«Մոդուլար հանրահաշիվ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Content deleted Content added

Գծային

22:37, 27 հունվարի 2024-ի տարբերակ

Այս հոդվածը

(mod\ n)

գրառման մասին է․

mod(a,n)

գործողության համար տես՝ մոդուլո գործողություն։

Մաթեմատիկայում մոդուլար հանրահաշիվը ամբողջ թվերի բազմության հանրահաշվական համակարգ է։ Մոդուլար հանրահաշվում թվերը, որոշակի արժեքի՝ մոդուլուսի հասնելուց հետո, «պտտվում են» սկզբնակետի շուրջ։ Մոդուլար հանրահաշվի ժամանակակից մոտեցումը մշակել է Կառլ Գաուսն իր 1801 թվականին հրատարակված «Disquisitiones Arithmeticae» գրքում։

Մոդուլար հանրահաշվի ամենօրյա օգտագործման օրինակ է 12-ժամանոց ժամացույցը։ Ժամացույցում օրը բաժանված է երկու 12-ժամյա հատվածների։ Եթե հիմա ժամը 07:00 է, 8 ժամ անց կլինի ժամը 03:00։ Սովորական գումարումը՝ $7+8=15$ կհանգի 15:00-ի, բայց այն կարելի կարդալ որպես 03:00, քանի որ ժամացույցը 12 ժամը մեկ վերսկսում է, և ժամը ներկայացնող թվերը սկսում են զրոյից երբ ժամը հասնում է 12֊ին։ Սա նկարագրում ենք որպես «15-ը կոնգրուենտ է 3֊ին մոդուլո 12, և գրանցում որպես $15\cong 3(mod\ 12)$ ։ Այսպիսով. $7+8\cong 3(mod\ 12)$ ։ Նույն տրամաբանությամբ 8:00 ներկայացնում է 8-ժամյա ժամանակահտված, որի կրկնակին կլինի 16:00: 16:00-ն ժամացույցի վրա ընթերցում ենք որպես 4:00։ Նշանակում է․ $2\times 8\cong 4(mod\ 12)$ ։

Կոնգրուենցիա

Եթե տրված է $n>1$ ամբողջ թիվ, ապա $a$ և $b$ ամբողջ թվերը կոչվում են «մոդուլո $n$ կոնգրուենտ» եթե $n$ -ը դրանց տարբերության բաժանարարն է։ Ասել է թե․ գոյություն ունի այնպիսի $k\in \mathbb {Z}$ որի համար կարող ենք գրել․

a-b=kn

Մոդուլո $n$ կոնգրուենցիան գրանցվում է որպես․

a\cong b(mod\ n)

Փակագծերը նշանակում են, որ $(mod\ n)$ -ը վերաբերում է ամբողջ հավասարմանը, ո՛չ միայն աջ կողմին (օրինակում աջ կողմը $b$ -ն է)։

Այս գրառումը պետք չէ շփոթել $b\ mod\ n$ (առանց փակագծերի) գրանցման հետ, որը վերաբերում է մոդուլո գործողությանը ( $b$ -ն $n$ -ի բաժանման մնացորդին)։ $b\ mod\ n$ -ը արտահայտում է այն եզակի $r$ ամբողջ թիվը, որի համար ճիշտ են $0\leq r<n$ և $r\cong b(modn)$ պնդումները։

Կոնգրուենտ հարաբերությունը կարելի է ներկայացնել որպես.

a=kn+b

,

բացահայտ ցուցադրելով Էվկլիդեսյան բաժանման հետ զուգահեռները։ Մեզ անհրաժեշտ չէ, որպեսզի $b$ -ն լինի $n$ -ով $a$ -ի բաժանման մնացորդը։ Փոխարենը, $a\cong b(mod\ n)$ պնդում է, որ $n$ -ով բաժանելիս $a$ -ն ու $b$ -ն նույն մնացորդն ունեն․

a=pn+r

b=qn+r

,

որտեղ $0\leq r<n$ -ը ընդհանուր մնացորդն է։ Երկու հավասարումներն իրարից հանելուվ կարող են վերականգնել սկզբնական հարաբերությունը․ $a-b=kn$ , որտեղ $k=p-1$ ։

