חוג דדקינד

במתמטיקה, ובעיקר באלגברה, תורת המספרים וגאומטריה אלגברית, חוג דדקינד הוא תחום שלמות נתרי נורמלי שבו כל אידיאל ראשוני שונה מאפס הוא מקסימלי. המבנה נקרא על שמו של ריכרד דדקינד.

הדוגמה הבולטת לחוגי דדקינד היא אוסף המספרים השלמים בשדה מספרים, ומכאן התפקיד המרכזי שיש להם בתורת המספרים האלגברית. לאידיאלים הראשוניים בחוג דדקינד יש תפקיד דומה לזה שמעניק המשפט היסודי של האריתמטיקה למספרים הראשוניים בחוג המספרים השלמים: כל אידיאל (שונה מאפס) אפשר לכתוב באופן יחיד כמכפלה של אידיאלים ראשוניים. כל תחום שלמות בעל תכונה זו הוא חוג דדקינד.

הגדרות שקולות

התפקיד המרכזי של חוגי דדקינד באלגברה קומוטטיבית מאפשר לאפיין אותם בדרכים רבות, המספקות מספר הגדרות חלופיות. תחום שלמות הוא חוג דדקינד אם:

• הוא נותרי ובעל ממד קרול 1, וכל אידיאל פרימרי הוא חזקה של אידיאל ראשוני;
• הוא נותרי, והמיקום ביחס לכל אידיאל ראשוני הוא תחום הערכה דיסקרטית (כלומר, תחום ראשי מקומי);
• הוא "פירוקי" (כלומר - כל אידיאל הוא מכפלה של אידיאלים ראשוניים באופן יחיד עד כדי סדר);
• הוא נותרי, וכל אידיאל מקסימלי הוא הפיך;
• כל אידיאל ראשוני (שונה מאפס) הוא הפיך;
• כל אידיאל שונה מאפס הוא הפיך;
• כל אידיאל הוא פרויקטיבי;
• כל מודול חליק הוא אינג'קטיבי.

(קיימות הגדרות שקולות רבות אחרות).

דוגמאות

כל תחום ראשי הוא חוג דדקינד (ההפך אינו נכון). בפרט, חוג המספרים השלמים וכל חוג פולינומים $F[x]$ במשתנה אחד מעל שדה $F$, הם חוגי דדקינד.

גם חוג השלמים של גאוס, $\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}$, הוא חוג דדקינד. באופן כללי יותר, אוסף השלמים האלגבריים בשדה מספרים הוא חוג דדקינד.

הרחבות וקשרים לחוגים אחרים

חוגי דדקינד אפשר להרחיב בכמה אופנים.

1. אם $R$ חוג דדקינד ו-$F$ שדה שברים שלו, ו-$K$ הרחבת שדות סופית של $F$, אז הסגור השלם של $R$ בתוך $K$ הוא חוג דדקינד.
2. אם $S$ תת-מונואיד של חוג דדקינד $R$, אז המיקום $S^{-1}R$ הוא חוג דדקינד (או שדה).

כל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה, אבל ההפך אינו נכון (למשל, חוג הפולינומים בשני המשתנים $x,y$ מעל שדה הוא תחום פריקות יחידה, אבל האידיאל $\langle x,y\rangle$ אינו ראשי). בחוגי דדקינד שתי התכונות שקולות: חוג דדקינד הוא תחום פריקות יחידה אם ורק אם הוא תחום ראשי.

חוגי דדקינד הם "כמעט ראשיים" בכמה מובנים. למשל, כל אידיאל של חוג דדקינד נוצר על ידי שני איברים לכל היותר. יתרה מזו: אם $0\neq J\subset I\subset R$ אידיאלים בחוג דדקינד, אז קיים $a\in R$ כך ש-$I=J+Ra$. לכל אידיאל $I$ בחוג דדקינד, קיים אידיאל $J$ כך שהמכפלה $IJ$ היא אידיאל ראשי. (יותר מזה, ניתן לבחור $J$ להיות זר לכל אידיאל $A$; או כך ש-$Ra=IJ$ לכל עבור $a$ איבר ב-$I$). חוג דדקינד בעל מספר סופי של אידיאלים ראשוניים הוא ראשי. אם חבורת המחלקות (ראו להלן) סופית, אפשר להפוך את החוג לראשי באמצעות היפוך של איבר אחד.

תחומים שהם כמעט דדקינד

תחום שלמות עם יחידה $R$ הוא כמעט דדקינד אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים

• לכל אידיאל מקסימלי $M$, המיקום $R_{M}$ הוא חוג הערכה דיסקרטית.
• אם לאידיאל יש רדיקל ראשוני, אז הוא חזקה של ראשוני.
• ממד קרול שווה ל-1, וכל אידיאל פרימרי הוא חזקה של ראשוני.
• יש צמצום באידיאלים (אם $AB=AC$ אז $A=0$ או $B=C$).

