การดำเนินการพีชคณิต

ในทางคณิตศาสตร์การดำเนินการพีชคณิตพื้นฐาน คือ การดำเนินการทั่วไปอย่างหนึ่งของพีชคณิตเบื้องต้นซึ่งรวมถึงการบวกลบคูณหารยกกำลังจำนวนเต็มและการถอนรากถอนโคน ( กำลัง เศษส่วน ) ^[1] การดำเนินการเหล่านี้ อาจดำเนินการกับตัวเลขซึ่งในกรณีนี้ มักเรียกว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อาจดำเนินการในลักษณะเดียวกันนี้กับตัวแปรนิพจน์พีชคณิต [ ^2]และโดยทั่วไปแล้วกับองค์ประกอบของโครงสร้างพีชคณิตเช่นกลุ่มและฟิลด์^[3]การดำเนินการพีชคณิตอาจกำหนดโดยทั่วไปว่าเป็นฟังก์ชันจากกำลังคาร์ทีเซียนจากเซต ที่กำหนด ไปยังเซตเดียวกัน^[4]

คำว่าการดำเนินการพีชคณิตอาจใช้สำหรับการดำเนินการที่อาจกำหนดได้โดยการรวมการดำเนินการพีชคณิตพื้นฐาน เช่นผลคูณจุดในแคลคูลัสและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์การดำเนินการพีชคณิตยังใช้สำหรับการดำเนินการที่อาจกำหนดได้โดยวิธีพีชคณิต ล้วนๆ ตัวอย่างเช่นการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มหรือ เลขชี้กำลัง ตรรกยะเป็นการดำเนินการพีชคณิต แต่ไม่ใช่การยกกำลังทั่วไปด้วย เลขชี้กำลัง จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนนอกจากนี้อนุพันธ์ยังเป็นการดำเนินการที่ไม่ใช่พีชคณิต

สัญลักษณ์การคูณมักจะถูกละเว้นและนัยไว้เมื่อไม่มีตัวดำเนินการระหว่างตัวแปรหรือพจน์สองตัว หรือเมื่อใช้สัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น 3 × x ²เขียนเป็น 3 x ²และ 2 × x × yเขียนเป็น 2 xy ^[5]บางครั้ง สัญลักษณ์การคูณจะถูกแทนที่ด้วยจุดหรือจุดกึ่งกลาง ดังนั้นx  × yจึงเขียนเป็นx . yหรือx · y ข้อความธรรมดาภาษาโปรแกรมและเครื่องคิดเลขยัง ใช้เครื่องหมายดอกจัน เพียง อันเดียวเพื่อแสดงสัญลักษณ์การคูณ^[6]และต้องใช้โดยชัดเจน เช่น 3 xเขียนเป็น 3 * x

แทนที่จะใช้เครื่องหมายหาร ที่คลุมเครือ (÷) การหาร ^[a]มักจะแสดงด้วยวินคูลัมซึ่งเป็นเส้นแนวนอน เช่น⁠3-เอ็กซ์ + 1ในข้อความธรรมดาและภาษาโปรแกรม จะใช้เครื่องหมายทับ (เรียกอีกอย่างว่า เครื่องหมายโซลิดัส ) เช่น 3 / ( x + 1)

เลขยกกำลังมักจัดรูปแบบโดยใช้ตัวห้อย เช่นx ²ในข้อความธรรมดาภาษาTeXและภาษาโปรแกรมบางภาษา เช่นMATLAB และ Julia เครื่องหมายแคเรต ^ แทนเลขยกกำลัง ดังนั้นx ²จึงเขียนเป็นx ^ 2 ^{[8] [9]}ในภาษาโปรแกรม เช่นAda ^[10] Fortran [ ^11] Perl ^[12] Python [ ^13] และRuby [ 14 ^]จะใช้เครื่องหมายดอกจันสองตัว ดังนั้นx ² จึง เขียนเป็นx ** 2

