רדיוס שוורצשילד

רדיוס שוורצשילד או הרדיוס הכבידתי (הרדיוס הגרביטציוני) הוא ערך גבולי של רדיוס, המתקשר לכל מסה ופרופורציונלי לגודלה. הערך מגדיר עבור המסה אזור המכונה חור שחור - שעם ההתקרבות אליו עוצמת שדה הגרביטציה מתחזקת וקצב השתנותה נעשה תלול, ומעבר לו כל גוף וקרינה אינם יכולים אלא לנוע אל תוכו ולהיבלע. עצם שכל מסתו נמצאת בתוך רדיוס שוורצשילד שלו הוא עצם שעבר קריסה כבידתית ומהווה חור שחור. רדיוס שוורצשילד קרוי על שמו של קרל שוורצשילד, שגילה אותו ב-1916, כחלק מן הפתרונות שהציע למשוואות איינשטיין (מטריקת שוורצשילד). הערך מציין למעשה אזור של סינגולריות קואורדינטורית, המהווה תנאי הכרחי אך בלתי מספיק לקיום סינגולריות כבידתית, המתאפיינת בעקמומיות וצפיפות אינסופית. בהתייחס לחורים שחורים, רדיוס שוורצשילד מגדיר את מעטפת אופק האירועים.

המונח משמש בפיזיקה ובאסטרונומיה.

הרחבה

לפי שוורצשילד, אם נדחס את מסתו של גוף כלשהו לכדור שרדיוסו הוא רדיוס שוורצשילד של הגוף, גוף זה יהפוך לחור שחור. עם זאת, כאשר רדיוס שוורצשילד עובר בתוך הגוף, הוא אינו אלא גבול תאורטי. לדוגמה, רדיוס שוורצשילד של השמש הוא כ-3 ק"מ לערך, כלומר עמוק בתחום השמש (רדיוס השמש כיום מוערך בכ־700,000 ק"מ) ולכן אינו אלא גבול תאורטי (ואכן חומר וקרינה יכולים לצאת ממרכז השמש). למעשה, מאחר שהשמש משתייכת לקבוצת הננסים הצהובים – כלומר מסתה היא קטנה ביחס לשמשות אחרות ונמוכה מגבול צ'נדראסקאר, הנדרש לגבירת כוח הגרביטציה המושך לקריסה על לחץ הניוון המנוגד לה – שלב החיים האחרון שלה הוא ננס לבן, והיא רחוקה מלקרוס לחור שחור.

רדיוס שוורצשילד הוא יחסי למסת הכוכב, ועצמים ואינפורמציה אינם יכולים לצאת ממנו. הרדיוס משמש גם להגדרת אופק האירועים של חור לבן.

הגדרה מתמטית

רדיוס שוורצשילד, $r_{s}$, נתון על ידי הנוסחה: $$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$$ כאשר:

• $G$ הוא קבוע הכבידה של ניוטון (ביחידות SI הוא שווה ל-$6.67\times 10^{-11}{\mbox{N m}}^{2}/{\mbox{Kg}}^{2}$).
• $c$ היא מהירות האור (כ-$3\times 10^{8}$ מטרים לשנייה).
• $M$ היא מסת הכוכב (ביחידות SI היא נמדדת בק"ג).

רדיוס שוורצשילד (במטרים) של גוף הוא על כן בקירוב $1.48\times 10^{-27}$ פעמים מסת הגוף בק"ג.

חישוב סמי-קלאסי

מאחר שרדיוס שוורצשילד, לפי הגדרתו, הוא הגבול שמעבר לו אפילו אור אינו יכול להימלט משדה הכבידה של הגוף, מהירות המילוט מרדיוס שוורצשילד עצמו שווה בעצם למהירות האור, מה שמאפשר לחשב את הרדיוס מתוך עקרונות לא-יחסותיים:
נוסחת מהירות המילוט היא: $$v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$$ כאמור, ברדיוס שוורצשילד מהירות המילוט שווה למהירות האור, כך שאם מציבים r_s (רדיוס שוורצשילד) במקום r, ו-c (מהירות האור) במקום v_e, יתקבל: $$c={\sqrt {\frac {2GM}{r_{s}}}}$$ ומכאן ניתן לחלץ את הנוסחה שלעיל.

החישוב היחסותי

את רדיוס שוורצשילד ניתן לקבל ממטריקת שוורצשילד - פתרון שוורצשילד החיצוני למשוואות איינשטיין, החוקר מקרה של גוף מבודד (הנמצא בריק (צפיפות 0), רחוק מכל המסות האחרות ביקום), ואשר עומד על ההנחה כי המרחב הנידון הוא איזוטרופי (הכיוונים בו שווה ערך) והנחה שנייה, של קיום פתרון סטטי - מצב יציב שאינו תלוי זמן. הנחות מוצא אלו מאפשרות לצמצם את משוואות איינשטיין לשלוש משוואות עיקריות ולחלץ מהן את ריבוע האינטרוול והטנזור המטרי (הכלים המתמטיים המגדרים את עקמומיות המרחב-זמן) המאפיינים את המקרה שהוגדר, של גוף מבודד (קירוב טוב לתיאור מערכת השמש שלנו, למשל). הטנזור המטרי אשר מתקבל תחת הנחות אלו הוא המטריצה:

$A=\left({\begin{matrix}{\frac {-1}{1-{\frac {2m}{r}}}}&0&0&0\\0&-{r^{2}}&0&0\\0&0&-{r^{2}}\sin ^{2}\theta &0\\0&0&0&{1-{\frac {2m}{r}}}\end{matrix}}\right)$

כאשר:

• m הוא קבוע אינטגרציה, הפרופורציוני למסה הקבועה במרכז (M), שערכו לפי פתרון שוורצשילד החיצוני הוא $m={\frac {GM}{c^{2}}}$
• r הוא המרחק מן המסה

מהתבוננות בטנזור המטרי ניתן לראות כי רכיבי האלכסון הראשי של המרחב הנבחן אינם קבועים ותלויי מקום, דבר המצביע על עקמומיות המרחב-זמן ותואם מערכת הנתונה להשפעת כבידה. בחינה נוספת מראה כי עבור מרחק שגודלו $r={\frac {2GM}{c^{2}}}$, הרכיבים הקיצונים באלכסון, A₁₁ ו-A₄₄ (${\frac {-1}{1-{\frac {2m}{r}}}}$ ו-${1-{\frac {2m}{r}}}$, בהתאמה), הופכים לקיצוניים - האחד שואף לאינסוף ואילו האחר לאפס. ערך 'בעייתי' זה הוא רדיוס שוורצשילד. זהו למעשה ערך הרדיוס שעבורו רכיבי הטנזור גורמים לקשיים ו'שוברים' את מערכת הקואורדינטות בה נעשה שימוש - כלומר, מצביעים על כך שזו אינה מתאימה עוד לתיאור המרחב הפיזיקלי בנקודה זו. ההתבדרות זו מציינת קיומה של סינגולריות של הקואורדינטות - תנאי הכרחי, אך בלתי מספיק, לקיומה של סינגולריות כבידתית (המתאפיינת בעקמומיות אינסופית).

לקריאה נוספת

• עמוס הרפז, מושגים בתורת היחסות, תל אביב: אורנים, תשמ"ח 1988

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא רדיוס שוורצשילד בוויקישיתוף

• רדיוס שוורצשילד, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• מחשבון לחישוב גודל רדיוס שוורצשילד עבור מסה נתונה, באתר omnicalculator.com