כל תחום דדקינד הוא כמעט דדקינד. מאידך, אם תחום שלמות הוא כמעט דדקינד, כדי להיות דדקינד די לו בכך שכל אידיאל שונה מאפס מוכל במספר סופי של אידיאלים מקסימליים.

חבורת מחלקות האידיאלים

חבורת המחלקות של חוג דדקינד $R$ מודדת עד כמה החוג אינו ראשי. יהי $K$ שדה השברים של $R$. אידיאל שברי של $R$ הוא, על-פי ההגדרה, $R$-תת-מודול $I$ של $K$ כך שעבור $d\in R$ מתאים, מתקיים $dI=\{da\mid a\in I\}\subset R$. למשל, כל אידיאל (רגיל) של $R$ הוא גם אידיאל שברי.

נסמן ב-$\operatorname {Id} (R)$ את קבוצת האידיאלים השבריים. בקבוצה זו אפשר להגדיר פעולת כפל כרגיל בכפל של אידיאלים. כך הופכת קבוצה זו למונואיד, שבו איבר היחידה הוא החוג עצמו. מכיוון שכל אידיאל שברי הוא אידיאל הפיך, זוהי חבורה אבלית - ומתכונת הפירוק היחיד של אידיאלים נובע שהיא חבורה אבלית חופשית הנוצרת על ידי אוסף האידיאלים הראשוניים של החוג. (אמי נתר הוכיחה שתחום שלמות שלקבוצת האידיאלים השברים שלו עם פעולת הכפל יש מבנה של חבורה - הוא חוג דדקינד).

קבוצת האידיאלים השבריים הראשיים, שלהם הצורה $bR=\{ba\mid a\in R\}$ עבור $0\neq b\in K$, היא תת-חבורה של $\operatorname {Id} (R)$. חבורת מחלקות האידיאלים $\operatorname {Cl} (R)$ של $R$ היא חבורת המנה של $\operatorname {Id} (R)$ ביחס לחבורת האידיאלים הראשיים.

חבורת המחלקות היא טריוויאלית בדיוק כאשר כל אידיאל (שברי) הוא ראשי - כלומר, כאשר החוג ראשי. במקרים רבים (למשל, עבור חוגי שלמים של שדה מספרים), החבורה סופית.

נניח שחבורת מחלקות האידיאלים של $R$ היא סופית. נבחר נציגים $I_{1},...,I_{m}$ של מחלקות האידיאלים (ניתן לבחור אותם להיות אידיאלים אמיתיים של $R$); ניקח $b\neq 0$ איבר כלשהו ב-$\bigcap I_{i}$, ו-$S=\{1,b,b^{2},...\}$ המונואיד הנוצר על ידי $b$. אז $S^{-1}R$ הוא תחום ראשי.

מודולים מעל חוג דדקינד

כל מודול נוצר סופית מעל חוג דדקינד אפשר לפרק כסכום ישר של מודול מפותל ומודול חסר פיתול. מודול חסר פיתול הוא סכום ישר של אידיאלים שבריים. אם $A_{i}$ אידיאלים שבריים, הסכום $A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{m}$ תלוי רק בדרגה m ובמכפלה $A_{1}\dots A_{m}$ בחבורת המחלקה. בפרט, כל מודול חסר פיתול ונוצר סופית מעל $R$ הוא מהצורה $R^{n}\oplus I$, כאשר $I$ אידיאל שלם של $R$.

אם $N\subseteq M$ מודולים כנ"ל מאותה דרגה, אז קיימים $e_{1},\dots ,e_{m}\in M$, אידיאלים שבריים $A_{1},\dots ,A_{m}$, ואידיאלים שלמים $I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \cdots \supseteq I_{m}$, כך ש-$M=a_{1}e_{1}\oplus \cdots \oplus a_{m}e_{m}$ ו-$N=a_{1}I_{1}e_{1}\oplus \cdots \oplus a_{m}I_{m}e_{m}$. האידיאלים $I_{i}$ נקבעים באופן חד-משמעי, והם נקראים הגורמים האינווריאנטיים של $N$ ב-$M$.

מקורות

• J.S. Milne, Algebraic Number Theory, 1998, http://www.jmilne.org/math
• Louis Halle Rowen, Graduate Algebra: Commutative View, Graduate Studies in Mathematics, Volume 73, 2006, ISBN 0-8218-0570-3
• Curtis, C., and Reiner, I., Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, 1962, III, 22

ראו גם

• תחום פרופר (ההכללה של חוגי דדקינד לתחומים שאינם נתריים).

קישורים חיצוניים

• חוג דדקינד, באתר MathWorld (באנגלית)