เครื่องหมายบวก-ลบ ± ใช้เป็นสัญลักษณ์ย่อสำหรับนิพจน์สองนิพจน์ที่เขียนเป็นนิพจน์หนึ่ง โดยนิพจน์หนึ่งแสดงด้วยเครื่องหมายบวก และอีกนิพจน์หนึ่งแสดงด้วยเครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่นy = x ± 1 แสดงถึงสมการสองสมการ คือy = x + 1 และy = x − 1 บางครั้ง เครื่องหมายนี้ใช้เพื่อแสดงถึงพจน์เชิงบวกหรือเชิง ลบ เช่น ± x

การดำเนินการพีชคณิตทำงานในลักษณะเดียวกับการดำเนินการเลขคณิตดังจะเห็นได้จากตารางด้านล่าง

การดำเนินการ	ตัวอย่างเลขคณิต	ตัวอย่างพีชคณิต	ความคิดเห็น≡ หมายถึง "เทียบเท่ากับ" ≢ หมายถึง "ไม่เทียบเท่ากับ"
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป	${\displaystyle (5\ครั้ง 5)+5+5+3}$ เทียบเท่ากับ: ${\displaystyle 5^{2}+(2\times 5)+3}$	${\displaystyle (b\times b)+b+b+a}$ เทียบเท่ากับ: ${\displaystyle ข^{2}+2ข+ก}$	${\displaystyle {\begin{จัดแนว}2\times b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\times b&\equiv b^{2}\end{จัดแนว}}}$
การลบ	${\displaystyle (7\times 7)-7-5}$ เทียบเท่ากับ: ${\displaystyle 7^{2}-7-5}$	${\displaystyle (b\times b)-ba}$ เทียบเท่ากับ: ${\displaystyle b^{2}-บา}$	${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}-b&\not \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}}$
การคูณ	${\displaystyle 3\ครั้ง 5}$หรือ ${\displaystyle 3\ .\ 5}$   หรือ   ${\displaystyle 3\cdot 5}$ หรือ   ${\displaystyle (3)(5)}$	${\displaystyle a\times b}$หรือ ${\displaystyle บ}$   หรือ   ${\displaystyle ก\cdot ข}$ หรือ   ${\displaystyle บ}$	${\displaystyle a\times a\times a}$ก็เหมือนกับ${\displaystyle ก^{3}}$
แผนก	${\displaystyle 12\div 4}$หรือ   ${\displaystyle 12/4}$หรือ   ${\displaystyle {\frac {12}{4}}}$	${\displaystyle b\div ก}$หรือ   ${\displaystyle ข/ก}$หรือ   ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {a+b}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)}$
การยกกำลัง	${\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}$   ${\displaystyle 2^{3}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$   ${\displaystyle ข^{3}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$ก็เหมือนกับ${\displaystyle {\sqrt {ก}}}$   ${\displaystyle ข^{3}}$ก็เหมือนกับ${\displaystyle b\times b\times b}$

หมายเหตุ: การใช้ตัวอักษรและเป็นเพียงการใช้โดยพลการ และตัวอย่างจะมีความถูกต้องเท่าเทียมกัน หากใช้ และ${\displaystyle ก}$${\displaystyle ข}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

คุณสมบัติ	ตัวอย่างเลขคณิต	ตัวอย่างพีชคณิต	ความคิดเห็น≡ หมายถึง "เทียบเท่ากับ" ≢ หมายถึง "ไม่เทียบเท่ากับ"
การสับเปลี่ยน	$3+5=5+3 ตามลำดับ$ ${\displaystyle 3\times 5=5\times 3}$	${\displaystyle a+b=b+a}$ ${\displaystyle a\times b=b\times a}$	การบวกและการคูณเป็นการ สับเปลี่ยนและการเปลี่ยนหมู่[15] การลบและการหารไม่ใช่: เช่น${\displaystyle ab\not \equiv ba}$
การเชื่อมโยง	${\displaystyle (3+5)+7=3+(5+7)}$ ${\displaystyle (3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)}$	${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$

• นิพจน์พีชคณิต
• ฟังก์ชันพีชคณิต
• พีชคณิตเบื้องต้น
• การแยกตัวประกอบของนิพจน์กำลังสอง
• ลำดับการดำเนินการ