור הוכיח שהמספרים הרציונליים בני מניה, וממשיכה בהוכחה לא קונסטרוקטיבית, הנשענת על משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין. אין ספק שההוכחה של קנטור היתה ישירה ופשוטה יותר; ואז גם אין צורך להיקלע לפינות קטנוניות. אתקן בהמשך. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] - [[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]] 12:35, 28 בינואר 2015 (IST) (תיקנתי; ע.ו.)

<!-- נא להוסיף דברים מעל שורה זו -->
<קטע סוף="1422306294794" />

== חיבור וכפל עוצמות אינסופיות ==

בערך מופיע כי אם אחת מהן אינסופית ואף אחת מהן אינה אפס, אז <math>\kappa+\lambda=\kappa\cdot\lambda=\max\{\kappa,\lambda\}</math>. מישהו מכיר הוכחה? [[משתמש:בנציון יעבץ|בנציון יעבץ]] - [[שיחת משתמש:בנציון יעבץ|שיחה]] 21:30, 10 במרץ 2021 (IST)
: מספיק להוכיח ש-a^2=a כאשר a עוצמה אינסופית (השאר נובע מהשוואות). להוכחת הטענה הזו נחוצה אקסיומת הבחירה, השקולה לכך שכל קבוצה אפשר לסדר היטב. ראה [https://math.stackexchange.com/questions/54892/about-a-paper-of-zermelo/ כאן] הוכחה מפורטת. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] - [[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]] 23:27, 10 במרץ 2021 (IST)
::יש ערך: [[משפט טרסקי]]. [[משתמש:דניאל ב.|דניאל]] 12:57, 11 במרץ 2021 (IST)
::: זה הכיוון ההפוך, שמן השוויון נובעת אקסיומת הבחירה. נדמה לי שהכיוון ה"ישר" קל יותר. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] - [[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]] 13:48, 11 במרץ 2021 (IST)

== דיווח שאורכב ב-16 בפברואר 2023 ==

:דיווח מהדף [[ויקיפדיה:דיווח על טעויות]]
{{מצב|טופל}}
בלשונית אריתמטיקה של עוצמות למטה, כאשר אחת העוצמות u או k היא אינסופית אז בהנחת אקסיומת הבחינה הסכום שלהן הוא המקסימלית בניהן ואילו על המכפלה צריך לדרוש שהשנייה תהיה שונה מ0 אחרת המכפלה ריקה והעוצמה היא דווקא 0.
: טופל על ידי המדווח. [[משתמש:Politheory1983|פוליתיאורי]] - [[שיחת משתמש:Politheory1983|שיחה]] 18:13, 15 בפברואר 2023 (IST)

== מדוע שוחזר הקטע הבא: ==

"...באופן שאינו מתחשב ב[[מבנה (מתמטיקה)|מבנה]] שלה (אם יש לה כזה)."

במה הוא תורם להבנת\ הגדרת המושג אינסוף במתמטיקה? [[משתמש:Shmoran|Shmoran]] - [[שיחת משתמש:Shmoran|שיחה]] 16:30, 8 בדצמבר 2023 (IST)

:מאחר ואין תגובה לשאלתי, ומאחר ולעניות דעתי הקטע הנ"ל לא מוסיף וייתכן שגם אינו מובן, אני מולק אותו. מבקש שאם ישוחזר, השיחזור ילווה בנימוק. תודה. [[משתמש:Shmoran|Shmoran]] - [[שיחת משתמש:Shmoran|שיחה]] 13:45, 11 בדצמבר 2023 (IST)
: המושג שאנחנו מסבירים כאן הוא עוצמה. מהי עוצמה, אם לא *מושג הגודל שאינו תלוי במבנה*. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] - [[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]] 15:51, 11 בדצמבר 2023 (IST)
::[[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]], האם תוכל להדגים גודל שכן תלוי במבנה, כדי שיהיה ברור הצורך במילים "שאינו תלוי במבנה"? [[משתמש:דוד שי|דוד שי]] - [[שיחת משתמש:דוד שי|שיחה]] 18:48, 11 בדצמבר 2023 (IST)
::: [[מידה]], [[גובה]] (של עץ), כל ה[[ממד (אלגברה)|ממדים האלגבריים]], [[קוטר]] (של קבוצה במרחב מטרי). הדוגמא הפשוטה ביותר היא ה[[אורך]] של קטע: ל-[0,1] ו-[0,35] אותה עוצמה אבל גדלים שונים. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] - [[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]] 13:48, 12 בדצמבר 2023 (IST)

