Մոդուլար հանրահաշիվ

Մաթեմատիկայում մոդուլար հանրահաշիվը ամբողջ թվերի բազմության հանրահաշվական համակարգ է։ Մոդուլար հանրահաշվում թվերը, որոշակի արժեքի՝ մոդուլուսի հասնելուց հետո, «պտտվում են» սկզբնակետի շուրջ։ Մոդուլար հանրահաշվի ժամանակակից մոտեցումը մշակել է Կառլ Գաուսն իր 1801 թվականին հրատարակված «Disquisitiones Arithmeticae» գրքում։

Մոդուլար հանրահաշվի ամենօրյա օգտագործման օրինակ է 12-ժամանոց ժամացույցը։ Ժամացույցում օրը բաժանված է երկու 12-ժամյա հատվածների։ Եթե հիմա ժամը 07:00 է, 8 ժամ անց կլինի ժամը 03:00։ Սովորական գումարումը՝ $7+8=15$ կհանգի 15:00-ի, բայց այն կարելի կարդալ որպես 03:00, քանի որ ժամացույցը 12 ժամը մեկ վերսկսում է, և ժամը ներկայացնող թվերը սկսում են զրոյից երբ ժամը հասնում է 12֊ին։ Սա նկարագրում ենք որպես «15-ը կոնգրուենտ է 3֊ին մոդուլո 12, և գրանցում որպես $15\cong 3(mod\ 12)$։ Այսպիսով. $7+8\cong 3(mod\ 12)$։ Նույն տրամաբանությամբ 8:00 ներկայացնում է 8-ժամյա ժամանակահտված, որի կրկնակին կլինի 16:00: 16:00-ն ժամացույցի վրա ընթերցում ենք որպես 4:00։ Նշանակում է․ $2\times 8\cong 4(mod\ 12)$։

Կոնգրուենցիա

Եթե տրված է $n>1$ ամբողջ թիվ, ապա $a$ և $b$ ամբողջ թվերը կոչվում են «մոդուլո $n$ կոնգրուենտ» եթե $n$-ը դրանց տարբերության բաժանարարն է։ Ասել է թե․ գոյություն ունի այնպիսի $k\in \mathbb {Z}$ որի համար կարող ենք գրել․

$a-b=kn$

Մոդուլո $n$ կոնգրուենցիան գրանցվում է որպես․

$a\cong b(mod\ n)$

Փակագծերը նշանակում են, որ $(mod\ n)$-ը վերաբերում է ամբողջ հավասարմանը, ո՛չ միայն աջ կողմին (օրինակում աջ կողմը $b$-ն է)։

Այս գրառումը պետք չէ շփոթել $b\ mod\ n$ (առանց փակագծերի) գրանցման հետ, որը վերաբերում է մոդուլո գործողությանը ($b$-ն $n$-ի բաժանման մնացորդին)։ $b\ mod\ n$-ը արտահայտում է այն եզակի $r$ ամբողջ թիվը, որի համար ճիշտ են $0\leq r<n$ և $r\cong b(modn)$ պնդումները։

Կոնգրուենտ հարաբերությունը կարելի է ներկայացնել որպես.

$a=kn+b$,

բացահայտ ցուցադրելով Էվկլիդեսյան բաժանման հետ զուգահեռները։ Մեզ անհրաժեշտ չէ, որպեսզի $b$-ն լինի $n$-ով $a$-ի բաժանման մնացորդը։ Փոխարենը, $a\cong b(mod\ n)$ պնդում է, որ $n$-ով բաժանելիս $a$-ն ու $b$-ն նույն մնացորդն ունեն․

$a=pn+r$

$b=qn+r$,

որտեղ $0\leq r<n$-ը ընդհանուր մնացորդն է։ Երկու հավասարումներն իրարից հանելուվ կարող են վերականգնել սկզբնական հարաբերությունը․ $a-b=kn$, որտեղ $k=p-1$։

Մոդուլո $n$ կոնգրուենցիան կոնգրուենտ հարաբերություն է․ կոնգրուենցիան էկվիվալենտ հարաբերություն է և համադրելի է գումարման, հանման ու բազմապատկման գործողությունների հետ։

Օրինակներ

Մոդուլուս 12 համակարգում կարող ենք պնդել, որ $38\cong 14(mod\ 12)$, քանի որ $38-14$ տարբերությունը հավասար է $24=2\times 12$. $12$-ի բազմապատիկ է։ Համապատասխանաբար, $12$-ով բաժանելիս $38$-ն ու $14$-ը նույն մնացորդն ունեն։

Կոնգրուենցիայի սահմանումն աշխատում է նաև բացասական արժեքների համար։ Օրինակ․

${\begin{aligned}2\cong -3{\pmod {5}}\\-8\cong 7{\pmod {5}}\\-3\cong -8{\pmod {5}}\end{aligned}}$

Հատկություններ

Հիմնարար հատկություններ

Եթե $a_{1}\cong b_{1}(mod\ n)$ և $a_{2}\cong b_{2}(mod\ n)$, կամ եթե $a\cong b(mod\ n)$, ապա.

• $a+k=b+k(mod\ n)$, ցանկացած $k\in \mathbb {Z}$-ի համար