אי-שוויון המשולש

במתמטיקה, אי-שוויון המשולש הוא אי-שוויון מהצורה $\ d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)$ , כאשר $\ d(\cdot ,\cdot )$ היא פונקציית מרחק. אי-השוויון מתאר את העובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; בפרט, אורכה של צלע במשולש אינו עולה על סכום אורכי הצלעות האחרות. אי-שוויון המשולש נחשב לתכונה יסודית של כל שיטה למדידת מרחק, ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל מרחב מטרי או נורמי. הגרסה החזקה $\ d(A,C)\leq \max\{d(A,B),d(B,C)\}$ נקראת אי-שוויון המשולש למטריקות לא ארכימדיות.

אי-שוויון המשולש בין מספרים ממשיים

ניתן לראות את אי-שוויון המשולש במספרים הממשיים כמקרה פרטי של אי-השוויון על הישר הממשי. כיוון שהמרחק בין שתי נקודות על הישר נמדד באמצעות הערך המוחלט, אי-השוויון במקרה זה שקול ל- $\ |a-c|\leq |a-b|+|b-c|$ , לכל $\ a,b,c\in R$ .

כשבוחרים c=0, b=y ו-a=x+y, מתקבלת הצורה החלופית $\ |x+y|\leq |x|+|y|$ . צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני האי-שוויונים $\ -|x|\leq x\leq |x|$ ו- $\ -|y|\leq y\leq |y|$ , או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של x ושל y.

גרסה נוספת של אי-שוויון המשולש היא: ${\bigg |}|x|-|y|{\bigg |}\leq |x-y|$ .

הוכחה פורמלית

לצורך הוכחת אי השוויון נשתמש בתכונות $\ |a|=|-a|$ ו- $\ a\leq |a|$ . אם $\ x+y\geq 0$ אז $\ |x+y|=x+y\leq |x|+|y|$ . אחרת, $\ x+y<0$ ומכאן $\ |x+y|=-x-y\leq |-x|+|-y|=|x|+|y|$ ולכן $\ |x+y|\leq |x|+|y|$ .

דרך נוספת היא להשתמש בשוויון $\ |a|=\max\{a,-a\}$ , ואז $\ |x+y|=\max\{x+y,-x-y\}\leq \max\{|x|+|y|,|-x|+|-y|\}=\max\{|x|+|y|,|x|+|y|\}=|y|+|x|$ .

המקרה המרוכב

אי-שוויון המשולש במישור המרוכב הוא הטענה $\ |x+y|\leq |x|+|y|$ , המתייחסת למספרים מרוכבים. ניתן להוכיח את נכונותו שם בכמה דרכים: גאומטרית, הוא שקול לתכונות היסוד של משולש; אלגברית, אפשר לקבל אותו על ידי העברת אגפים מתאימה והעלאה בריבוע; וניתן להסיק אותו מאי-השוויון הממשי באמצעות משפט פיתגורס.

אי-שוויון המשולש במרחבים מופשטים

אי-שוויון המשולש מבטא את העובדה שלא ניתן לקצר את הדרך מ-A ל-C על ידי מעבר בנקודה B. זוהי תכונה יסודית כל-כך של מושג ה"מרחק", עד שהיא מהווה אחת מהאקסיומות המגדירות מטריקה ומרחב מטרי. מאותה סיבה, מניחים את האקסיומה $\ \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ בהגדרה של נורמה ומרחב נורמי.