Մոդուլո $n$ կոնգրուենցիան կոնգրուենտ հարաբերություն է․ կոնգրուենցիան էկվիվալենտ հարաբերություն է և համադրելի է գումարման, հանման ու բազմապատկման գործողությունների հետ։

Օրինակներ

Մոդուլուս 12 համակարգում կարող ենք պնդել, որ $38\cong 14(mod\ 12)$ , քանի որ $38-14$ տարբերությունը հավասար է $24=2\times 12$ . $12$ -ի բազմապատիկ է։ Համապատասխանաբար, $12$ -ով բաժանելիս $38$ -ն ու $14$ -ը նույն մնացորդն ունեն։

Կոնգրուենցիայի սահմանումն աշխատում է նաև բացասական արժեքների համար։ Օրինակ․

{\begin{aligned}2\cong -3{\pmod {5}}\\-8\cong 7{\pmod {5}}\\-3\cong -8{\pmod {5}}\end{aligned}}

Հատկություններ

Հիմնարար հատկություններ

Կոնգրուենտ հարաբերությունը պետք է բավարարի էկվիվալենտ հարաբերության բոլոր պայմանները․

Ռեֆլեքսիվություն․ $a\cong a(mod\ n)$

Համաչափություն $a\cong b(mod\ n)$ եթե $b\cong a(mod\ n)$

Անցողականություն․ եթե $a\cong b(mod\ n)$ և $b\cong c(mod\ n)$ , ապա $a\cong c(mod\ b)$

Եթե $a_{1}\cong b_{1}(mod\ n)$ և $a_{2}\cong b_{2}(mod\ n)$ , կամ եթե $a\cong b(mod\ n)$ , ապա^[1].

$a+k\cong b+k(mod\ n)$ , ցանկացած $k\in \mathbb {Z}$ -ի համար (տռանսլյացիայի հետ համադրելիություն)
$ka\cong kb(mod\ n)$ ցանկացած $k\in \mathbb {Z}$ -ի համար (մասշտաբի հետ համադրելիություն)
$ka\cong kb(mod\ kn)$ ցանկացած $k\neq 0\in \mathbb {Z}$ -ի համար
$a_{1}+a_{2}\cong b_{1}+b_{2}(mod\ n)$ (գումարման հետ համադրելիություն)
$a_{1}-a_{2}\cong b_{1}-b_{2}(mod\ n)$ (հանման հետ համադրելիություն)
$a_{1}\times a_{2}\cong b_{1}\times b_{2}(mod\ n)$ (բազմապատկման հետ համադրելիություն)
$a^{k}\cong b^{k}(mod\ n)$ ցանկացած ոչ-բացասական $k\in \mathbb {Z}$ -ի համար (ցուցիչի հետ համադրելիություն)
$p(a)=p(b)\ (mod\ n)$ ցանկացած ամբողջ թվերով գործակիցներով $p(k)$ բազմանդամի համար (համադրելիություն բազմանդամի գնահատման հետ)։

Մոդուլար բազմապատիկ հակադարձը սահմանվում է հետևյալ կանոններով․

Գոյություն․ $a^{-1}$ գրառմամբ նշանակվող ամբողջ թիվը, որի համար ճիշտ է $aa^{-1}\cong 1(mod\ n)$ պնդումը, գոյություն ունի միայն և միայն այն դեպքում, եթե $a$ -ը փոխադարձ պարզ է $n$ -ին։ Այդ $a^{-1}$ ամբողջ թիվը կոչվում է $a$ -ի մոդուլո $n$ մոդուլար բազապատիկ հակադարձ։

