Descartesovo pravilo predznaka

Descartesovo pravilo predznaka je teorem u algebri koji kaže da je broj pozitivnih korijena ili nultočaka polinoma (brojeći višestrukost) $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ manji ili jednak broju promjena predznaka koeficijenata $a_{n},...,a_{0}$ polinoma $P(x).$ Drugi dio teorema kaže da su ta dva cijela broja iste parnosti.

Na primjer, predznaci koeficijenata polinoma $P(x)=x^{4}+2x^{3}-x^{2}+1$ redom su (+, +, −, +). U nizu su dvije promjene predznaka, pa prema Descartesovom pravilu polinom ima najviše 2 pozitivna korijena. Zbog drugoga dijela teorema polinom ne može imati samo jedan pozitivan korijen, ali može biti bez ijednoga.

Ovaj teorem je nazvan po slavnom francuskom matematičaru i filozofu Renéu Descartesu koji ga je prvi zapisao u svom djelu La Géométrie davne 1637.

Teorem se može koristiti i za broj negativnih korijena polinoma $P(x)$ jer je taj broj jednak broju pozitivnih korijena polinoma $P(-x).$

Dokaz indukcijom

Descartesovo pravilo ćemo ovdje geometrijski dokazati metodom matematičke indukcije.

Pretpostavimo, bez smanjenja općenitosti, da je vodeći koeficijent $a_{n}x_{n}$ polinoma $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ pozitivan.

Uočimo da ako je $a_{0}=P(0)=0$ možemo izlučivati $x$ iz $P(x)$ sve dok ne dođemo do polinoma oblika $P(x)=x^{p}R(x),p\in \mathbb {N}$ gdje je $R(x)$ polinom kojemu slobodni član nije jednak nuli. Ovaj postupak nije moguće napraviti samo ako je izvorni polinom u obliku $P(x)=a_{n}x^{n}.$ Primjerice, možemo računati $x^{4}+2x^{3}-x^{2}=xx(x^{2}+2x-1).$

Uzimo sada opet opći polinom $P(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0},$ uz $a_{n}>0,a_{0}\neq 0$. Ako je $a_{0}=P(0)>0$ broj promjena predznaka je paran jer bismo imali (+, ..., +). S druge strane, za dovoljno veliki $x_{0}$ vrijedi $P(x_{0}+\alpha )>0,\forall \alpha \geq 0$ (slijedi iz svojstva injektivnosti i neprekidnosti polinomne funkcije i iz činjenice da je član $a_{n}x^{n}>0$ za dovoljno veliki $x_{0}$ dominantan nad ostalim članovima). Kako su $P(0)=a_{0},P(x_{0})>0$ slijedi da će $P(x)$ siječi apscisnu ili x-os u intervalu $[0,x_{0}]$ paran broj puta (tj. broj nultočaka je paran).

Ako je pak $a_{0}<0$ broj promjena predznaka bi bio neparan jer bismo imali (+, ..., -) i iz $P(0)=a_{0}<0,P(x_{0})>0$ analogno bi slijedilo da postoji dovoljno veliki $x_{0}'$ za koji je $P(x+\alpha ')>0,\forall \alpha '\geq 0$ pa bi taj graf sijekao x-os neparan broj puta (tj. broj nultočaka je neparan).

Treba napomenuti da ovo vrijedi i ako polinom ima višestruke korijene. Naime, ako neki polinom ima $s$-terostruki korijen $x=r$ možemo ga napisati kao $P(x)=r^{s}Q(x)$. Ako je $s=2l,l\in \mathbb {N}$ njegov graf dodiruje točku $(r,0)$ lokalno u približnom obliku parabole, tj. slova "U", što ne mijenja parnost broja presjeka polinoma $P(x)$ s x-osi. Za $s=2l+1$ polinom se lokalno ponaša približno kao kubna funkcija u $(0,0)$ pa se ni tada parnost broja presjeka grafa s x-osi ne mijenja.

Dakle, vidimo da su broj pozitivnih korijena polinoma i broj promjena predznaka njegovih koeficijenata iste parnosti.

Sada pretpostavimo da je broj pozitivnih korijena $k$ veći od broja promjena predznaka koeficijenata $m$ polinoma $P(x).$ Uočimo da je tada $k$ barem za 2 veći od $m.$

No, $P'(x)$ je polinom s nultočkama između svake dvije nultočke polinoma $P(x)$ (slijedi iz Rolleovog teorema).

To znači da je broj nultočaka polinoma $P'(x)$ veći ili jednak $k-1.$

Uočimo još da su brojevi promjena predznaka polinoma $P(x),P'(x)$ jednaki (to slijedi iz pravila za derivaciju polinoma)

Zbog toga slijedi da je broj nultočaka polinoma $k$ veći točno za 1 od $m$ što nije moguće jer 1 nije paran broj.

Prema tome, pretpostavka je pogrešna pa je $k\leq m,$ što je i trebalo pokazati.