Դիտել Մոդուլար հանրահաշիվ էջի աղբյուրը

{{անաղբյուր}}
[[Մաթեմատիկա]]յում '''մոդուլար հանրահաշիվը''' [[ամբողջ թվեր]]ի բազմության [[հանրահաշիվ|հանրահաշվական]] համակարգ է։ Մոդուլար հանրահաշվում թվերը, որոշակի արժեքի՝ '''մոդուլուսի''' հասնելուց հետո, «պտտվում են» սկզբնակետի շուրջ։ Մոդուլար հանրահաշվի ժամանակակից մոտեցումը մշակել է [[Կառլ Գաուս]]ն իր [[1801]] թվականին հրատարակված ''«Disquisitiones Arithmeticae»'' գրքում։

Մոդուլար հանրահաշվի ամենօրյա օգտագործման օրինակ է [[Օրվա ժամանակի 12-ժամյա ձևաչափ|12-ժամանոց ժամացույցը]]։ Ժամացույցում օրը բաժանված է երկու 12-ժամյա հատվածների։ Եթե հիմա ժամը 07:00 է, 8 ժամ անց կլինի ժամը 03:00։ Սովորական գումարումը՝ <math> 7 + 8 = 15 </math> կհանգի  15:00-ի, բայց այն կարելի կարդալ որպես 03:00, քանի որ ժամացույցը 12 ժամը մեկ վերսկսում է, և ժամը ներկայացնող թվերը սկսում են զրոյից երբ ժամը հասնում է 12֊ին։ Սա նկարագրում ենք որպես «15-ը ''կոնգրուենտ'' է 3֊ին մոդուլո 12, և գրանցում որպես <math> 15 = 3 (mod \ 12) </math>։ Այսպիսով. <math> 7 + 8 \cong 3 (mod \ 12) </math>։ Նույն տրամաբանությամբ 8:00 ներկայացնում է 8-ժամյա ժամանակահտված, որի կրկնակին կլինի 16:00: 16:00-ն ժամացույցի վրա ընթերցում ենք որպես 4:00։ Նշանակում է․ <math> 2 \times 8 \cong 4 (mod \ 12) </math>։

== Կոնգրուենցիա ==

Եթե տրված է <math> n > 1 </math> [[ամբողջ թվեր|ամբողջ թիվ]], ապա <math> a </math> և <math> b </math> ամբողջ թվերը կոչվում են «մոդուլո <math> n </math> կոնգրուենտ» եթե <math> n </math>-ը դրանց տարբերության [[բաժանարար]]ն է։ Ասել է թե․ գոյություն ունի այնպիսի <math> k \in \mathbb{Z} </math> որի համար կարող ենք գրել․
: <math> a - b = kn </math> 

Մոդուլո <math> n </math> կոնգրուենցիան գրանցվում է որպես․
: <math> a \cong b (mod \ n) </math>

Փակագծերը նշանակում են, որ <math> (mod \ n) </math>-ը վերաբերում է ամբողջ հավասարմանը, ո՛չ միայն աջ կողմին (օրինակում աջ կողմը <math> b </math>-ն է)։ 

Այս գրառումը պետք չէ շփոթել <math> b \ mod \ n </math> (առանց փակագծերի) գրանցման հետ, որը վերաբերում է [[մոդուլո գործողություն|մոդուլո գործողությանը]] (<math> b </math>-ն <math> n </math>-ի [[բաժանում (մաթեմատիկա)|բաժանման]] [[մնացորդ]]ին)։ <math> b \ mod \ n </math>-ը արտահայտում է այն եզակի <math> r </math> ամբողջ թիվը, որի համար ճիշտ են <math> 0 \leq r < n </math> և <math> r \cong b (mod n) </math> պնդումները։

Կոնգրուենտ հարաբերությունը կարելի է ներկայացնել որպես.
: <math> a = kn + b </math>,

