อินทิกรัลแกว่ง

ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์อินทิกรัลแบบสั่นเป็นประเภทหนึ่งของการแจกแจงอินทิกรัลแบบสั่นมีข้อโต้แย้งที่เคร่งครัดมากมาย ซึ่งในระดับพื้นฐาน ดูเหมือนว่าจะใช้อินทิกรัลแบบแยกส่วน เราสามารถแสดงตัวดำเนินการหาคำตอบโดยประมาณสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์หลายสมการเป็นอินทิกรัลแบบสั่นได้

อินทิกรัลแกว่งเขียนเป็นทางการว่า${\displaystyle ฟ(x)}$

${\displaystyle f(x)=\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi ,}$

โดยที่และมีฟังก์ชันที่กำหนดด้วยคุณสมบัติต่อไปนี้:${\displaystyle \phi (x,\xi )}$${\displaystyle ก(x,\xi)}$${\displaystyle \mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N}}$

1. ฟังก์ชันนี้มีค่าจริงเป็นเนื้อเดียวกันในเชิงบวกของดีกรี 1 และสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุดจากθ นอกจากนี้ เราถือว่า θ ไม่มีจุดวิกฤต ใดๆ บนตัวรองรับฟังก์ชันดังกล่าวมักเรียกว่าฟังก์ชันเฟสในบางบริบท ฟังก์ชันทั่วไปกว่านี้จะถูกนำมาพิจารณาและยังเรียกว่าฟังก์ชันเฟสอยู่${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \{\xi =0\}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle ก}$${\displaystyle \phi}$
2. ฟังก์ชันเป็นส่วนหนึ่งของคลาสสัญลักษณ์คลาส ใดคลาสหนึ่ง สำหรับบางคลาสโดยสัญชาตญาณแล้ว คลาสสัญลักษณ์เหล่านี้สรุปแนวคิดของฟังก์ชันดีกรีที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงบวกเช่นเดียวกับฟังก์ชันเฟสในบางกรณี ฟังก์ชันจะถูกมองว่าอยู่ในคลาสทั่วไปมากขึ้น หรือเพียงแค่คลาสที่แตกต่างกัน${\displaystyle ก}$ ${\displaystyle S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$${\displaystyle ม.}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle ก}$

เมื่อ, การกำหนดอินทิกรัลอย่างเป็นทางการบรรจบกันสำหรับทุก, และไม่จำเป็นต้องมีการอภิปรายเพิ่มเติมใดๆ เกี่ยวกับคำจำกัดความของ, อย่างไรก็ตาม เมื่อ, อินทิกรัลแบบสั่นยังคงถูกกำหนดให้เป็นการแจกแจงบน, แม้ว่าอินทิกรัลอาจไม่บรรจบกัน ในกรณีนี้ การแจกแจงจะถูกกำหนดโดยใช้ข้อเท็จจริงที่อาจประมาณได้โดยฟังก์ชันที่มีการสลายแบบเลขชี้กำลังใน, วิธีที่เป็นไปได้วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือการตั้งค่า${\displaystyle m<-N}$${\displaystyle ฟ(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle ฟ(x)}$${\displaystyle m\geq -N}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle ฟ(x)}$${\displaystyle a(x,\xi )\in S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle f(x)=\lim \limits _{\epsilon \to 0^{+}}\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )e^{-\epsilon |\xi |^{2}/2}\,\mathrm {d} \xi ,}$

โดยที่ขีดจำกัดนั้นถูกนำไปใช้ในความหมายของการแจกแจงแบบแบ่งส่วน การใช้การอินทิเกรตแบบแบ่งส่วนทำให้สามารถแสดงให้เห็นว่าขีดจำกัดนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างชัดเจน และมีตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ ที่ทำให้การแจกแจงผลลัพธ์ที่กระทำกับสิ่งใดก็ตามในพื้นที่ชวาร์ตซ์นั้นกำหนดโดย${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \langle f,\psi \rangle =\int e^{i\phi (x,\xi )}L{\big (}a(x,\xi )\,\psi (x){\big )}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} \xi ,}$