Եթե $a\cong b(mod\ n)$ և $a^{-1}$ -ը գոյություն ունի, ապա $a^{-1}=b^{-1}(mod\ n)$ (համադրելիություն բազմապատիկ հակադարձի հետ, և, եթե $a=b$ , մոդուլո $n$ եզակիություն)։

Եթե $ax\cong b(mod\ n)$ և $a$ -ն փոխադարձ պարզ է $n$ -ին, ապա այս գծային կոնգրուենցիայի լուծումը տրված է $x\cong a^{-1}b(mod\ n)$ հավասարմամբ։

$x\cong a^{-1}(mod\ n)$ բազմապատիկ համադարձը գտնելու արդյունավետ տարբերակ է Բեզուի հավասարումը՝ $ax+ny=1$ , $x$ -ի և $y$ -ի համար լուծելը։ Այն կարելի է լուծել Էվկլիդեսի ընդարձակված ալգորիթմով։

Մասնավորապես․ եթե $p$ -ն պարզ թիվ է, ապա $a$ -ն $p$ -ի հետ փոխադարձ պարզ է ցանկացած $0<a<p$ -ի համար։ Այսպիսով բազապատիկ հակադարձ գոյություն ունի բոլոր այն $a$ -երի համար, որոնք $p$ մոդուլոյով զրոյին կոնգրուենտ չեն։

Մնացորդային համակարգեր

Յուրաքանչյուն մոդուլո $n$ մնացորդային դասակարգը կարելի է ներկայացնել իր կամայական անդամով։ Սովորաբար այն ներկայացնում ենք այն փոքրագույն ոչ-բացասական ամբողջ թվով որը դասակարգի անդամ է^[2], (սա կլինի բաժանման արդյունքում ստացված մնացորդը)։ Տարբեր դասակարգերի կայական անդամներ իրար մոդուլո $n$ ինկոնգրուենտ են։ Ավելին․ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ պատկանում է միայն մի մոդուլո $n$ մնացորդային դասակարգի^[3]։

Ծանոթագրություններ

↑ Սանդոր Լեհոսկի; Ռիչարդ Ռուսկի (2006). Դեյվիդ Պատրիկ (ed.). Խնդիրներ լուծելու արվեստը (անգլերեն). Vol. 1 (7 ed.). AoPS Incorporated. էջ 44. ISBN 0977304566.
↑ Վեյսշտայն, Էրիկ. «Մոդուլար հանրահաշիվ». mathworld.wolfram.com (անգլերեն). Վերցված է 2020 թվականի օգոստոսի 12-ին.
↑ Pettofrezzo & Byrkit (1970, էջ. 90)

[1] Սանդոր Լեհոսկի; Ռիչարդ Ռուսկի (2006). Դեյվիդ Պատրիկ (ed.). Խնդիրներ լուծելու արվեստը (անգլերեն). Vol. 1 (7 ed.). AoPS Incorporated. էջ 44. ISBN 0977304566.

[2] Վեյսշտայն, Էրիկ. «Մոդուլար հանրահաշիվ». mathworld.wolfram.com (անգլերեն). Վերցված է 2020 թվականի օգոստոսի 12-ին.

[3] Pettofrezzo & Byrkit (1970, էջ. 90)

[1]

[2]

[3]