բացահայտ ցուցադրելով [[Էվկլիդեսյան բաժանաում|Էվկլիդեսյան բաժանման]] հետ զուգահեռները։ Մեզ անհրաժեշտ չէ, որպեսզի <math> b </math>-ն լինի <math> n </math>-ով <math> a </math>-ի բաժանման մնացորդը։ Փոխարենը, <math> a \cong b (mod \ n) </math> պնդում է, որ <math> n </math>-ով բաժանելիս <math> a </math>-ն ու <math> b </math>-ն նույն մնացորդն ունեն․

: <math> a = pn + r </math>
: <math> b = qn + r </math>,

որտեղ <math> 0 \leq r < n </math>-ը ընդհանուր մնացորդն է։ Երկու հավասարումներն իրարից հանելուվ կարող են վերականգնել սկզբնական հարաբերությունը․ <math> a - b = kn </math>, որտեղ <math> k = p - 1 </math>։

Մոդուլո <math> n </math> կոնգրուենցիան [[կոնգրուենտ հարաբերություն]] է․ կոնգրուենցիան [[էկվիվալենտ հարաբերություն]] է և համադրելի է [[գումարում|գումարման]], [[հանում|հանման]] ու [[բազմապատկում|բազմապատկման]] գործողությունների հետ։

=== Օրինակներ ===

Մոդուլուս 12 համակարգում կարող ենք պնդել, որ <math> 38 \cong 14 (mod \ 12) </math>, քանի որ <math> 38 - 14 </math> տարբերությունը հավասար է <math> 24 = 2 \times 12 </math>. <math> 12 </math>-ի բազմապատիկ է։ Համապատասխանաբար, <math> 12 </math>-ով բաժանելիս <math> 38 </math>-ն ու <math> 14 </math>-ը նույն մնացորդն ունեն։

Կոնգրուենցիայի սահմանումն աշխատում է նաև բացասական արժեքների համար։ Օրինակ․
: <math> \begin{align}
2 \cong -3 \pmod 5\\
-8 \cong 7 \pmod 5\\
-3 \cong -8 \pmod 5
\end{align}</math>

== Հատկություններ ==

=== Հիմնարար հատկություններ ===
<!--

{{anchor|Properties}}
The congruence relation satisfies all the conditions of an [[equivalence relation]]:
* Reflexivity: {{math|''a'' ≡ ''a'' (mod ''n'')}} 
* Symmetry: {{math|''a'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}} if {{math|''b'' ≡ ''a'' (mod ''n'')}}.
* Transitivity: If {{math|''a'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}} and {{math|''b'' ≡ ''c'' (mod ''n'')}}, then {{math|''a'' ≡ ''c'' (mod ''n'')}}

-->
Եթե <math> a_1 \cong b_1 (mod \ n) </math> և <math> a_2 \cong b_2 (mod \ n) </math>, կամ եթե <math> a \cong b (mod \ n) </math>, ապա<ref>{{cite book 
|author1 = Սանդոր Լեհոսկի
|author2 = Ռիչարդ Ռուսկի
|editor = Դեյվիդ Պատրիկ
|title = Խնդիրներ լուծելու արվեստը
|year = 2006 
|isbn = 0977304566 
|pages = 44 
|edition =7 
|language = en
|volume = 1
|publisher = AoPS Incorporated 
}}</ref>.
* <math> a + k = b + k (mod \ n) </math>, ցանկացած <math> k \in \mathbb{Z} </math>-ի համար
<!--
(compatibility with translation)
* {{math|''k a'' ≡ ''k b'' (mod ''n'')}} for any integer {{math|''k''}} (compatibility with scaling)
* {{math|''k a'' ≡ ''k b'' (mod ''kn'')}} for any integer {{math|''k''}}
* {{math|''a''<sub>1</sub> + ''a''<sub>2</sub> ≡ ''b''<sub>1</sub> + ''b''<sub>2</sub> (mod ''n'')}} (compatibility with addition)
* {{math|''a''<sub>1</sub> − ''a''<sub>2</sub> ≡ ''b''<sub>1</sub> − ''b''<sub>2</sub> (mod ''n'')}} (compatibility with subtraction)
* {{math|''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ≡ ''b''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub> (mod ''n'')}} (compatibility with multiplication)
* {{math|''a''<sup>''k''</sup> ≡ ''b''<sup>''k''</sup> (mod ''n'')}} for any non-negative integer {{math|''k''}} (compatibility with exponentiation)
* {{math|''p''(''a'') ≡ ''p''(''b'') (mod ''n'')}}, for any [[polynomial]] {{math|''p''(''x'')}} with integer coefficients (compatibility with polynomial evaluation)

