משתמש:דניאל ב./משפט הסנדוויץ'

במתמטיקה, משפט סנדוויץ' הנקניק [למצוא שם עברי הולם] הוא משפט הקובע שאם n גופים מפוזרים במרחב ה-n-ממדי תמיד ניתן להעביר דרך כולם על-מישור n-1 ממדי יחיד שחוצה כל אחד מן הגופים לשני חצאים עם מסה זהה.

המשפט קרוי על שם המחשה שלו במקרה התלת-ממדי. נניח ישנו סנדוויץ' המורכב משתי לחמניות ובינהן פרוסת נקניק. שלושת החלקים שונים בצורתם ובמסתן והמסה אינה בהכרח מפוזרת באופן אחיד בתוך כל חלק (צפיפות החלק אינה אחידה). אז ניתן לחצות את הסנדוויץ' באמצעות אבחת סכין ישרה יחידה (חתך מישורי), כך שבכל חצי יש בדיוק חצי מהמסה של כל אחד משלושת החלקים.

המשפט שוער על ידי הוגו שטיינהאוס והוכח על ידי סטפן בנך.

ניסוח פורמלי

נגדיר מידת מסה ב-$\mathbb {R} ^{n}$ בתור מידה על $\mathbb {R} ^{n}$ שהיא מידת בורל (כל קבוצה פתוחה מדידה) סופית (המידה של כל המרחב היא מספר חיובי סופי) כך שכל על-מישור הוא ממידה אפס. אינטואיטיבית ניתן לחשוב על מידת מסה כמסה סופית במובן הפיזיקלי המפוזרת ברחבי המרחב עם ההגבלה הצפויה שלגופים ממד נמוך מ-n יש מסה 0. לדוגמה המידה $\mu (A)=\lambda ^{3}(A\cap E)$ כאשר $\lambda ^{3}$ היא מידת לבג התלת ממדית ו-$E$ היא קבוצה קומפקטית היא מידת המסה המתאימה לגוף תלת ממדי שצורתו $E$ וצפיפותו אחידה. $\mu (\mathbb {R} ^{n})=\mu (E)$ היא המסה הכוללת של הגוף.

משפט סנדוויץ' הנקניק. יהיו $\mu _{1},\ldots ,\mu _{n}$ n מסות ב-$\mathbb {R} ^{n}$. אזי קיים על-מישור $h$ כך ש-$\mu _{i}(h^{+})=\mu (h^{-})={\tfrac {1}{2}}\mu (\mathbb {R} ^{n})$, כאשר $h^{+}$ ו-$h^{-}$ הם חצי העל-מישור הימני וחצי העל-מישור השמאלי בהתאמה. בלשון לא פורמלית, המשפט אומר שחצי מהמסה של כל מידת מסה נמצאת בכל אחד מחצאי העל-מישור.

הוכחה

במקרה החד-ממדי ניתן להוכיח את המשפט באמצעות משפט ערך הביניים. נניח יש מסה סופית המפוזרת על פני הישר. נקודה (שהיא על-מישור) שעוברת באופן רציף מהחלק השמאלי של הישר לחלק הימני שלו תתחיל כשיש פחות מסה בחלק השמאלי ותסיים כשיש יותר מסה בחלק השמאלי. מכיוון שהמסה של נקודה יחידה היא 0 המידה רציפה ומובטח שמתישהו הנקודה תחלק את המסה חצי-חצי.

במקרה הכללי משתמשים במשפט בורסוק-אולם. נסמן ב-$S^{n}$ את ספירת היחידה ה-n-ממדית: $S^{n}=\{(u_{0},\ldots ,u_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid u_{0}^{2}+\ldots +u_{n}^{2}=1\}$. לכל $u\in S^{n}$ נגדיר:

$h^{+}(u)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid u_{1}x_{1}+\ldots +u_{n}x_{n}\geq u_{0}\}$

$h^{-}(u)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid u_{1}x_{1}+\ldots +u_{n}x_{n}\leq u_{0}\}$

קל לראות כי מתקיים: $h^{+}(-u)=h^{-}(u)$. אם $(u_{1},\ldots ,u_{n})$ אינו וקטור האפס, $h^{\pm }(u)$ הם חצאי מרחב הפוכים זה לזה המוגדרים על ידי על-מישור שניצב לווקטור $(u_{1},\ldots ,u_{n})$ (ראו אורתוגונליות). נסמן על מישור זה כ-$h(u)$.

