Hermitikus szeszkvilineáris forma

A hermitikus szeszkvilineáris forma a lineáris algebrában szeszkvilineáris formák egy típusa, a szimmetrikus bilineáris formákhoz hasonló szereppel.

Definíció

Legyen $V$ komplex vektortér. Egy hermitikus szeszkvilineáris forma egy $\langle \,,\,\rangle \colon V\times V\to \mathbb {C}$ leképezés,

ami minden $x,y,z\in V$ vektorra és $a\in \mathbb {C}$ komplex számra teljesülnek a következők:

• $\;\langle x,\,a\cdot y+z\rangle =a\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle$ lineáris az egyik argumentumban
• $\;\langle a\cdot x+y,z\rangle ={\overline {a}}\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle$ szemilineáris a másik argumentumban
• $\;\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$ hermitikus

ahol ${\overline {x}}$ a komplex konjugálás.

A lineáris és a nem lineáris argumentum sorrendjéről nincs egységes konvenció.

Az első két feltétel meghatározza a szeszkvilineáris formát. A harmadik feltétel miatt lesz a forma hermitikus.

A hermitikus szeszkvilineáris formák a komplex számok teste fölött relevánsak. Valós számok fölött a hermitikus szeszkvilineáris formák egybeesnek a szimmetrikus lineáris formákkal. Komplex vektortéren a skalárszorzat hermitikus szeszkvilineáris forma. Tágabb értelemben egy moduluson definiált szeszkvilineáris forma hermitikus, ha $\langle x,y\rangle =\sigma (\langle y,x\rangle )$, ahol $\sigma$ involutorikus antiautomorfizmus a modulus skalárgyűrűjén. Ha $\varepsilon$ a gyűrű centrumában van, akkor a szeszkvilineráris forma pontosan akkor $\varepsilon$-hermitikus, ha $\langle x,y\rangle =\varepsilon \sigma (\langle y,x\rangle )$ teljesül.

Tulajdonságok

A hermitikus szeszkvilineáris formákra teljesül a polarizációs formula. Ennek egyik következménye, hogy a hermitikus szeszkvilineáris formát átlós értékei meghatározzák.

A hermitikus standard forma:

$\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =\langle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}),(y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n})\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+{\bar {x}}_{2}y_{2}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\bar {x}}_{k}y_{k}$

Források

V. L. Popov: Hermitian form. In: Michiel Hazewinkel (szerk.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Hermitesche Sesquilinearform című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.