สลับกัน

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Alternating series" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2010) (Learn how and when to remove this message)

Part of a series of articles about
Calculus
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Fundamental theorem Limits Continuity Rolle's theorem Mean value theorem Inverse function theorem
Differential Definitions Derivative (generalizations) Differential infinitesimal of a function total Concepts Differentiation notation Second derivative Implicit differentiation Logarithmic differentiation Related rates Taylor's theorem Rules and identities Sum Product Chain Power Quotient L'Hôpital's rule Inverse General Leibniz Faà di Bruno's formula Reynolds
Integral Lists of integrals Integral transform Leibniz integral rule Definitions Antiderivative Integral (improper) Riemann integral Lebesgue integration Contour integration Integral of inverse functions Integration by Parts Discs Cylindrical shells Substitution (trigonometric, tangent half-angle, Euler) Euler's formula Partial fractions (Heaviside's method) Changing order Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมสลับคืออนุกรมอนันต์ของพจน์ที่สลับไปมาระหว่างเครื่องหมายบวกและเครื่องหมายลบ ใน_สัญกรณ์ซิกม่าตัวพิมพ์ใหญ่ อนุกรมนี้จะแสดง เป็นn > 0สำหรับ  n ทุก ตัว$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$$

เช่นเดียวกับอนุกรมอื่น ๆ อนุกรมสลับจะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับของผลรวมย่อยของอนุกรมลู่เข้า ที่ ลิมิตการทดสอบอนุกรมสลับจะรับประกันว่าอนุกรมสลับจะลู่เข้าถ้าพจน์a _nลู่เข้าที่ 0 แบบเอกภาพแต่เงื่อนไขนี้ไม่จำเป็นสำหรับการลู่เข้า

อนุกรมเรขาคณิต⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ 1 / 4 + ⁠ 1 / 8 ⁠ − ⁠ 1 / 16 + ⋯ มีผล รวมเป็น⁠ 1 / 3 ⁠

อนุกรมฮาร์มอนิกสลับกันมีผลรวมจำกัด แต่อนุกรมฮาร์มอนิกไม่มี

อนุกรมเมอร์เคเตอร์ให้ การแสดงออก อนุกรมกำลัง เชิงวิเคราะห์ ของลอการิทึมธรรมชาติ :$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\;=\;\ln(1+x).}$$

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ที่ใช้ในตรีโกณมิติและแนะนำในพีชคณิตเบื้องต้นเป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากสามารถกำหนดเป็นอนุกรมสลับในแคลคูลัส ได้เช่น กัน และ เมื่อ นำ ปัจจัยสลับ(–1) ⁿ ออกจากอนุกรมเหล่านี้ จะได้ ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก sinh และ cosh ที่ใช้ในแคลคูลัสและสถิติ$${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$$${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.}$$

สำหรับจำนวนเต็มหรือดัชนีบวก α ฟังก์ชัน เบสเซลประเภทแรกอาจกำหนดโดยใช้อนุกรมสลับ โดยที่Γ( z )คือฟังก์ชันแกมมา$${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$$

ถ้าsเป็นจำนวนเชิงซ้อนฟังก์ชันDirichlet etaจะถูกสร้างเป็นอนุกรมสลับ ที่ใช้ในทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์$${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$$

ทฤษฎีบทที่เรียกว่า "การทดสอบไลบนิซ" หรือการทดสอบอนุกรมสลับระบุว่าอนุกรมสลับจะบรรจบกันก็ต่อเมื่อพจน์a _nบรรจบกันที่ 0 แบบ เอกภาพ

พิสูจน์: สมมติว่าลำดับลู่เข้าหาศูนย์และลดลงแบบเอกโทน หากเป็นคี่ และเราจะได้ค่าประมาณจากการคำนวณต่อไปนี้:${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m<n}$${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}}$$

เนื่องจากลดลงแบบเอกภาพ พจน์จึงเป็นค่าลบ ดังนั้น เราจึงมีอสมการสุดท้าย: ในทำนองเดียวกัน สามารถแสดงได้ว่าเนื่องจาก ลู่เข้าหาผลรวมย่อย จึง สร้างลำดับโคชี (กล่าวคือ อนุกรมนี้เป็นไปตามเกณฑ์โคชี ) และดังนั้น ผลรวมย่อยจึงลู่เข้าหากัน อาร์กิวเมนต์สำหรับคู่ก็คล้ายกัน${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})}$${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$${\displaystyle -a_{m}\leq S_{n}-S_{m}}$${\displaystyle a_{m}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S_{m}}$${\displaystyle m}$

