בעיית ההתנגדות המינימלית של ניוטון

בעיית ההתנגדות המינימלית של ניוטון היא הבעיה של מציאת גוף הסיבוב אשר יחווה התנגדות מינימלית כאשר הוא נע דרך זורם הומוגני במהירות קבועה בכיוון ציר הסיבוב. הבעיה נקראת על שם אייזק ניוטון, אשר חקר את הבעיה ב-1685 ופרסם אותה ואת פתרונה ב-1687 בספרו "פרינקיפיה". זוהי הדוגמה הראשונה לבעיה שנפתרה בעזרת הכלים של חשבון הווריאציות, והיא הופיעה כעשור לפני בעיית הברכיסטוכרון. ניוטון עיבד את פתרונו לצורה גאומטרית סינתטית אשר לא סיפקה שום רמז לגבי הגזירה שלו, ודייוויד גרגורי היה הראשון שהצליח לשכנע את ניוטון לכתוב אנליזה של הפתרון בעבורו. כך הגזירה שותפה בקרב תלמידים ועמיתים על ידי גרגורי.

לפי I Bernard Cohen, במדריך שלו לפרינקיפיה של ניוטון: "המפתח לשיטת ההסקה של ניוטון נמצא בשנות ה-1880, כאשר הרוזן של פורטסמות' העניק את האוסף המשפחתי שלו של כתביו המדעיים והמתמטיים של ניוטון לאוניברסיטת קיימברידג'. בין כתבי היד של ניוטון נמצאה טיוטה למכתב, ... שבו ניוטון פירט את הטיעון המתמטי שלו. מסמך זה לא הובן במלואו עד הפרסום של ספרו של D. T. Whiteside (משנת 1974), אשר הפרשנות האנליטית וההיסטורית שלו אפשרה לחוקרי ניוטון לא רק להתחקות באופן מלא אחר דרכו של ניוטון לתגלית וההוכחה, אלא אף לפענח את החישוב המחודש המאוחר של ניוטון (1694) את המשטח בעלת ההתנגדות המינימלית".

המודל הפיזיקלי של ניוטון להתנגדות זורם מתבסס על כמה הנחות פשוטות שאינן תואמות את המציאות בעבור תחום רחב של מהירויות - ניוטון הניח שחלקיקי הזורם הפוגעים במשטח יעבירו אליו את התנע הניצב למשטח (בכיוון הנורמל למשטח) אולם ישמרו את התנע המשיקי שלהם - בסתירה לעקרונות התאוריות של זרימה צמיגה ושכבות גבול, שם המהירות המשיקית של הזורם חייבת להתאפס על שפת הגוף.

אף על פי שהמודל של ניוטון להתנגדות זורם שגוי בהתאם להבנה הנוכחית, למודל שלו יש חשיבות במקרה הגבולי של זרימה היפרקולית. ניוטון חזה שמודל ההתנגדות שלו יהיה מצליח ביותר בעבור מהירויות גבוהות מאוד, כפי שהיקשים 2-5 לטענה 33 בספרו מדגישים בבירור.

תיאור הבעיה

בטענה 34 של הספר השני של הפרינקיפיה, ניוטון כתב:

"אם בתווך דליל, המורכב מחלקיקים זהים המרוחקים מרחקים שווים משכניהם, כדור וגליל בעלי קוטר זהה ינועו במהירויות שוות בכיוון ציר הגליל, ההתנגדות של הכדור תהיה חצי מזו של הגליל".

ניוטון מוכיח את הטענה באמצעות ההצגה של חוק הסינוס בריבוע שלו, שקובע שכאשר משטח נטוי בזווית משתנה $\theta$ ביחס לכיוון הזרימה המציפה, ההתנגדות הניצבת אליו (בכיוון הנורמל למשטח) שהוא יחווה D תשתנה בהתאם לכלל $D\propto sin^{2}(\theta )$. חוק זה נובע מההנחה שהחלקיקים הפוגעים מתנגשים אלסטית עם המשטח, כך שהם מוחזרים בהתאם לחוקי ההחזרה. אינטגרציה של נוסחת ההתנגדות על פני רצועות כדוריות אפשרה לו לחשב את ההתנגדות שיחווה כדור.