נגדיר פונקציה $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ כך:

$f(u)=(\mu _{1}(h^{+}(u)),\ldots ,\mu _{n}(h^{+}(u)))$

אם נמצא נקודה $u^{*}\in S^{n}$ כך ש-$f(u^{*})=f(-u^{*})$ אז סיימנו, שכן אז לכל $1\leq i\leq n$ מתקיים $\mu _{i}(h^{+}(u^{*}))=\mu _{i}(h^{+}(-u^{*}))=\mu _{i}(h^{-}(u^{*}))$, ולכן $h(u^{*})$ העל-מישור הנדרש.

נבחין כי לא ייתכן המקרה הפתלוגי שבו $(u_{1}^{*},\ldots ,u_{n}^{*})=(0,\ldots ,0)$ (שבו $h(u^{*})$ אינו על-מישור) כי אז מהגדרת הספירה $u_{0}^{*}=\pm 1$ ולכן:

$\mu _{i}(h^{+}(1,0,\ldots ,0))=\mu _{i}(\emptyset )\neq \mu _{i}(\mathbb {R} ^{n})=\mu _{i}(h^{+}(-1,0,\ldots ,0))$

אם כן נותר להוכיח את קיום הנקודה $u^{*}$. לשם כך נוכיח כי $f$ פונקציה רציפה. צריך להוכיח שלכל סדרת נקודות על הספירה $u_{k}\to u$ מתקיים $\mu _{i}(h^{+}(u_{k}))\to \mu _{i}(h^{+}(u))$. תהי $g_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \{0,1\}$ הפונקציה המציינת של $h^{+}(u_{k})$ ותהי $g:\mathbb {R} ^{n}\to \{0,1\}$ הפונקציה המציינת של $h^{+}(u)$. מרציפות המכפלה הפנימית נובע שאם $x\not \in h(u)$ אז ל-$k$ גדול מספיק $x\in h^{+}(u_{k})$ אם ורק אם $x\in h^{+}(u)$. לפי הגדרת מידת מסה, $h(u)$ מידה אפס, ולכן $g_{k}\to g$ כמעט בכל מקום. ממשפט ההתכנסות הנשלטת נובע שמתקיים:

$\mu _{i}(h^{+}(u_{k}))=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g_{k}\,d\mu _{i}\to \int _{\mathbb {R} ^{n}}g\,d\mu _{i}=\mu _{i}(h^{+}(u))$

הוכחנו ש-$f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ רציפה ולכן לפי משפט בורסוק-אולם קיימת נקודה $u^{*}\in S^{n}$ כך ש-$f(u^{*})=f(-u^{*})$ כפי שרצינו. $h(u^{*})$ הוא העל מישור הרצוי.

המקרה הדיסקרטי

משפט הסנדוויץ' הדיסקרטי קובע את הדברים הבאים: יהיו $A_{1},\ldots ,A_{n}$ קבוצות סופיות של נקודות ב-$\mathbb {R} ^{n}$. אז:

• קיים על-מישור יחיד כך שלכל $i$ יש לכל היותר $\lfloor {\tfrac {1}{2}}|A_{i}|\rfloor$ נקודות של $A_{i}$ בכל צד של העל-מישור.
• אם הקבוצות זרות ואיחודן נמצא במצב כללי (אין על מישור שעובר דרך יותר מ-n נקודות), אז קיים על-מישור יחיד כך שלכל $A_{i}$ מתקיים:

• אם $|A_{i}|$ זוגי, בדיוק חצי מהנקודות של $A_{i}$ נמצאות בכל צד של העל-מישור.
• אם $|A_{i}|$ אי-זוגי, יש בדיוק נקודה אחת של הקבוצה על העל-מישור וכל שאר הנקודות נחלקות חצי-חצי משני צידיו.

