กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ

โครงสร้างพีชคณิต → ทฤษฎีกลุ่ม ทฤษฎีกลุ่ม
แนวคิดพื้นฐาน กลุ่มย่อย กลุ่มย่อยปกติ การดำเนินการเป็นกลุ่ม กลุ่มผลหาร สินค้ากึ่งตรง ผลรวมโดยตรง สินค้าฟรี สินค้าพวงหรีด กลุ่มโฮโมมอร์ฟิซึม เคอร์เนล ภาพ เรียบง่าย จำกัด อนันต์ ต่อเนื่อง การคูณ สารเติมแต่ง วงจร อาเบเลียน ไดฮีดรัล ไม่มีฤทธิ์ สามารถแก้ไขได้ คำศัพท์ของทฤษฎีกลุ่ม รายชื่อหัวข้อทฤษฎีกลุ่ม
กลุ่มจำกัด กลุ่มวงจร Z n กลุ่มสมมาตร S n สลับกลุ่ม A n กลุ่มไดฮีดรัล D n กลุ่มควอเทอร์เนียน Q ทฤษฎีบทของโคชี ทฤษฎีบทลาเกรนจ์ ทฤษฎีบทซิโลว์ ทฤษฎีบทฮอลล์ กลุ่มพี กลุ่มอาเบเลียนเบื้องต้น กลุ่มโฟรเบเนียส ตัวคูณชูร์ การจำแนกกลุ่มจำกัดแบบง่าย วงจร สลับกัน ประเภทของการโกหก ประปราย
กลุ่มแยกจากกัน โครงตาข่าย จำนวนเต็ม (${\displaystyle \mathbb {Z} }$- กลุ่มฟรี กลุ่มโมดูลาร์ พีเอสแอล(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$- สล(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$- กลุ่มเลขคณิต ตาข่าย กลุ่มไฮเปอร์โบลิก
กลุ่ม โทโพโลยีและกลุ่มโกหก โซลินอยด์ วงกลม ทั่วไปเชิงเส้น GL( n ) เชิงเส้นพิเศษ SL( n ) มุมฉาก O( n ) ยูคลิด E( n ) มุมฉากพิเศษ SO( n ) หน่วย U( n ) ยูนิตารีพิเศษ SU( n ) ซิม เพล็กติก Sp( n ) จี2 เอฟ4 อี6 อี7 อี8 ลอเรนซ์ ปวงกาเร่ คอนฟอร์มัล ความแตกต่างทางสัณฐานวิทยา ลูป กลุ่มโกหกมิติอนันต์ โอ(∞) สุ(∞) สป(∞)
กลุ่มพีชคณิต กลุ่มพีชคณิตเชิงเส้น กลุ่มรีดักชัน Abelian variety Elliptic curve
v t e

Lie groups and Lie algebras
Classical groups General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n)
Simple Lie groups Classical An Bn Cn Dn Exceptional G2 F4 E6 E7 E8
Other Lie groups Circle Lorentz Poincaré Conformal group Diffeomorphism Loop Euclidean
Lie algebras Lie group–Lie algebra correspondence Exponential map Adjoint representation Killing form Index Simple Lie algebra Loop algebra Affine Lie algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Representation theory Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ SL( n , R )ที่มีดีกรีnเหนือริงสับเปลี่ยน Rคือเซตของเมทริก ซ์ n × n ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ 1 โดยมีการดำเนินการกลุ่มของ การคูณเมทริกซ์ธรรมดาและการผกผันเมทริกซ์นี่คือกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปที่กำหนดโดยเคอร์เนลของดีเทอร์มิแนนต์

${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,R)\to R^{\times }.}$

โดยที่R ^×คือกลุ่มคูณของR (นั่นคือRไม่รวม 0 เมื่อRเป็นฟิลด์)

องค์ประกอบเหล่านี้มีความ "พิเศษ" ในแง่ที่ว่าพวกมันสร้างพีชคณิตย่อยของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป – พวกมันตอบสนองสมการพหุนาม (เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์เป็นพหุนามในรายการ)