If {{math|''a'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}}, then it is generally false that {{math|''k<sup>a</sup>'' ≡ ''k<sup>b</sup>'' (mod ''n'')}}. However, the following is true:
* If {{math|''c'' ≡ ''d'' (mod ''φ''(''n'')),}} where {{math|''φ''}} is [[Euler's totient function]], then {{math|''a''<sup>''c''</sup> ≡ ''a''<sup>''d''</sup> (mod ''n'')}}—provided that {{math|''a''}} is [[coprime]] with {{math|''n''}}.

For cancellation of common terms, we have the following rules:
* If {{math|''a'' + ''k'' ≡ ''b'' + ''k'' (mod ''n'')}}, where {{math|''k''}} is any integer, then {{math|''a'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}}.
* If {{math|''ka'' ≡ ''kb'' (mod ''n'')}} and {{math|''k''}} is coprime with {{math|''n''}}, then {{math|''a'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}}.
* If {{math|''ka'' ≡ ''kb'' (mod ''kn'')}} and {{math|''k'' ≠ 0}}, then {{math|''a'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}}.

The last rule can be used to move modular arithmetic into division. If {{math|''b''}} divides {{math|''a''}}, then {{math|1=(''a''/''b'') mod ''n'' = (''a'' mod ''bn'') / ''b''}}.

The [[modular multiplicative inverse]] is defined by the following rules:
* Existence: There exists an integer denoted {{math|''a''<sup>−1</sup>}} such that {{math|''aa''<sup>−1</sup> ≡ 1 (mod ''n'')}} if and only if {{math|''a''}} is coprime with {{math|''n''}}. This integer {{math|''a''<sup>−1</sup>}} is called a ''modular multiplicative inverse'' of {{mvar|a}} modulo {{math|''n''}}.
* If {{math|''a'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}} and {{math|''a''<sup>−1</sup>}} exists, then {{math|''a''<sup>−1</sup> ≡ ''b''<sup>−1</sup> (mod ''n'')}} (compatibility with multiplicative inverse, and, if {{math|1=''a'' = ''b''}}, uniqueness modulo {{math|''n''}}).
* If {{math|''ax'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}} and {{math|''a''}} is coprime to {{math|''n''}}, then the solution to this linear congruence is given by {{math|''x'' ≡ ''a''<sup>−1</sup>''b'' (mod ''n'')}}.

The multiplicative inverse {{math|''x'' ≡ ''a''<sup>−1</sup> (mod ''n'')}}  may be efficiently computed by solving [[Bézout's identity|Bézout's equation]] {{math|1=''ax'' + ''ny'' = 1}} for {{math|''x''}}, {{math|''y''}} – using the [[Extended Euclidean algorithm]].

In particular, if {{math|''p''}} is a prime number, then {{math|''a''}} is coprime with {{math|''p''}} for every {{math|''a''}} such that {{math|0 < ''a'' < ''p''}}; thus a multiplicative inverse exists for all {{math|''a''}} that is not congruent to zero modulo {{math|''p''}}.
-->

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}
[[Կատեգորիա:Խմբերի տեսություն]]
[[Կատեգորիա:Թվերի տեսություն]]
[[Կատեգորիա:Թվաբանություն]]