== מה זה "קבוצה חסרת מבנה"? ==

ולמה עוצמה מוגדרת רק עבור קבוצות שאינן חסרות מבנה? [[משתמש:Shmoran|Shmoran]] - [[שיחת משתמש:Shmoran|שיחה]] 14:24, 17 בדצמבר 2023 (IST)
:קרא את הדיון הקודם. [[משתמש:דוד שי|דוד שי]] - [[שיחת משתמש:דוד שי|שיחה]] 15:14, 17 בדצמבר 2023 (IST)
: אפשר להגדיר עוצמה של כל קבוצה, כולל קבוצה עם מבנה כגון [[מרחב טופולוגי]] או [[מרחב וקטורי]] באמצעות [[פונקטור]] שוכח, שלמעשה מוחק את המבנה של הקבוצה. העוצמה מוגדרת לכל קבוצה, אך לא מתחשבת במבנה שלה אלא מתעלמת ממנו. – '''ד"ר [[משתמש:MathKnight|<span style="color:blue;">M</span><span style="color:black;">ath</span><span style="color:green;">K</span>night]] <span style="color:royalblue;font-size:116%">✡</span>''' ([[שיחת משתמש:MathKnight|שיחה]]) 16:35, 17 בדצמבר 2023 (IST)
:: והנה דוגמה: לקבוצה <math>[0,1] = \{x \in \mathbb{R} | 0 \le x \le 1 \} \in \mathbb{R}</math> יש מבנה כקבוצה ב[[מרחב מטרי]] שהוא גם [[שדה (מתמטיקה)|שדה]] והיא בעלת [[מידת לבג|מידה]] 1 (כלומר: "אורך" הקבוצה הוא 1) אבל העוצמה שלה היא <math>\aleph = |\mathbb{R}|</math> הזהה ל[[עוצמת הרצף]], אבל לשם חישוב העוצמה שלה לא נעזרנו ב[[מטריקה]] וגם לא בתכונות השדה (כגון קיום איבר נייטרלי, סגירות לחיבור וכו'). – '''ד"ר [[משתמש:MathKnight|<span style="color:blue;">M</span><span style="color:black;">ath</span><span style="color:green;">K</span>night]] <span style="color:royalblue;font-size:116%">✡</span>''' ([[שיחת משתמש:MathKnight|שיחה]]) 19:05, 17 בדצמבר 2023 (IST)
:::החזרתי לניסוח שהיה בערך זמן רב "שאינו מתחשב במבנה שלה". [[משתמש:דוד שי|דוד שי]] - [[שיחת משתמש:דוד שי|שיחה]] 09:06, 18 בדצמבר 2023 (IST)
::::[[משתמש:Shmoran|Shmoran]] - [[שיחת משתמש:Shmoran|שיחה]] 22:26, 19 בדצמבר 2023 (IST) לא מצליח להבין את הטעון שלך. יש לך הגדרה (לא דוגמה) של המושג "מבנה" של קבוצה? מה הקשר בין עוצמה של קבוצה לבין ה"מבנה" שלה? באיזה ספר לימוד תראה הגדרה של עוצמה של קבוצה שמתייחסת ל"מבנה" שלה?  [[משתמש:Shmoran|Shmoran]] - [[שיחת משתמש:Shmoran|שיחה]] 22:25, 19 בדצמבר 2023 (IST)
::::: ראה [[מבנה (מתמטיקה)]]. "מה הקשר בין עוצמה של קבוצה לבין ה"מבנה" שלה?" - זהו בדיוק, שאין קשר. עוצמה זה גודל של קבוצה שמתעלם מהמבנה שלה, בניגוד לגדלים אחרים כגון [[מידת לבג|מידה]] (הכללה לאורך של קטע, שתלוי ב[[טופולוגיה]] של הקבוצה והמרחב בו היא נמצאת) או [[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] של [[מרחב וקטורי]]. – '''ד"ר [[משתמש:MathKnight|<span style="color:blue;">M</span><span style="color:black;">ath</span><span style="color:green;">K</span>night]] <span style="color:royalblue;font-size:116%">✡</span>''' ([[שיחת משתמש:MathKnight|שיחה]]) 22:34, 19 בדצמבר 2023 (IST)