הוכחה

הוכחת המשפט תבסס על הגרסה הרציפה של המשפט. ההוכחה תעשה בשלבים. נתחיל מלהוכיח את המשפט בהנחה שהקבוצות $A_{1},\ldots ,A_{n}$ זרות, איחודן במצב כללי ובכולן מספר אי-זוגי של נקודות. לשם כך נחליף כל אחת מן הנקודות בכדור קטן ברדיוס r סביב הנקודה. נבחר r קטן מספיק כך שאין שום על מישור שחותך יותר מ-n כדורים. נקבע שהמסה של כל כדור היא מספר קבוע m, והמסה מפוזרת בתוך הכדור באופן אחיד. כעת לכל $A_{i}$ מתאימה מידת המסה של הכדורים סביב נקודותיה (נשים לב כי במסה של חיתוך של על-מישור עם כדור היא 0 כנדרש). לפי משפט הסנדוויץ' קיים על-מישור שחוצה את כל מידות המסה. כל מידת מסה מורכבת ממספר אי-זוגי של כדורים, אז העל מישור חייב לעבור דרך לפחות כדור אחד מכל קבוצה (אחרת בצד אחד יש יותר כדורים ולכן יותר מסה). אבל יש n קבוצות ולכן מהמצב הכללי העל-מישור חוצה בדיוק כדור אחד מכל קבוצה. מכיוון שהמסה מפוזרת באופן אחיד בתוך כל כדור, העל מישור חייב לחצות בדיוק דרך מרכז הכדור, כלומר הוא עובר דרך נקודת המרכז. קיבלנו על מישור שחוצה כל אחת מן הקבוצות $A_{1},\ldots ,A_{n}$ כך שלכל אחת יש נקודה אחת על העל-מישור ושאר הנקודות נחצות חצי חצי מצידיו.

כעת נוכיח את המשפט בלי להניח מצב כללי וזרות, אבל עדין נניח שהקבוצות מגודל אי-זוגי...

כעת נרשה לקבוצות להיות גם מוגדל זוגי (ולא נניח זרות או מצב כללי). מכל קבוצה מגודל זוגי נסיר נקודה אחת כך שכל הקבוצות מגודל אי-זוגי, ונחלק עם על מישור כמו בהוכחה של המקרה האי-זוגי. עתה נחזיר את הנקודות שהוסרו. קל לראות שהטענה עדין מתקיימת (לכל היותר חצי בכל צד של העל מישור).

נותר להוכיח את המקרה של מצב כללי וקבוצות זרות, כאשר הן יכולות להיות גם מגודל זוגי. נתחיל מלהפעיל את מה שהוכחנו עד כה ונקבל שיש על מישור שמתנהג כרצוי עם הקבוצות מגודל אי-זוגי ולגבי הקבוצות מגודל זוגי, ידוע שיש לכל היותר חצי מן הנקודות שלהן בכל צד של העל מישור. אם אין בדיוק חצי מן הנקודות של קבוצה זוגית מכל צד, זה אומר שחלק מהנקודות בה נמצאות על העל מישור עצמו. מכיוון שהנקודות במצב כללי, יש לכל היותר n נקודות כאלו. נתייחס אל הנקודות ששייכות לקבוצה מגודל אי-זוגי ונמצאות על העל-מישור (יש לכל היותר n כאלה) כנקודות ציר, שביחס אליהן נסובב את העל מישור. מכיוון שיש מספר סופי של נקודות, נוכל לסובב את העל-מישור הזה מרחק קטן כך שכל הנקודות מקבוצה זוגית שהן עליו יעברו לאחד מצדיו (נסובב בכיוון שהן יעברו לצד בו הן ישלימו את מספר הנקודות לחצי) ובלי שהדבר יעביר נקודות שלא היו על העל-מישור לצד אחר שלו. העל-מישור שנקבל יחלק את כל הקבוצות כנדרש.

שימושים ומסקנות

חלוקת מסה למסות קטנות ושוות

ממשפט הסנדוויץ' במקרה הדו-ממדי נובע שכל מסה במישור ניתן לחלק לארבע חלקים שווי מסה באמצעות שני ישרים: ראשית מזיזים ישר באופן רציף דרך המסה עד שלפי משפט ערך הביניים מקבלים חציה של המסה לשני חלקים שווי מסה. ואחר כך מפעילים את משפט הסנדוויץ' על שני החצאים לקבלת ישר נוסף שיחצה כל חצי לשני רבעים. באופן כללי ניתן לשאול האם במרחב n-ממדי ניתן לחלק מסה ל-$2^{n}$ חלקים שווי מסה באמצעות n על-מישורים. הראנו שהדבר אפשרי תמיד כאשר n=2. המקרה n=1 מתקבל ממשפט ערך הביניים וידוע שגם במקרה n=3 הדבר אפשרי תמיד. המקרה n=4 עודנו פתוח ואילו ל-4<n עקום המומנטים מהווה דוגמה נגדית כי כלל לא ניתן לחלקו ל-$2^{n}$ חלקים באמצעות n על-מישורים.