@@ Տող 43. / Տող 43. @@
 === Հիմնարար հատկություններ ===
-<!--
+Կոնգրուենտ հարաբերությունը պետք է բավարարի էկվիվալենտ հարաբերության բոլոր պայմանները․
-{{anchor|Properties}}
-The congruence relation satisfies all the conditions of an [[equivalence relation]]:
-* Reflexivity: {{math|''a'' ≡ ''a'' (mod ''n'')}}
+* Ռեֆլեքսիվություն․ <math> a \cong a (mod \ n) </math>
-* Symmetry: {{math|''a'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}} if {{math|''b'' ≡ ''a'' (mod ''n'')}}.
-* Transitivity: If {{math|''a'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}} and {{math|''b'' ≡ ''c'' (mod ''n'')}}, then {{math|''a'' ≡ ''c'' (mod ''n'')}}
+* Համաչափություն <math> a \cong b (mod \ n) </math> եթե <math> b \cong a (mod \ n) </math>
+* Անցողականություն․ եթե <math> a \cong b (mod \ n) </math> և <math> b \cong c (mod \ n) </math>, ապա <math> a \cong c (mod \ b) </math>
--->
 Եթե <math> a_1 \cong b_1 (mod \ n) </math> և <math> a_2 \cong b_2 (mod \ n) </math>, կամ եթե <math> a \cong b (mod \ n) </math>, ապա<ref>{{cite book
 |author1 = Սանդոր Լեհոսկի
@@ Տող 65. / Տող 65. @@
 |publisher = AoPS Incorporated
 }}</ref>.
-* <math> a + k = b + k (mod \ n) </math>, ցանկացած <math> k \in \mathbb{Z} </math>-ի համար
+* <math> a + k \cong b + k (mod \ n) </math>, ցանկացած <math> k \in \mathbb{Z} </math>-ի համար (տռանսլյացիայի հետ համադրելիություն)
+* <math> ka \cong kb (mod \ n) </math> ցանկացած <math> k \in \mathbb{Z} </math>-ի համար (մասշտաբի հետ համադրելիություն)
-<!--
+* <math> ka \cong kb (mod \ kn) </math> ցանկացած <math> k \neq 0 \in \mathbb{Z} </math>-ի համար
-(compatibility with translation)
+* <math> a_1 + a_2 \cong b_1 + b_2 (mod \ n) </math> (գումարման հետ համադրելիություն)
-* {{math|''k a'' ≡ ''k b'' (mod ''n'')}} for any integer {{math|''k''}} (compatibility with scaling)
+* <math> a_1 - a_2 \cong b_1 - b_2 (mod \ n) </math> (հանման հետ համադրելիություն)
-* {{math|''k a'' ≡ ''k b'' (mod ''kn'')}} for any integer {{math|''k''}}
+* <math> a_1 \times a_2 \cong b_1 \times b_2 (mod \ n) </math> (բազմապատկման հետ համադրելիություն)
-* {{math|''a''<sub>1</sub> + ''a''<sub>2</sub> ≡ ''b''<sub>1</sub> + ''b''<sub>2</sub> (mod ''n'')}} (compatibility with addition)
+* <math> a^k \cong b^k (mod \ n) </math> ցանկացած ոչ-բացասական <math> k \in \mathbb{Z} </math>-ի համար (ցուցիչի հետ համադրելիություն)
-* {{math|''a''<sub>1</sub> − ''a''<sub>2</sub> ≡ ''b''<sub>1</sub> − ''b''<sub>2</sub> (mod ''n'')}} (compatibility with subtraction)
+* <math> p(a) = p(b) \ (mod \ n ) </math> ցանկացած ամբողջ թվերով գործակիցներով <math> p(k) </math> [[բազմանդամ]]ի համար (համադրելիություն բազմանդամի գնահատման հետ)։
-* {{math|''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ≡ ''b''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub> (mod ''n'')}} (compatibility with multiplication)
-* {{math|''a''<sup>''k''</sup> ≡ ''b''<sup>''k''</sup> (mod ''n'')}} for any non-negative integer {{math|''k''}} (compatibility with exponentiation)
-* {{math|''p''(''a'') ≡ ''p''(''b'') (mod ''n'')}}, for any [[polynomial]] {{math|''p''(''x'')}} with integer coefficients (compatibility with polynomial evaluation)
+<!--