::::::העוצמה של קבוצה גם לא קשורה לסוג האברים שבה (מספרים או כסאות), או לשאלה אם יש או אין להם צבע או ריח. אבל אין טעם לכתוב זאת, לא כן?  [[משתמש:Shmoran|Shmoran]] - [[שיחת משתמש:Shmoran|שיחה]] 22:40, 19 בדצמבר 2023 (IST)
::::::: החלפת את העמימות הזעירה של "[[מבנה (מתמטיקה)]]" ב"סוג" של איבר. בתחום "האובייקטים המתמטיים" יכולות להיות קבוצות של מספרים, קבוצות של פונקציות, קבוצות של מרחבים וקטוריים, קבוצות של העתקות בין מרחבים וקטורים, קבוצות של חבורות, קבוצות של קבוצות, קבוצות של n-יות מכל "סוג". על כל קבוצה אפשר להגדיר מבנה ובאמצעות [[איזומורפיזם]] להחיל את אותו מבנה על כל קבוצה שהיא, כל עוד היא באותו גודל של הקבוצה המקורית. למשל: הקבוצה {T,F} נראית לכאורה קבוצה של סתם אותיות, שלא קשורה למתממטיקה בכלל. אבל אם נבנה [[איזומורפיזם]] ממנה ל-<math>\mathbb{Z}_2</math> שמזהה את F עם 0 ואת T עם 1, ונגדיר ש-T+F שווה ל 1+0 ו-F+F=0+0=0 ו-T+T=1+1 וכו', השרנו מבנה מתמטי על הקבוצה {T,F} למרות שהאובייקטים שלה אינם מספרים. – '''ד"ר [[משתמש:MathKnight|<span style="color:blue;">M</span><span style="color:black;">ath</span><span style="color:green;">K</span>night]] <span style="color:royalblue;font-size:116%">✡</span>''' ([[שיחת משתמש:MathKnight|שיחה]]) 21:45, 20 בדצמבר 2023 (IST)
::::[[משתמש:Shmoran|Shmoran]] - [[שיחת משתמש:Shmoran|שיחה]] 08:51, 20 בדצמבר 2023 (IST)אם אתה מחזיר לגירסה קודמת, עליך להסביר מדוע הנימוקים לשינוי הגורסה אינם תופסים.
::::הגירסה אליה אתה מחזיר היא שגויה ומטעה, כפי שאני טורח להסביר מחדש כל פעם, ומכילה מושג מיותר ולא מוגדר. 
::::בכלל רעיון טוב להיצמד להגרות המקובלות בספרי לימוד למשל. [[משתמש:Shmoran|Shmoran]] - [[שיחת משתמש:Shmoran|שיחה]] 08:51, 20 בדצמבר 2023 (IST)
:::::אני מנחש שעוזי קרא ספר לימוד אחד או שניים, ומכיר את ההגדרות שבהם.
:::::בתורת הקבוצות יש להיזהר מספרי לימוד שמסתפקים ב[[תורת הקבוצות הנאיבית]]. [[משתמש:דוד שי|דוד שי]] - [[שיחת משתמש:דוד שי|שיחה]] 21:25, 20 בדצמבר 2023 (IST)
:::::: נראה לי שהוא חדש יחסית ולא מכיר את עוזי, וברמיזא אפשר לומר שיכול להיות שהוא אפילו כתב ספר לימוד אחד או שניים (אני מחשיב Lecture Notes כספר לימוד לצורך העניין). – '''ד"ר [[משתמש:MathKnight|<span style="color:blue;">M</span><span style="color:black;">ath</span><span style="color:green;">K</span>night]] <span style="color:royalblue;font-size:116%">✡</span>''' ([[שיחת משתמש:MathKnight|שיחה]]) 21:46, 20 בדצמבר 2023 (IST)