ทรัพย์สินท้องถิ่น

ในทางคณิตศาสตร์วัตถุทางคณิตศาสตร์กล่าวได้ว่ามีคุณสมบัติในระดับท้องถิ่นหากคุณสมบัตินั้นเป็นไปตามส่วนที่จำกัดและโดยตรงบางส่วนของวัตถุ (เช่น ในบริเวณใกล้เคียง จุด ที่เล็กเพียงพอหรือเล็กตามอำเภอใจ บางจุด )

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของแนวคิดเรื่องท้องถิ่นอาจอยู่ในแนวคิดของค่าต่ำสุดท้องถิ่น (หรือค่าสูงสุดท้องถิ่น ) ซึ่งเป็นจุดในฟังก์ชันที่มีค่าฟังก์ชันเล็กที่สุด (หรือใหญ่ที่สุด) ในบริเวณ ใกล้เคียง ของจุด^[1]สิ่งนี้จะต้องนำไปเปรียบเทียบกับแนวคิดของค่าต่ำสุดทั่วโลก (หรือค่าสูงสุดทั่วโลก) ซึ่งสอดคล้องกับค่าต่ำสุด (หรือค่าสูงสุด) ของฟังก์ชันในโดเมนทั้งหมด^{[2] [3]}

บางครั้งมีการกล่าวกันว่า ปริภูมิโทโพโลยีจะแสดงคุณสมบัติในระดับท้องถิ่นหากคุณสมบัตินั้นแสดง "ใกล้" แต่ละจุดในลักษณะใดลักษณะหนึ่งต่อไปนี้:

1. แต่ละจุดจะมีพื้นที่แสดงทรัพย์สินนั้นๆ
2. แต่ละจุดมีฐานของชุดพื้นที่ที่จัดแสดงคุณสมบัติ

โปรดทราบว่าเงื่อนไข (2) ส่วนใหญ่มีความแข็งแกร่งกว่าเงื่อนไข (1) และควรใช้ความระมัดระวังเป็นพิเศษในการแยกความแตกต่างระหว่างทั้งสองเงื่อนไข ตัวอย่างเช่น ความแตกต่างบางประการในคำจำกัดความของข้อตกลงในท้องถิ่นอาจเกิดขึ้นได้เนื่องมาจากการเลือกเงื่อนไขที่แตกต่างกันเหล่านี้

• ช่องว่างโทโพโลยีที่กระชับเฉพาะที่
• พื้นที่โทโพโลยี ที่ เชื่อมต่อในพื้นที่และเชื่อมต่อเส้นทางในพื้นที่
• ท้องถิ่น Hausdorff , ท้องถิ่นปกติ, ท้องถิ่นปกติฯลฯ...
• สามารถแปลงเป็นเมตริกซ์ในพื้นที่ได้

หากมีแนวคิดบางประการเกี่ยวกับความเท่าเทียมกัน (เช่นโฮมโอมอร์ฟิซึมดิฟเฟโอมอร์ฟิซึมไอโซเมตรี ) ระหว่างปริภูมิโทโพโลยี ปริภูมิสองปริภูมิจะกล่าวได้ว่าเทียบเท่ากันในระดับท้องถิ่น หากทุกจุดของปริภูมิแรกมีละแวกใกล้เคียงซึ่งเทียบเท่ากับละแวกใกล้เคียงของปริภูมิที่สอง

ตัวอย่างเช่นวงกลมและเส้นตรงเป็นวัตถุที่แตกต่างกันมาก เราไม่สามารถยืดวงกลมให้ดูเหมือนเส้นตรงได้ และไม่สามารถบีบเส้นตรงให้พอดีกับวงกลมได้โดยไม่เกิดช่องว่างหรือทับซ้อนกัน อย่างไรก็ตาม ชิ้นส่วนเล็กๆ ของวงกลมสามารถยืดและทำให้แบนราบลงเพื่อให้ดูเหมือนชิ้นส่วนเล็กๆ ของเส้นตรงได้ ด้วยเหตุนี้จึงอาจกล่าวได้ว่าวงกลมและเส้นตรงนั้นเทียบเท่ากันในระดับท้องถิ่น

ในทำนองเดียวกันทรงกลมและระนาบมีความเท่าเทียมกันในระดับท้องถิ่น ผู้สังเกตที่มีขนาดเล็กพอที่ยืนอยู่บนพื้นผิวของทรงกลม (เช่น คนและโลก) จะพบว่าทรงกลมนั้นไม่สามารถแยกแยะจากระนาบได้

สำหรับกลุ่มอนันต์ "ละแวกใกล้เคียงขนาดเล็ก" จะถูกพิจารณาว่าเป็นกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด กลุ่มอนันต์จะเรียกว่าเป็นPในพื้นที่หากกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุกกลุ่มเป็นPตัวอย่างเช่น กลุ่มจะจำกัดในพื้นที่หากกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุกกลุ่มมีจำกัด และกลุ่มจะละลายได้ในพื้นที่ หากกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุกกลุ่มละลายได้

สำหรับกลุ่มจำกัด "ละแวกใกล้เคียงขนาดเล็ก" ถือเป็นกลุ่มย่อยที่กำหนดโดยใช้จำนวนเฉพาะ pซึ่งโดยปกติคือกลุ่มย่อยในพื้นที่ ซึ่ง เป็นตัว ทำให้มาตรฐานของกลุ่มย่อย p ที่ไม่สำคัญในกรณีนี้ คุณสมบัติจะเรียกว่าเป็นระดับท้องถิ่นหากสามารถตรวจพบได้จากกลุ่มย่อยในพื้นที่ คุณสมบัติทั่วโลกและระดับท้องถิ่นเป็นส่วนสำคัญของงานในช่วงแรกเกี่ยวกับการจำแนกกลุ่มจำกัดแบบง่ายซึ่งดำเนินการในช่วงทศวรรษ 1960

สำหรับวงแหวนสับเปลี่ยน แนวคิดของเรขาคณิตพีชคณิตทำให้การใช้ "ละแวกใกล้เคียงเล็กๆ" ของวงแหวนเป็นตำแหน่งที่อุดมคติเฉพาะเป็นเรื่องธรรมชาติในกรณีนี้คุณสมบัติจะกล่าวได้ว่าเป็นแบบโลคัลหากสามารถตรวจจับได้จากวงแหวนสับเปลี่ยนตัวอย่างเช่น การเป็นโมดูลแบบแบนเหนือวงแหวนสับเปลี่ยนจะเป็นคุณสมบัติแบบโลคัล แต่การเป็นโมดูลอิสระไม่ใช่ สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดู ที่ ตำแหน่ง โมดูล

• การเชื่อมต่อเส้นทางท้องถิ่น
• หลักการท้องถิ่น-สากล