מיד לאחר הטענה הזאת מופיעה הפסקה המכילה את התנאי המפורסם שמקיים עקום אשר, כאשר הוא סובב סביב צירו, יוצר את הגוף שחווה פחות התנגדות מכל גוף אחר, בין כל הגופים בעלי רוחב ואורך נתון.

בצורתה המודרנית, הבעיה של ניוטון דורשת למזער את האינטגרל הבא:

$I=\int {\frac {y{\dot {y}}^{3}}{1+{\dot {y}}^{2}}}dx$

כאשר $y(x)$ מייצגת את העקום שסובב סביב ציר ה-x ו-${\dot {y}}=dy/dx$.

I היא הפיחות (ההפרש) בהתנגדות שיוצרים החלקיקים הפוגעים במשטח המתעקם DNG (הנוצר על ידי סיבוב העקום) לעומת ההתנגדות שייצרו חלקיקים שיפגעו בדיסקה האחורית DA (ראו איור 1). שים לב שהראש של הגוף הוא קטום (הדיסקה BG), כשהמשולשים GBC ו-GBR אינם חלק ממנו, אלא רק משמשים את ניוטון כדי לבטא את תנאי המינימום.

האינטגרל הזה קשור בהתנגדות הכוללת שחווה הגוף באמצעות הקשר: $\rho ={\frac {H^{2}}{2}}+\int {\frac {y{\dot {y}}^{3}}{1+{\dot {y}}^{2}}}dx$.

הבעיה היא למצוא את העקום שיוצר את הגוף שחווה התנגדות נמוכה יותר מכל גוף אחר בעל אותו אורך קבוע L ורוחב קבוע H.

כיוון שהגוף חייב להתחדד בכיוון התנועה, H הוא רדיוס הדיסקה שמהווה את המשטח האחורי של הגוף שנוצר על ידי סיבוב העקום סביב ציר ה-x. היחידות נבחרות כך שקבוע הפרופורציה הוא 1. שים לב גם שאם ${\dot {y}}<0$, אז האינטגרל, כשהוא מחושב בין x = 0 ל-x = L, הוא שלילי.

כאשר העקום הוא הקו האופקי, DK, אז הגוף יהיה גליל, $y=H,{\dot {y}}=0$, האינטגרל יהיה אפס ולכן פירוש הדבר שההתנגדות של הגליל היא: $\rho ={\frac {H^{2}}{2}}$, מה שמסביר את הופעת האיבר הקבוע בנוסחה.

התנאי שמקיים גוף עם התנגדות מינימלית

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

הבנייה הסינתטית המקורית של ניוטון

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

הדיאגרמה של ניוטון לצורת הקליע האופטימלית.

ב-Scholium לטענות שלו על צורת הגוף בעל ההתנגדות המינימלית, ניוטון הציג את הבנייה הגאומטרית הבאה:

" אם הצורה DNFG היא עקום, שאם מכל נקודה עליו N נוריד אנך NM לציר AB, ואם מנקודה נתונה G ישורטט הקו הישר GR המקביל לקו הישר המשיק לצורה בנקודה N והחותך את הציר בנקודה R, כך שהיחס בין MN ל-GR זהה ליחס בין $GR^{3}$ ל-$4BR\cdot GB^{2}$, אז הגוף אשר יתואר על ידי הסיבוב של העקום הזה מסביב לציר AB, כאשר הוא נע בתווך הדליל שהוזכר מקודם מ-A לקראת B, יחווה פחות התנגדות מכל גוף סיבוב אחר בעל אותו אורך ורוחב "

כלומר, על פי ניוטון, אם GB הוא רדיוס הראש הקטום של גוף הסיבוב בעל ההתנגדות המינימלית, אז כל נקודה N על העקום שיוצר אותו צריכה לקיים: $MN={\frac {(GR)^{4}}{4BR\cdot (BH)^{2}}}$.

באיור 3 לעיל ניוטון הציג גרף של ההתנגדות $\rho$ כפונקציה של רדיוס הראש הקטום, שלו נקודת מינימום כאשר h = BG (ניוטון חישב במפורש מה צריך להיות רדיוס הראש הקטום כתלות באורך ורוחב הגוף).