โดยที่อินทิกรัลนี้ลู่เข้าได้อย่างสมบูรณ์ ตัวดำเนินการไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน แต่สามารถเลือกได้ในลักษณะที่ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันเฟส ลำดับของสัญลักษณ์และในความเป็นจริง เมื่อกำหนดจำนวนเต็มใดๆก็สามารถค้นหาตัวดำเนินการที่มีขอบเขตของอินทิกรัลข้างต้นได้เพียงพอ นี่คือจุดประสงค์หลักของการกำหนดคลาสสัญลักษณ์${\displaystyle L}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle m}$${\displaystyle a}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle C(1+|\xi |)^{-M}}$${\displaystyle |\xi |}$

การแจกแจงที่คุ้นเคยหลายแบบสามารถเขียนเป็นอินทิกรัลแกว่งได้

ทฤษฎีบทการผกผันของฟูเรียร์บ่งบอกว่าฟังก์ชันเดลต้าจะเท่ากับ${\displaystyle \delta (x)}$

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }\,\mathrm {d} \xi .}$

หากเราใช้หลักการแรกในการกำหนดอินทิกรัลแกว่งนี้จากด้านบน เช่นเดียวกับการแปลงฟูเรียร์ของเกาส์เซียนเราจะได้ลำดับฟังก์ชันที่รู้จักกันดีซึ่งประมาณค่าฟังก์ชันเดลต้า:

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }e^{-\varepsilon |\xi |^{2}/2}\mathrm {d} \xi =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{({\sqrt {2\pi \varepsilon }})^{n}}}e^{-|x|^{2}/(2\varepsilon )}.}$

ตัวดำเนินการในกรณีนี้จะกำหนดไว้เป็นตัวอย่างโดย${\displaystyle L}$

${\displaystyle L={\frac {(1-\Delta _{x})^{k}}{(1+|\xi |^{2})^{k}}},}$

โดยที่Laplacianคือค่าที่สัมพันธ์กับตัวแปร และเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า. อันที่จริงแล้ว ด้วยสิ่งนี้เราได้${\displaystyle \Delta _{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (n-1)/2}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \langle \delta ,\psi \rangle =\psi (0)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }L(\psi )(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} x,}$

และอินทิกรัลนี้บรรจบกันโดยสมบูรณ์

เคอร์เนลSchwartzของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ใดๆ สามารถเขียนเป็นอินทิกรัลแบบสั่นได้ อันที่จริงแล้ว ถ้า

${\displaystyle L=\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)D^{\alpha },}$

โดยที่, แล้วเคอร์เนลของจะถูกกำหนดโดย${\displaystyle D^{\alpha }=\partial _{x}^{\alpha }/i^{|\alpha |}}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\xi \cdot (x-y)}\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)\,\xi ^{\alpha }\,\mathrm {d} \xi .}$

การแจกแจงแบบลากรองจ์ใดๆ^{[ จำเป็นต้องมีการชี้แจง ]}สามารถแสดงได้ในระดับท้องถิ่นด้วยอินทิกรัลแบบสั่น ดู Hörmander (1983) ในทางกลับกัน อินทิกรัลแบบสั่นใดๆ ก็ตามก็คือการแจกแจงแบบลากรองจ์ ซึ่งจะให้คำอธิบายที่ชัดเจนเกี่ยวกับประเภทของการแจกแจงที่อาจแสดงเป็นอินทิกรัลแบบสั่นได้

วิกิคำคมมีคำคมเกี่ยวกับ อินทิก รัลแกว่ง

• เล็มมาของรีมันน์–เลอเบสก์
• เล็มมาของแวนเดอร์คอร์ปัต
• ตัวดำเนินการอินทิกรัลแบบสั่น

• Hörmander , Lars (1983), การวิเคราะห์ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นบางส่วน IV , Springer-Verlag, ISBN 0-387-13829-3
• Hörmander , Lars (1971), "ตัวดำเนินการอินทิกรัลฟูริเยร์ I" Acta Math. , 127 : 79–183, doi : 10.1007/bf02392052