אנליזה מרוכבת

אנליזה מרוכבת היא ענף של המתמטיקה העוסק בחקר פונקציות הולומורפיות, כלומר פונקציות שהן מרוכבות (פונקציות המוגדרות על פני המישור המרוכב ומקבלות ערכים מרוכבים) וגזירות. לגזירות מרוכבת השלכות גדולות יותר מאשר גזירות ממשית. לדוגמה, כל פונקציה הולומורפית מיוצגת על ידי טור חזקות (הקרוי טור לורן) בטבעת, ולכן היא אנליטית. בפרט, פונקציות הולומורפיות גזירות אינסוף פעמים, עובדה שאינה נכונה בהכרח עבור פונקציות ממשיות. רוב הפונקציות האלמנטריות, כגון פולינומים, פונקציות מעריכיות ופונקציות הטריגונומטריות, הן פונקציות הולומורפיות.

הישגים עיקריים

אחד הכלים המרכזיים באנליזה מרוכבת הוא האינטגרל המסילתי. אינטגרל על מסילה סגורה של פונקציה הולומורפית המוגדרת בתחום פשוט קשר, יהיה שווה תמיד ל-0 (משפט זה ידוע כמשפט אינטגרל קושי). ערך של פונקציה הולומורפית בתוך דיסקה ניתן לחישוב על ידי שימוש בנוסחת האינטגרל של קושי. אינטגרלים מסילתיים משמשים לעיתים קרובות כאמצעי לחישוב אינטגרלים ממשיים (למשל על ידי משפט השאריות). ההתנהגות הבלתי רגילה של פונקציה הולומורפית ליד נקודות הסינגולריות שלה מתוארת על ידי משפט קזוראטי-ויירשטראס. פונקציות שהנקודות הסינגולריות שלהן הן או קוטב או נקודת סינגולריות סליקה נקראות פונקציות מרומורפית. טורי לורן דומים מאוד לטורי טיילור, אך שונים מהם בכך שהם מאפשרים לחקור את התנהגות הפונקציה סמוך לנקודות הסינגולריות שלה.

משפט ליוביל הוא משפט חשוב הגורס כי פונקציה הולומורפית החסומה בכל המישור המרוכב בהכרח פונקציה קבועה. שימוש במשפט זה הוא במתן הוכחה קצרה של המשפט היסודי של האלגברה, הטוען ששדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית.

תכונה חשובה נוספת של פונקציות הולומורפיות היא שערכים של פונקציה הולומורפית המוגדרת בתחום נקבעים על ידי הערכים שהיא מקבלת במעט מאוד נקודות. עובדה זו מאפשרת להרחיב תחום הגדרה של פונקציות ("המשכה אנליטית"), כגון: פונקציית זטא של רימן.

תחום חשוב נוסף באנליזה מרוכבת הוא משטחי רימן.

היסטוריה

אנליזה מרוכבת היא אחד מענפי המתמטיקה שפותחו במהלך (מקצתה גם לפני) המאה ה-19. בין מפתחי האנליזה המרוכבת נמנים אוילר, גאוס, רימן, קושי, ויירשטראס ועוד מספר חוקרים במהלך המאה ה-20. אמיל פיקאר הוכיח את משפטי פיקארד הקטן והגדול ב-1879 וב-1880, בהתאמה.

לאנליזה המרוכבת שימושים רבים בתחומי הפיזיקה וההנדסה השונים, כמו גם שימושים תאורטיים בחקר תורת המספרים (כגון הוכחת משפט המספרים הראשוניים). בתקופה המודרנית הפכה האנליזה המרוכבת לפופולרית בעקבות תמונות פרקטלים הניתנים לבניה על ידי שימוש בחזרות של פונקציות הולומורפיות, המפורסמת שבהם היא קבוצת מנדלברוט. יישום חשוב נוסף של האנליזה המרוכבת נעשה בתורת המיתרים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אנליזה מרוכבת בוויקישיתוף

• הרצאות הקורס "פונקציות מרוכבות" המועבר על ידי האוניברסיטה הפתוחה (Youtube)
• גדי אלכסנדרוביץ', אז מה זו בעצם אנליזה מרוכבת?, באתר "לא מדויק"
• גדי אלכסנדרוביץ', אנליזה מרוכבת – זה הרגע לגלות את הנפשות הפועלות, באתר "לא מדויק"
• אנליזה מרוכבת, באתר MathWorld (באנגלית)
• פונקציות של משתנים מרכבים, דף שער בספרייה הלאומית