เมื่อRเป็นฟิลด์จำกัดที่มีลำดับqบางครั้งก็ใช้ สัญกรณ์SL( n , q )

กลุ่มเชิงเส้นพิเศษSL( n , R )สามารถกำหนดลักษณะเป็นกลุ่มของปริมาตรและทิศทางที่รักษาการแปลงเชิงเส้นของ^Rnซึ่งสอดคล้องกับการตีความตัวกำหนดว่าเป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรและทิศทาง

เมื่อFเป็นRหรือC SL ( n , F )เป็นกลุ่มย่อย LieของGL( n , F )ที่มีมิติn2−1พีชคณิตLie ของ SL( n , F ) ประกอบด้วย เมท ริก ซ์ n × n ทั้งหมด เหนือFที่มีรอยหายไป^{วงเล็บ} Lieกำหนดโดยตัวสับเปลี่ยน${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$

เมทริกซ์ผกผันใดๆ ก็สามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงตามการสลายตัวแบบโพลาในรูปของผลคูณของเมทริกซ์ยูนิตารีและ เมทริก ซ์เฮอร์มิเชียนที่มีค่าลักษณะ เฉพาะเป็นบวก ดี เทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ยูนิตารีอยู่บนวงกลมหน่วยในขณะที่ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเป็นจำนวนจริงและเป็นบวก และเนื่องจากในกรณีของเมทริกซ์จากกลุ่มเชิงเส้นพิเศษ ผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ทั้งสองนี้จะต้องเท่ากับ 1 ดังนั้น แต่ละตัวจึงต้องเท่ากับ 1 ดังนั้น เมทริกซ์เชิงเส้นพิเศษจึงสามารถเขียนเป็นผลคูณของเมทริกซ์ยูนิตารีพิเศษ (หรือเมทริกซ์ออร์โธโกนัลพิเศษในกรณีจริง) และ เมทริกซ์เฮอร์มิเชียน ที่แน่นอนเชิงบวก (หรือเมทริกซ์สมมาตรในกรณีจริง) ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็น 1

ดังนั้นโทโพโลยีของกลุ่มSL( n , C )คือผลคูณของโทโพโลยีของ SU( n ) และโทโพโลยีของกลุ่มเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนของตัวกำหนดหน่วยที่มีค่าลักษณะเฉพาะเป็นบวก เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนของตัวกำหนดหน่วยและมีค่าลักษณะเฉพาะเป็นบวกสามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงเป็น^{เลขชี้กำลัง}ของเมท ริกซ์เฮอร์มิเชียน ที่ไม่มีร่องรอยดังนั้นโทโพโลยีของเมทริกซ์นี้จึงเป็นของปริภูมิยุคลิดมิติ( n2−1 ) ^[1]เนื่องจาก SU( n ) เชื่อมโยงกันอย่างง่ายๆ^[2]เราจึงสรุปได้ว่าSL( n , C )เชื่อมโยงกันอย่างง่ายๆ เช่นกัน สำหรับn ทั้งหมด ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2

โทโพโลยีของSL( n , R )คือผลคูณของโทโพโลยีของSO ( n ) และโทโพโลยีของกลุ่มเมทริกซ์สมมาตรที่มีค่าลักษณะเฉพาะบวกและตัวกำหนดหน่วย เนื่องจากเมทริกซ์หลังสามารถแสดงเป็นเลขชี้กำลังของเมทริกซ์สมมาตรไร้รอยได้อย่างเฉพาะเจาะจง ดังนั้นโทโพโลยีหลังนี้จึงเป็นของ ปริภูมิยูคลิดมิติ ( n + 2)( n −1)/2ดังนั้น กลุ่มSL( n , R ) จึง มีกลุ่มพื้นฐาน เดียวกัน กับ SO( n ) นั่นคือZสำหรับn = 2และZ2สำหรับn > 2 [ ^3]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าSL( n , R )ไม่เหมือนกับSL( n _, C )ตรงที่ไม่ได้เชื่อมต่อกันง่ายๆ สำหรับnที่มากกว่า 1

