คลื่นสามเหลี่ยม

คลื่นสามเหลี่ยม
คลื่นสามเหลี่ยม ที่มีแบนด์วิด ท์จำกัด[1]ที่แสดงไว้ในโดเมนเวลา (ด้านบน) และโดเมนความถี่ (ด้านล่าง) พื้นฐานอยู่ที่ 220 เฮิรตซ์ (A 3 )
ข้อมูลทั่วไป
คำจำกัดความโดยทั่วไป	${\displaystyle x(t)=4\left\vert t-\left\lfloor t+3/4\right\rfloor +1/4\right\vert -1}$
ขอบเขตการใช้งาน	อิเล็กทรอนิกส์, เครื่องสังเคราะห์เสียง
โดเมน โคโดเมน และอิมเมจ
โดเมน	${\displaystyle \mathbb {R} }$
โคโดเมน	${\displaystyle \left[-1,1\ขวา]}$
คุณสมบัติพื้นฐาน
ความเท่าเทียมกัน	แปลก
ระยะเวลา	1
ลักษณะเฉพาะ
ราก	${\displaystyle \left\{{\tfrac {n}{2}}\right\},n\in \mathbb {Z} }$
อนุพันธ์	คลื่นสี่เหลี่ยม
อนุกรมฟูเรียร์	${\displaystyle x(t)=-{\frac {8}{{\pi }^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}}{\left(2k-1\right)^{2}}}\sin \left(2\pi \left(2k-1\right)t\right)}$

ตัวอย่างเสียงคลื่นสามเหลี่ยม

คลื่นสามเหลี่ยม 5 วินาที ที่ความถี่ 220 เฮิรตซ์

---

มีปัญหาในการเล่นไฟล์นี้หรือไม่ ดูความช่วยเหลือเกี่ยวกับสื่อ

ตัวอย่างเสียงคลื่นสามเหลี่ยมบวก

หลังจากแต่ละวินาที จะมีการเติมฮาร์มอนิกลงในคลื่นไซน์เพื่อสร้างคลื่นสามเหลี่ยม 220 เฮิรตซ์

---

มีปัญหาในการเล่นไฟล์นี้หรือไม่ ดูความช่วยเหลือเกี่ยวกับสื่อ

คลื่นสามเหลี่ยมหรือคลื่นสามเหลี่ยมคือคลื่นที่ไม่เป็นไซน์ซึ่งตั้งชื่อตาม รูปร่าง สามเหลี่ยมคลื่นสามเหลี่ยมเป็นฟังก์ชันจริงต่อเนื่อง เป็นช่วง ๆ เชิงเส้นเป็น ช่วง ๆ

คลื่น สามเหลี่ยมมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ เท่านั้น เช่นเดียวกับ คลื่นสี่เหลี่ยม อย่างไรก็ตาม ฮาร์มอนิกที่สูงกว่าจะเคลื่อนที่เร็วกว่าคลื่นสี่เหลี่ยมมาก (ตามสัดส่วนของกำลังสองผกผันของจำนวนฮาร์มอนิก ไม่ใช่เฉพาะฮาร์มอนิกผกผัน)

คลื่นสามเหลี่ยมของคาบpที่ครอบคลุมช่วง [0, 1] ถูกกำหนดให้เป็น โดย ที่เป็นฟังก์ชันพื้นซึ่งสามารถเห็นได้ว่าเป็นค่าสัมบูรณ์ของคลื่นฟันเลื่อย ที่ เลื่อน$${\displaystyle x(t)=2\left|{\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right|,}$$${\displaystyle \lfloor \ \rfloor }$

สำหรับคลื่นสามเหลี่ยมที่ครอบคลุมช่วง[−1, 1]นิพจน์จะกลายเป็น$${\displaystyle x(t)=2\left|2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)\right|-1.}$$

สมการทั่วไปสำหรับคลื่นสามเหลี่ยมที่มีแอมพลิจูดและคาบโดยใช้การดำเนินการโมดูโลและค่าสัมบูรณ์คือ${\displaystyle ก}$${\displaystyle พี}$$${\displaystyle y(x)={\frac {4a}{p}}\left|\left(\left(x-{\frac {p}{4}}\right){\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}\right|-ก.}$$

ตัวอย่างเช่น สำหรับคลื่นสามเหลี่ยมที่มีแอมพลิจูด 5 และคาบ 4:$${\displaystyle y(x)=5\left|{\bigl (}(x-1){\bmod {4}}{\bigr )}-2\right|-5.}$$

การเลื่อนเฟสสามารถทำได้โดยการเปลี่ยนค่าของเทอม และสามารถปรับค่าออฟเซ็ตแนวตั้งได้โดยการเปลี่ยนค่าของเทอม${\displaystyle-p/4} การแสดงผล$${\displaystyle-ก}$