מיון נקודות לקבוצות קמורות

מסקנה מיידית של המשפט שנתגלתה על ידי נוגה אלון ו-Akiyama קובעת שאם $A_{1},\ldots ,A_{n}$ הן קבוצות זרות של k נקודות ב-$\mathbb {R} ^{n}$ שאיחודן נמצא במצב כללי, אז ניתן לחלק את הנקודות מחדש לקבוצות בנות n נקודות $B_{1}\ldots ,B_{k}$, כך שבכל קבוצה $B_{i}$ יש בדיוק איבר אחד של כל אחת מן הקבוצות $A_{1},\ldots ,A_{n}$, והקמורים של הקבוצות $B_{i}$ זרים זה לזה בזוגות.

במקרה n=2 המשפט טוען שבהינתן קבוצה של k נקודות כחולות וקבוצה של k נקודות אדומות, ששונות זו מזו ונמצאות במצב כללי, אפשר לצוות את הנקודות בזוגות כחול-אדום כך שהקטעים ביניהן לא נחתכים. למקרה זה הוכחה גואמטרית ישירה: מסתכלים על כל הצוותים האפשריים ובוחרים את זה שסכום אורכי הקטעים בו מינימלי. אילו היו שני קטעים שנחתכים, אפשר היה "להתיר את ההצטלבות" (לצוות את הנקודה הכחולה של קטע אחד לנקודה האדומה של הקטע האחר ולהיפך) ולהקטין את סכום המרחקים, בסתירה למינימליות.

בממדים גבוהים יותר לא ידועה הוכחה אלמנטרית, וכל ההוכחות הידועות מבוססות טופולוגיה. נוכיח את המשפט באינדוקציה על k. ל-k=1 המשפט טריוויאלי. נניח שהטענה נכונה לכל i<k ונוכיח ל-k. לפי משפט הסנדוויץ' הדיסקרטי קיים על-מישור שחוצה את הקבוצות $A_{1},\ldots ,A_{n}$. אם k זוגי, בכל צד של העל-מישור יש $k/2$ נקודות ונוכל לטפל בכל צד בנפרד באמצעות הנחת האינדוקציה. אם k אי-זוגי, יש נקודה אחת מכל קבוצה על העל-מישור. נקבע את אוסף הנקודות האלו להיות $B_{1}$ ובשאר הנקודות משני צידי העל-מישור נטפל באמצעות הנחת האינדוקציה. הקמורים של קבוות בחלקים השונים של המרחב (צד ימין של העל-מישור, העל-מישור, צד שמאל של העל-מישור) לא יכולים להיחתך, כפי שרצינו.

בעיית חלוקת השרשרת

נוגה אלון ודאגלס וסט השתמשו במשפט הסנדוויץ' הדיסקרטי כדי לפתור את בעיית חלוקת השרשרת: שני גנבים גנבו שרשרת של אבנים טובות. יש n סוגים של אבנים בשרשרת ומכל סוג יש מספר זוגי כלשהו של חרוזים. האבנים מסודרות בזה אחרי זה לאורך השרשרת (הפתוחה) בסדר כלשהו. הגנבים מעוניינים לחלק את אבני השרשרת ביניהם, כך שכל גנב יקבל בדיוק חצי מהאבנים מכל סוג. גם התיל עליו נחרזו האבנים עשוי מתכת יקרה, ולכן הגנבים מעוניינים לבצע כמה שפחות חיתוכים בשרשרת כדי לחלקה ביניהם. מהו המספר המינימלי של חיתוכים הנחוץ לגנבים?

קל לבנות דוגמה בה נדרשים n חיתוכים. אם האבנים מכל סוג מסודרים בזה אחרי זה, אז צריך לחצות את השרשרת באמצע של כל רצף אבנים מכל סוג. אלון ווסט הוכיחו ש-n חיתוכים תמיד יכולים להספיק. כדי לראות זאת ממקמים את השרשרת לאורך עקום המומנטים במרחב $\mathbb {R} ^{n}$ (למשל מייצגים את האבן ה-i בשרשרת באמצעות הנקודה $(i,i^{2},\ldots ,i^{n})$). מתייחסים לכל האבנים מאותו הסוג כקבוצת נקודות. לפי משפט הסנדוויץ' הדיסקרטי יש על-מישור שחוצה כל אחת מהקבוצות לחצי. אבל על-מישור חוצה את עקום המומנטים בלכל היותר n נקודות, ולכן חותך את השרשרת לכל היותר n פעמים כנדרש.