กลุ่มย่อยที่เกี่ยวข้องสองกลุ่ม ซึ่งในบางกรณีตรงกับ SL และในบางกรณีอาจรวมเข้ากับ SL โดยไม่ได้ตั้งใจ ได้แก่กลุ่มย่อยตัวสับเปลี่ยนของ GL และกลุ่มที่สร้างโดยทรานสเวกชันทั้งสองกลุ่มนี้เป็นกลุ่มย่อยของ SL (ทรานสเวกชันมีดีเทอร์มิแนนต์ 1 และ det เป็นแผนที่ไปยังกลุ่มอาเบเลียน ดังนั้น [GL, GL] ≤ SL) แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่ตรงกับกลุ่มอาเบเลียน

กลุ่มที่สร้างโดยการแปลงสัญญาณจะแสดงเป็นE( n , A ) (สำหรับเมทริกซ์เบื้องต้น ) หรือTV( n , A )ตามความสัมพันธ์ Steinberg ที่สอง สำหรับn ≥ 3การแปลงสัญญาณจะเป็นตัวสับเปลี่ยน ดังนั้น สำหรับn ≥ 3 E ( n , A ) ≤ [GL( n , A ), GL( n , A ) ]

สำหรับn = 2ทรานสเวกชันไม่จำเป็นต้องเป็นตัวสับเปลี่ยน (ของ เมทริกซ์ 2 × 2 ) ดังที่เห็นตัวอย่างเช่น เมื่อAคือF ₂ซึ่งเป็นฟิลด์ของสององค์ประกอบ ดังนั้น

${\displaystyle \operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})]<\operatorname {E} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3),}$

โดยที่ Alt(3) และ Sym(3) หมายถึงกลุ่มสมมาตรแบบสลับกันบนตัวอักษร 3 ตัว

อย่างไรก็ตาม หากAเป็นฟิลด์ที่มีองค์ประกอบมากกว่า 2 องค์ประกอบ ดังนั้นE(2, A ) = [GL(2, A ), GL(2, A )]และหากAเป็นฟิลด์ที่มีองค์ประกอบมากกว่า 3 องค์ประกอบE(2, A ) = [SL(2, A ), SL(2, A )] [ ^{น่าสงสัย – อภิปราย ]}

ในบางสถานการณ์ สิ่งเหล่านี้จะตรงกัน: กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเหนือฟิลด์หรือโดเมนยูคลิดจะสร้างขึ้นโดยการทรานสเวกชัน และ กลุ่มเชิงเส้นพิเศษที่ เสถียรเหนือโดเมนเดเดคินด์จะสร้างขึ้นโดยการทรานสเวกชัน สำหรับวงแหวนทั่วไปกว่านี้ ความแตกต่างที่เสถียรจะวัดโดยกลุ่มไวท์เฮดพิเศษ SK ₁ ( A ) := SL( A )/E( A )โดยที่ SL( A ) และ E( A ) คือกลุ่มเสถียรของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษและเมทริกซ์เบื้องต้น

หากทำงานบนวงแหวนที่ SL ถูกสร้างขึ้นโดยการแปลงสภาพ (เช่นฟิลด์หรือโดเมนยูคลิด ) เราสามารถนำเสนอSLโดยใช้การแปลงสภาพที่มีความสัมพันธ์บางอย่างได้ การแปลงสภาพเป็นไปตามความสัมพันธ์ของ Steinbergแต่ความสัมพันธ์เหล่านี้ไม่เพียงพอ กลุ่มผลลัพธ์คือกลุ่มSteinbergซึ่งไม่ใช่กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ แต่เป็นส่วนขยายส่วนกลางสากลของกลุ่มย่อยของตัวสับเปลี่ยนของ GL

ชุดความสัมพันธ์ที่เพียงพอสำหรับSL( n , Z )สำหรับn ≥ 3นั้นกำหนดโดยความสัมพันธ์ Steinberg สองชุด บวกกับความสัมพันธ์ชุดที่สาม (Conder, Robertson & Williams 1992, หน้า 19) ให้T _ij  := e _ij (1) เป็นเมทริกซ์เบื้องต้นที่มี 1 อยู่บนเส้นทแยงมุมและอยู่ใน ตำแหน่ง ijและ 0 อยู่ที่อื่น (และi ≠ j ) จากนั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{ij},T_{jk}\right]&=T_{ik}&&{\text{for }}i\neq k\\[4pt]\left[T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12}T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}}$