เนื่องจากการดำเนินการนี้ใช้เพียงการดำเนินการโมดูโลและค่าสัมบูรณ์เท่านั้น จึงสามารถใช้กับการใช้งานคลื่นสามเหลี่ยมบนฮาร์ดแวร์อิเล็กทรอนิกส์ได้

โปรดทราบว่าในภาษาการเขียนโปรแกรมจำนวนมาก%ตัวดำเนินการคือตัวดำเนินการเศษเหลือ (ซึ่งผลลัพธ์มีเครื่องหมายเดียวกับตัวตั้ง) ไม่ใช่ตัวดำเนินการโมดูโลการดำเนินการโมดูโลสามารถหาได้โดยใช้((x % p) + p) % pแทนที่x % pใน eg JavaScript ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการที่มีรูปแบบ4*a/p * Math.abs((((x - p/4) % p) + p) % p - p/2) - a.

คลื่นสามเหลี่ยมสามารถแสดงเป็นอินทิกรัลของคลื่นสี่เหลี่ยม ได้เช่นกัน :$${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {u}{p}}\right)\,du.}$$

คลื่นสามเหลี่ยมที่มีคาบpและแอมพลิจูดaสามารถแสดงในรูปของไซน์และอาร์กไซน์ (ซึ่งมีค่าตั้งแต่ − π /2 ถึงπ /2) โดย สามารถใช้ เอกลักษณ์นี้ในการแปลงคลื่น "ไซน์" สามเหลี่ยมเป็นคลื่น "โคไซน์" สามเหลี่ยม คลื่นสามเหลี่ยมที่เลื่อนเฟสสามารถแสดงด้วยโคไซน์และอาร์กโคไซน์ ได้เช่น กัน$${\displaystyle y(x)={\frac {2a}{\pi }}\arcsin \left(\sin \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$$${\textstyle \cos {x}=\sin \left({\frac {p}{4}}-x\right)}$$${\displaystyle y(x)=a-{\frac {2a}{\pi }}\arccos \left(\cos \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$$

นิยามอื่นของคลื่นสามเหลี่ยมที่มีช่วงตั้งแต่ −1 ถึง 1 และคาบpคือ$${\displaystyle x(t)={\frac {4}{p}}\left(t-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }.}$$

เป็นไปได้ที่จะประมาณคลื่นสามเหลี่ยมด้วยการสังเคราะห์แบบบวกโดยการรวมฮาร์มอนิกคี่ของฮาร์มอนิกพื้นฐานในขณะที่คูณฮาร์มอนิกคี่ทุกตัวด้วย −1 (หรือกล่าวได้อีกนัยหนึ่งคือเปลี่ยนเฟสของฮาร์มอนิกด้วยπ ) และคูณแอมพลิจูดของฮาร์มอนิกด้วย 1 หารด้วยกำลังสองของหมายเลขโหมดn (ซึ่งเทียบเท่ากับ 1 หารด้วยกำลังสองของความถี่สัมพันธ์กับความถี่พื้นฐาน )

ข้อความข้างต้นสามารถสรุปทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้: โดยที่Nคือจำนวนฮาร์มอนิกที่จะรวมไว้ในการประมาณค่าtคือตัวแปรอิสระ (เช่น เวลาสำหรับคลื่นเสียง) คือความถี่พื้นฐาน และiคือป้ายฮาร์มอนิกซึ่งเกี่ยวข้องกับหมายเลขโหมดโดย$${\displaystyle x_{\text{สามเหลี่ยม}}(t)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{i=0}^{N-1}(-1)^{i}n^{-2}\sin(2\pi f_{0}nt),}$$${\displaystyle f_{0}}$$n=2i+1 ตามลำดับ$

อนุกรมฟูเรียร์อนันต์นี้บรรจบกันอย่างรวดเร็วเป็นคลื่นสามเหลี่ยมเมื่อNเข้าใกล้อินฟินิตี้ ดังที่แสดงในแอนิเมชั่น

ความยาวส่วนโค้งต่อคาบของคลื่นสามเหลี่ยม แสดงด้วยsถูกกำหนดในรูปของแอมพลิจูดaและความยาวคาบpโดย$${\displaystyle s={\sqrt {(4a)^{2}+p^{2}}}.}$$

• รายการฟังก์ชันคาบ
• คลื่นไซน์
• คลื่นสี่เหลี่ยม
• คลื่นฟันเลื่อย
• คลื่นพัลส์
• เสียง
• ฟังก์ชั่นสามเหลี่ยม
• คลื่น
• ซิกแซก

• Weisstein, Eric W. "Fourier Series - Triangle Wave". MathWorld .