בעיית שלושת הגופים

בעיית שלושת הגופים היא בעיה ותיקה ומפורסמת במכניקה, המבקשת לתאר את תנועתם ההדדית של שלושה גופים תחת השפעתו של כוח המשיכה. מכיוון שהבעיה מתאימה לתיאור תנועתם של גופים כגון השמש, כדור הארץ והירח, יש לה חשיבות תאורטית רבה באסטרונומיה של מערכת השמש (ובפרט בסוגיית יציבותה של מערכת השמש).

את בעיית שני הגופים פתר ניוטון באופן מלא באחד היישומים הראשונים של החשבון הדיפרנציאלי. ניוטון הראה ששני גופים הנעים תחת השפעת כוח הכובד בלבד, נעים זה ביחס לזה במסלול המהווה חתך חרוט: אליפסה, פרבולה או היפרבולה.

בניגוד לכך, בעיית שלושת הגופים היא בעיה קשה באופן כללי. למרות שנחקרה על ידי מתמטיקאים רבים, במיוחד מאז ימי אנרי פואנקרה, לא ידוע על פתרון אנליטי מלא לבעיה, למעט מקרים מיוחדים. עבודתו הראשונה של פואנקרה בנושא נכתבה במענה לתחרות בחסות אוסקר השני, מלך שוודיה. הבעיה (הראשונה) שהוצעה לכותבים עסקה ביציבות המערכת של שלושה גופים. השופטים - גוסטה מיטג-לפלר, ויירשטראס והרמיט, התקשו בתחילה לקרוא את פתרונו של פואנקרה, אך לאחר שהלה הגיש הבהרות שארכו כמעט מאה עמודים, בחרו בו כזוכה. בפתרון זה התגלתה שגיאה, ועוד לפני שהספיק פואנקרה לתקן אותה, כעבור פחות מחודש, וחרף ההוצאות הכבדות, אילץ אותו מיטג-לפלר למשוך את כל העותקים המודפסים של הפתרון. מיטג-לפלר, שתמך בגישתו האינטואיטיבית של פואנקרה, חשש שבית הספר הגרמני בראשותו של קרונקר יראה בשגיאה הוכחה ניצחת לביקורת שלו כנגד עבודתו של פואנקרה, שלא הייתה קפדנית דיה לטעמו. בעקבות כך, כתב פואנקרה בשנים 1892–1899 חיבור בן שלושה כרכים על "שיטות חדשות במכניקה השמימית", שהתניע את המחקר המודרני במערכות דינמיות.

באופן מעשי פותרים את בעיית שלושת הגופים, ואף את הבעיה הכללית יותר של בעיית n-גופים, בעזרת שיטות נומריות. לצורך כך, מחלקים את התנועה לפרקי זמן קצרים, ומחשבים את הכוחות הפועלים בין הגופים בכל קטע זמן. ככל שפרקי הזמן קצרים יותר יהיו החישובים מדויקים יותר, אך השגת דיוק מלא היא משימה קשה ביותר.

נקודות סינגולריות בפתרון

בהינתן נקודת ההתחלה בזמן t=0, בעיית n הגופים אינה אלא פתרון של מערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. ככזו, משפטי הקיום והיחידות מבטיחים פתרון אנליטי בקטע זמן $\ [0,T)$, עבור T מקסימלי. אם T סופי, זה מפני שהמערכת מגיעה בזמן T לנקודה סינגולרית. ב-1895 חקר פול פנלבה את נקודות הסינגולריות של בעיית n הגופים, והראה שכל נקודה כזו מתקבלת מכך שהמרחק בין שניים מהגופים שואף לאפס. תופעה כזו מתרחשת כמובן אם הגופים מתנגשים, אבל היא עשויה להופיע למשל גם אם שני גופים בורחים יחד לאינסוף והולכים ומתקרבים זה לזה. פנלבה הוכיח שבבעיית שלושת הגופים כל נקודת סינגולריות נובעת מהתנגשות. ב-1908 הראה von Zeipel שנקודת סינגולריות נובעת מהתנגשות אם ורק אם הגבול של אנרגיית האינרציה סופי, וכך יקרה בהכרח אם מקומותיהם של הגופים במערכת חסומים בקטע $\ [0,T)$. מאידך, von Zeipel לא הוציא מכלל אפשרות נקודות סינגולריות שבהן אנרגיית האינרציה שואפת לאינסוף.

ב-1992 מצא Zhihong Xia פתרון לבעיית חמשת הגופים, שבו מופיעה סינגולריות בזמן סופי, שלא כתוצאה מהתנגשות. במערכת שבנה Xia יש שני זוגות של גופים קלים ושווי-משקל שמרכזם על ישר סימטריה קבוע, וגוף חמישי, כבד, הנע על אותו ישר. הגוף הכבד מתנדנד לאורך הישר, ובכל פעם שהוא חולף בסמוך לאחד הזוגות, הוא גורם להם להתקרב, מושך אותם אחריו הרחק מן הזוג השני, ונופל בחזרה. התנועה ההדדית מקרבת את הגופים בכל אחד מהזוגות ומאיצה את הגוף הכבד באופן שהוא בורח לאינסוף בזמן סופי.

בתרבות

בשנת 2006 יצא ספר מדע בדיוני של הסופר הסיני ליו צשין בשם "בעיית שלושת הגופים". הכותרת מתייחסת לבעיית שלושת הגופים מהמכניקה, כיוון שבעיה מרכזית בספר היא הימצאותה של פלנטה במערכת בה שלוש שמשות, ובעיית שלושת הגופים מקשה על תושבי הפלנטה לחזות את האקלים, ובמיוחד מתי הוא יציב וידידותי לחיים ומתי לא; בשנת 2024 עלתה בנטפליקס סדרה בעלת אותו השם המבוססת על הספר. כמו הספר, גם הסדרה זכתה לביקורות חיוביות ולפופולריות רבה.

מקורות

• Henri Poincaré, A Scientific Biography, Review (on a book by Jeremy Gray) by John Stillwell, Notices of the AMS, 61(4), 2014.
• The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems, Zhihong Xia, Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 135, No. 3 (May, 1992), pp. 411-468.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא בעיית שלושת הגופים בוויקישיתוף

• בעיית שלושת הגופים, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• גדעון לב, חוקרים מהטכניון הציגו פתרון סטטיסטי מלא לבעיית שלושת גופים, באתר הארץ, 11 באוגוסט 2021