เป็นชุดความสัมพันธ์ที่สมบูรณ์สำหรับ SL( n , Z ), n ≥ 3

ในลักษณะอื่นที่ไม่ใช่ 2 ชุดของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์±1จะสร้างกลุ่มย่อยอีกกลุ่มหนึ่งของ GL โดยที่ SL เป็นกลุ่มย่อยดัชนี 2 (จำเป็นต้องเป็นปกติ) ในลักษณะ 2 จะเหมือนกับ SL ซึ่งจะสร้าง ลำดับ กลุ่ม ที่แน่นอนและสั้น :

${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (n,F)\to \operatorname {SL} ^{\pm }(n,F)\to \{\pm 1\}\to 1.}$

ลำดับนี้จะแยกออกโดยใช้เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์−1ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์แนวทแยงมุมหากเป็นเลขคี่ เมทริกซ์เอกลักษณ์เชิงลบจะอยู่ในSL ^± ( n , F )แต่ไม่ใช่ในSL( n , F )ดังนั้นกลุ่มจะแยกออกเป็นผลคูณโดยตรงภายในอย่างไรก็ตาม หากเป็นเลขคู่อยู่ในSL( n , F )แล้วSL ^± จะไม่แยกออก และโดยทั่วไป แล้ว จะเป็นการ ขยายกลุ่มที่ไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย${\displaystyle (-1,1,\dots ,1).}$${\displaystyle n=2k+1}$${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} ^{\pm }(2k+1,F)\cong \operatorname {SL} (2k+1,F)\times \{\pm I\}}$${\displaystyle n=2k}$${\displaystyle -I}$

เมื่อเทียบกับจำนวนจริงSL ^± ( n , R ) จะมี ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสองส่วนซึ่งสอดคล้องกับSL( n , R )และส่วนประกอบอีกส่วนหนึ่ง ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิกที่มีการระบุตัวตนขึ้นอยู่กับการเลือกจุด (เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์−1 ) ในมิติคี่ สิ่งเหล่านี้จะถูกระบุโดยธรรมชาติด้วยแต่ในมิติคู่ จะไม่มีการระบุตัวตนตามธรรมชาติใดๆ${\displaystyle -I}$

กลุ่มGL( n , F )แยกตัวออกตามดีเทอร์มิแนนต์ (เราใช้F ^× ≅ GL(1, F ) → GL( n , F )เป็นโมโนมอร์ฟิซึมจากF ^×ถึงGL( n , F )ดูผลคูณกึ่งตรง ) ดังนั้นGL( n , F )จึงเขียนเป็นผลคูณกึ่งตรงของSL( n , F )โดยF ^× :

GL( n , F ) = SL( n , F ) ⋊ F ^× .

• ส.ล.(2, ร )
• สล(2, ซี )
• กลุ่มโมดูลาร์ (PSL(2, Z ))
• กลุ่มเชิงเส้นแบบโปรเจกทีฟ
• แผนที่คอนฟอร์มัล
• การแสดงตัวแทนของกลุ่มลีคลาสสิก

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Special linear group" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2008) (Learn how and when to remove this message)

• Conder, Marston ; Robertson, Edmund; Williams, Peter (1992), "การนำเสนอสำหรับกลุ่มเชิงเส้นพิเศษสามมิติเหนือวงแหวนจำนวนเต็ม" Proceedings of the American Mathematical Society , 115 (1), American Mathematical Society: 19–26, doi :10.2307/2159559, JSTOR  2159559, MR  1079696
• ฮอลล์, ไบรอัน ซี. (2015), กลุ่มลี, พีชคณิตลี และการแสดง: บทนำเบื้องต้น , ตำราบัณฑิตในคณิตศาสตร์, เล่ม 222 (พิมพ์ครั้งที่ 2), สปริงเกอร์