מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי .
cis הוא סימון מתמטי שהגדרתו
c
i
s
(
x
)
=
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
{\displaystyle \ cis(x)=\cos(x)+i\sin(x)}
, כאשר
cos
{\displaystyle \ \cos }
הוא הפונקציה הטריגונומטרית קוסינוס ,
sin
{\displaystyle \ \sin }
הוא הפונקציה הטריגונומטרית סינוס ו־
i
{\displaystyle \ i}
הוא היחידה המדומה . בהתאם לנוסחת אוילר
c
i
s
(
x
)
=
e
i
x
{\displaystyle \ cis(x)=e^{ix}}
.
את הסימון cis טבע בשנת 1866 המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון בספרו "Elements of Quaternions" שפורסם לאחר מותו.[ 1] הסימון משמש כקיצור נוח המפשט הצגה של ביטויים מסוימים, למשל בטרנספורמציית פורייה . דוגמה: נוח יותר לכתוב ולהבין את הביטוי cis(x 2 ) מאשר לכתוב ולהבין את הביטוי e ix 2 .
בספריות תוכנה מתמטית, כגון Math Kernel Library של אינטל , נכלל מימוש של פונקציה זו בשפות תכנות נפוצות.[ 2]
נגזרת :
d
d
z
cis
(
z
)
=
i
cis
(
z
)
=
i
e
i
z
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} (z)=i\operatorname {cis} (z)=ie^{iz}}
אינטגרל :
∫
cis
(
z
)
d
z
=
−
i
cis
(
z
)
=
−
i
e
i
z
{\displaystyle \int \operatorname {cis} (z)\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} (z)=-ie^{iz}}
תכונות נוספות :
הזהויות הבאות נובעות ישירות מנוסחת אוילר:
cis
(
x
+
y
)
=
cis
(
x
)
cis
(
y
)
{\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} (x)\,\operatorname {cis} (y)}
cis
(
x
−
y
)
=
cis
(
x
)
cis
(
y
)
{\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} (x) \over \operatorname {cis} (y)}}
זהויות אלה מתקיימות כאשר x ו-y הם מספרים מרוכבים . כאשר x ו-y הם מספרים ממשיים , מתקיים גם:
|
cis
(
x
)
−
cis
(
y
)
|
≤
|
x
−
y
|
.
{\displaystyle |\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (y)|\leq |x-y|.}
את המספר המרוכב
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
ניתן להציג בהצגה קוטבית כ-
z
=
r
(
c
i
s
θ
)
{\displaystyle \ z=r(cis\theta )}
, כאשר
r
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle \ r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
הוא המרחק של הנקודה
z
{\displaystyle z}
מראשית הצירים, והזווית
θ
{\displaystyle \ \theta }
, שבין הישר המחבר את הנקודה
z
{\displaystyle z}
לראשית הצירים ובין ציר ה-
x
{\displaystyle x}
, ניתנת בנוסחה
θ
=
arctan
(
y
x
)
{\displaystyle \ \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}
.
פעולות כפל וחילוק של מספרים מרוכבים נעשות פשוטות יותר בהצגה פולרית. בהתבסס על הזהויות הטריגונומטריות
cos
(
a
+
b
)
=
cos
(
a
)
cos
(
b
)
−
sin
(
a
)
sin
(
b
)
{\displaystyle \cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)}
sin
(
a
+
b
)
=
cos
(
a
)
sin
(
b
)
+
sin
(
a
)
cos
(
b
)
{\displaystyle \sin(a+b)=\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)}
כאשר נתונים המספרים המרוכבים
z
1
=
r
1
cis
φ
1
{\displaystyle z_{1}=r_{1}\operatorname {cis} \varphi _{1}}
,
z
2
=
r
2
cis
φ
2
{\displaystyle z_{2}=r_{2}\operatorname {cis} \varphi _{2}}
מתקיים
z
1
z
2
=
r
1
r
2
cis
(
φ
1
+
φ
2
)
{\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\operatorname {cis} (\varphi _{1}+\varphi _{2})}
z
1
z
2
=
r
1
r
2
cis
(
φ
1
−
φ
2
)
{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\operatorname {cis} (\varphi _{1}-\varphi _{2})}
^ ,William Rowan Hamilton Elements of Quaternions , Longmans, Green & Co., 1866, p. 251
^ v?CIS , Developer Reference for Intel® Math Kernel Library - C