Multilineáris leképezés

A lineáris algebrában és kapcsolódó területeken a multilineáris leképezés a lineáris leképezés általánosítása. A multilineáris leképezés egy fontos példája a determináns.

Definíció

Legyen $R$ egységelemes kommutatív gyűrű, és legyenek $F$ és $E_{i}$ minden $i\in \{1,...,p\}$-re modulusok az $R$ gyűrű fölött. Ekkor egy $f\colon E_{1}\times \cdots \times E_{p}\to F$ leképezés multilineáris, ha minden változójában lineáris. Pontosabban, ha $p>0$ egész szám, akkor egy leképezés $p$-multilineáris, ha:

$\forall a\in E_{1}\times \cdots \times E_{p},\forall i\in \{1,...,p\}:f_{i}(a)\in L(E_{i};F)$,

ahol az $f_{i}(a)$ parciális leképezésre:

$f_{i}(a)\colon E_{i}\to F~;~~x\mapsto f(a_{1},...,a_{i-1},x,a_{i+1},...,a_{p})~$

és $L(E;F)$ az $E$-ből $F$-be menő lineáris leképezések halmaza.

Ha $F=R$, akkor $R$-multilineáris formáról beszélünk.

Az $E_{1}\times \cdots \times E_{p}$-ből $F$-be menő $p$-lineáris leképezések halmazát $L_{p}(E_{1},...,E_{p};F)$ jelöli. Ha $E_{i}=E$ minden $i\in \{1,...,p\}$-re, akkor $L_{p}(E,...,E;F)=:L_{p}(E;F)$ és végülé $L_{p}(E,...,E;R)=:L_{p}(E)$.

Példák

• A lineáris leképezések 1-multilineáris leképezések.
• Ha $p>1$, akkor egyedül a null-leképezés az egyedüli lineáris leképezés, ami $p$-lineáris. Ugyanis $(x,y,...)=(0,y,...)+(x,0,...)$, amiből $f(x,y,...)=f(0,y,...)+f(x,0,...)$. A linearitás miatt $f(...)=0$, ha valamelyik változója $0$.
• A bilineáris leképezések 2-lineáris leképezések.
• Az $[x,y,z]=x\cdot (y\times z)$ vegyes szorzat $\mathbb {R} ^{3}$-ben 3-lineáris leképezés, vagyis $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]\in L_{3}(\mathbb {R} ^{3})=L_{3}(\mathbb {R} ^{3};\mathbb {R} )=L_{3}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{3};\mathbb {R} )$.
• Egy testben vagy gyűrűben a szorzás 2-lineáris leképezés.
• A vektoriális és a skalárszorzás 2-lineáris leképezés.
• Egy n-dimenziós vektortérben a determináns n-multilineáris leképezés.

Tulajdonságok

Az $\{1,\ldots ,p\}$ permutációinak szimmetrikus csoportja definiál egy műveletet $L_{p}(E;F)$-en,

$S_{p}\times L_{p}(E;F)\to L_{p}(E;F)~;~~(\sigma ,f)\mapsto \sigma f:(x_{1},...,x_{p})\mapsto (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (p)})$

ami egy $p$-lineáris leképezés változóinak permutációi. Ekkor egy $f\in L_{p}(E;F)$ leképezés

• szimmetrikus, ha $\sigma f=f$ minden $\sigma$ esetén
• antiszimmetrikus, ha $\sigma f=\epsilon (\sigma )f$ minden $\sigma$ permutációra, ahol $\epsilon (\sigma )$ a permutáció előjele.
• alternáló, ha $f(x_{1},\ldots ,x_{p})=0$, valahányszor két változója megegyezik.

Megfordítva, a szimmetrizáló:

$S\colon f\mapsto Sf=\sum _{\sigma \in S_{p}}\sigma f$

és az antiszimmetrizáló

$S\colon f\mapsto Sf=\sum _{\sigma \in S_{p}}\varepsilon (\sigma )\,\sigma f$,

ahol $f$ tetszőleges multilineáris leképezés szimmetrikusan vagy antiszimmetrikusan működik. Egyes szerzők itt osztanak $p!$-ral, hogy ezek az operátorok idempotensek legyenek, de ez véges karakterisztikájú testek esetén nem mindig működik.