ค่าประมาณข้างต้นไม่ขึ้นอยู่กับดังนั้น หากเข้าใกล้ 0 อย่างเป็นเอกภาพ ค่าประมาณจะให้ขอบเขตข้อผิดพลาดสำหรับการประมาณผลรวมอนันต์ด้วยผลรวมย่อย ซึ่งไม่ได้หมายความว่าค่าประมาณนี้จะหาองค์ประกอบแรกสุดที่ข้อผิดพลาดมีค่าน้อยกว่าโมดูลัสของเทอมถัดไปในอนุกรมเสมอ อันที่จริง หากคุณใช้และพยายามหาเทอมที่ข้อผิดพลาดมีค่าไม่เกิน 0.00005 ความไม่เท่าเทียมข้างต้นจะแสดงให้เห็นว่าผลรวมย่อยขึ้นตลอดนั้นเพียงพอ แต่ในความเป็นจริงแล้วเป็นสองเท่าของเทอมที่จำเป็น แท้จริงแล้ว ข้อผิดพลาดหลังจากรวมองค์ประกอบ 9999 ตัวแรกคือ 0.0000500025 ดังนั้นการนำผลรวมย่อยขึ้นตลอดจึงเพียงพอ อนุกรมนี้บังเอิญมีคุณสมบัติในการสร้างอนุกรมใหม่ด้วยซึ่งให้อนุกรมสลับกันซึ่งใช้การทดสอบไลบ์นิซ และทำให้ขอบเขตข้อผิดพลาดง่ายๆ นี้ไม่เหมาะสมที่สุด การปรับปรุงนี้ได้รับการปรับปรุงโดยขอบเขตคาลาเบรเซ^[1]ซึ่งค้นพบในปี 1962 โดยระบุว่าคุณสมบัตินี้ช่วยให้ได้ผลลัพธ์น้อยกว่าขอบเขตข้อผิดพลาดของไลบนิซ 2 เท่า ในความเป็นจริง คุณสมบัตินี้ไม่เหมาะสำหรับอนุกรมที่มีคุณสมบัตินี้ใช้ 2 ครั้งขึ้นไป ซึ่งอธิบายได้ด้วยขอบเขตข้อผิดพลาด ของ จอห์นสันบอห์^[2]หากสามารถใช้คุณสมบัติได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งการแปลงของออยเลอร์จะนำไปใช้^[3]${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}}$$${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.}$$${\displaystyle 1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2}$${\displaystyle a_{20000}}$${\displaystyle a_{10000}}$${\displaystyle a_{n}-a_{n+1}}$

อนุกรมจะบรรจบกันแน่นอนถ้าอนุกรมนั้นบรรจบกัน${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$

ทฤษฎีบท: อนุกรมที่ลู่เข้าแน่นอนจะลู่เข้า

พิสูจน์: สมมติว่าลู่เข้าหากันโดยสมบูรณ์ แล้วลู่เข้าหากัน และจะเป็นไปตามนั้นด้วย เนื่องจากอนุกรมนี้ลู่เข้าหากันโดยการทดสอบการเปรียบเทียบดังนั้น อนุกรมนี้ลู่เข้าหากันเป็นผลต่างของอนุกรมลู่เข้าหากันสองชุด${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum |a_{n}|}$${\textstyle \sum 2|a_{n}|}$${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$${\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$

อนุกรมจะบรรจบกันโดยมีเงื่อนไขหากมันบรรจบกันแต่ไม่บรรจบกันโดยสมบูรณ์

ตัวอย่างเช่นอนุกรมฮาร์มอนิก จะแยกออกจากกัน ในขณะที่เวอร์ชันสลับ จะบรรจบกันโดยการทดสอบอนุกรมสลับ$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},}$$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},}$$

สำหรับอนุกรมใดๆ เราสามารถสร้างอนุกรมใหม่ได้โดยการเรียงลำดับผลรวมใหม่ อนุกรมจะลู่เข้าแบบไม่มีเงื่อนไขก็ต่อเมื่อการเรียงลำดับใหม่ใดๆ สร้างอนุกรมที่มีการลู่เข้าแบบเดียวกันกับอนุกรมเดิมอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์จะลู่เข้าแบบไม่มี เงื่อนไข แต่ทฤษฎีบทอนุกรมรีมันน์ระบุว่า อนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขสามารถลู่เข้าใหม่เพื่อสร้างการลู่เข้าแบบไม่มีเงื่อนไขได้^[4]หลักการทั่วไปคือการบวกผลรวมอนันต์นั้นสับเปลี่ยนได้สำหรับอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์เท่านั้น

ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์เท็จข้อหนึ่งว่า 1=0 เป็นการใช้ประโยชน์จากความล้มเหลวของการเชื่อมโยงสำหรับผลรวมอนันต์

ตัวอย่างอื่น ๆ จากซีรีส์ Mercator$${\displaystyle \ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .}$$

แต่เนื่องจากอนุกรมไม่บรรจบกันโดยสมบูรณ์ เราจึงสามารถจัดเรียงพจน์ใหม่เพื่อให้ได้อนุกรมสำหรับ:${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}}$$

ในทางปฏิบัติ ผลรวมเชิงตัวเลขของอนุกรมสลับกันอาจเร่งความเร็วได้โดยใช้เทคนิคการเร่งความเร็วของอนุกรม วิธีใดวิธีหนึ่ง เทคนิคที่เก่าแก่ที่สุดวิธีหนึ่งคือ ผลรวมออยเลอร์และยังมีเทคนิคสมัยใหม่มากมายที่สามารถให้การบรรจบกันที่รวดเร็วยิ่งขึ้น

• ซีรีย์ของแกรนดี้
• ดัชนี Nörlund–Rice

• Earl D. Rainville (1967) Infinite Seriesหน้า 73–6 สำนัก พิมพ์Macmillan
• Weisstein , Eric W. "อนุกรมสลับ" MathWorld