תורת המספרים האלגברית
תורת המספרים האלגברית היא ענף מרכזי בתורת המספרים, העוסק בתכונות של השלמים האלגבריים ובתכונות אלגבריות של אוסף המספרים השלמים ושל מבנים מתמטיים הנובעים ממנו. היא עושה שימוש בכלים של אלגברה מופשטת כדי לחקור תכונות של שלמים, שברים והכללות שלהם.
ראשיתה של תורת המספרים האלגברית במחצית השנייה של המאה ה-19, בניסיונות של ארנסט קומר להכליל את משפט ההדדיות הריבועית ומאוחר יותר, להוכיח את השערת פרמה על ידי פירוק לגורמים (של שלמים אלגבריים בשדה ציקלוטומי). בצורה זו הוכיח קומר את השערת פרמה לכל ראשוני רגולרי. רעיונות אלה הביאו את ריכרד דדקינד להגדיר את המושג אידיאל המהווה פורמליזציה של רעיונתיו של קומר. דדקינד ולאופולד קרונקר חקרו בעיות של פתרון משוואות פולינומיות בשיטות של תורת גלואה. ספרים שכתבו היינריך מרטין ובר (1895) ודויד הילברט (1899) ייצבו את התחום, והעניקו לו מקום מרכזי השמור לו במתמטיקה מאז ועד עתה. ובר והילברט ניסחו את התוצאות המרכזיות בתחום, כהשערות, שכמה מהן הוכיח המתמטיקאי היפני Takagi בסוף שנות העשרים של המאה ה-20.
אחד התחומים החשובים בתורת המספרים האלגברית הוא תורת שדות המחלקה (class field theory), המתארת את כל ההרחבות האבליות של שדה נתון (לוקלי או גלובלי). בתחום זה תפס מקום מרכזי משפט ההיפוך של ארטין, שאמיל ארטין הציג ב-1923 והוכיח ב-1927.
תורת המספרים האלגברית חוקרת את כל ההרחבות האלגבריות של שדה המספרים הרציונליים, ולכן היא מעוניינת בעיקר בחבורת גלואה האבסולוטית של שדה זה ושל שדות אחרים בעלי אופי אריתמטי.
קישורים חיצוניים
[עריכת קוד מקור | עריכה]
- גדי אלכסנדרוביץ', תורת המספרים האלגברית - סדרת פוסטים, באתר "לא מדויק"
- תורת המספרים האלגברית, באתר MathWorld (באנגלית)
תורת המספרים האלגברית, דף שער בספרייה הלאומית
| פונקציות L וזטא | ||
|---|---|---|
| פונקציות זטא בתורת המספרים | פונקציית זטא של רימן • פונקציית זטא של דדקינד • פונקציית זטא של הסה-וויל • פונקציית זטא אריתמטית • פונקציית זטא של איגוסה | |
| פונקציות L (נוספות) בתורת המספרים | פונקציית L של דיריכלה • פונקציית L של ארטין • פונקציית L של הקה • פונקציית L של תבנית אוטומורפית • פונקציית L מוטיבית | |
| תוצאות חשובות | המשכה אנליטית ומשוואה פונקציאונלית עבור פונקציית זטא של רימן • משפט המספרים הראשוניים • הנוסחה המפורשת של רימן מנגולד • משפט דיריכלה • משפט הצפיפות של צ'בוטרב • משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית) • השערות וויל • נוסחת מספר המחלקה (של דיריכלה ושל דדקינד) | |
| השערות חשובות | השערת רימן (המוכללת) • השערת לנגלנדס • השערת לינדולף • השערת ארטין | |
| פונקציות L וזטא נוספות | פונקציית זטא של חבורה • פונקציית זטא הצגתית של חבורה • פונקציית זטא של סלברג | |
| מושגים קשורים נוספים | תורת המספרים האנליטית • תורת המספרים האלגברית • המשכה אנליטית • טור דיריכלה | |