 If {{math|''a'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}}, then it is generally false that {{math|''k<sup>a</sup>'' ≡ ''k<sup>b</sup>'' (mod ''n'')}}. However, the following is true:
 * If {{math|''c'' ≡ ''d'' (mod ''φ''(''n'')),}} where {{math|''φ''}} is [[Euler's totient function]], then {{math|''a''<sup>''c''</sup> ≡ ''a''<sup>''d''</sup> (mod ''n'')}}—provided that {{math|''a''}} is [[coprime]] with {{math|''n''}}.
@@ Տող 86. / Տող 85. @@
 The last rule can be used to move modular arithmetic into division. If {{math|''b''}} divides {{math|''a''}}, then {{math|1=(''a''/''b'') mod ''n'' = (''a'' mod ''bn'') / ''b''}}.
+-->
-The [[modular multiplicative inverse]] is defined by the following rules:
+[[Մոդուլար բազմապատիկ հակադարձ]]ը սահմանվում է հետևյալ կանոններով․
-* Existence: There exists an integer denoted {{math|''a''<sup>−1</sup>}} such that {{math|''aa''<sup>−1</sup> ≡ 1 (mod ''n'')}} if and only if {{math|''a''}} is coprime with {{math|''n''}}. This integer {{math|''a''<sup>−1</sup>}} is called a ''modular multiplicative inverse'' of {{mvar|a}} modulo {{math|''n''}}.
-* If {{math|''a'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}} and {{math|''a''<sup>−1</sup>}} exists, then {{math|''a''<sup>−1</sup> ≡ ''b''<sup>−1</sup> (mod ''n'')}} (compatibility with multiplicative inverse, and, if {{math|1=''a'' = ''b''}}, uniqueness modulo {{math|''n''}}).
-* If {{math|''ax'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}} and {{math|''a''}} is coprime to {{math|''n''}}, then the solution to this linear congruence is given by {{math|''x'' ≡ ''a''<sup>−1</sup>''b'' (mod ''n'')}}.
+* Գոյություն․ <math> a^{-1} </math> գրառմամբ նշանակվող ամբողջ թիվը, որի համար ճիշտ է <math> a a^{-1} \cong 1 (mod \ n) </math> պնդումը, գոյություն ունի միայն և միայն այն դեպքում, եթե <math> a </math>-ը [[փոխադարձ պարզ թվեր|փոխադարձ պարզ]] է <math> n </math>-ին։ Այդ <math> a^{-1} </math> ամբողջ թիվը կոչվում է <math> a </math>-ի մոդուլո <math> n </math> ''մոդուլար բազապատիկ հակադարձ''։
-The multiplicative inverse {{math|''x'' ≡ ''a''<sup>−1</sup> (mod ''n'')}}  may be efficiently computed by solving [[Bézout's identity|Bézout's equation]] {{math|1=''ax'' + ''ny'' = 1}} for {{math|''x''}}, {{math|''y''}} – using the [[Extended Euclidean algorithm]].
+* Եթե <math> a \cong b (mod \ n) </math> և <math> a^{-1} </math>-ը գոյություն ունի, ապա <math> a^{-1} = b^{-1} (mod \ n) </math> (համադրելիություն բազմապատիկ հակադարձի հետ, և, եթե <math> a = b </math>, մոդուլո <math> n </math> եզակիություն)։
-In particular, if {{math|''p''}} is a prime number, then {{math|''a''}} is coprime with {{math|''p''}} for every {{math|''a''}} such that {{math|0 < ''a'' < ''p''}}; thus a multiplicative inverse exists for all {{math|''a''}} that is not congruent to zero modulo {{math|''p''}}.
--->
+* Եթե <math> ax \cong b (mod \ n) </math> և <math> a </math>-ն փոխադարձ պարզ է <math> n </math>-ին, ապա այս գծային կոնգրուենցիայի լուծումը տրված է <math> x \cong a^{-1} b (mod \ n) </math> հավասարմամբ։
+<math> x \cong a^{-1} (mod \ n) </math> բազմապատիկ համադարձը գտնելու արդյունավետ տարբերակ է [[Բեզուի հավասարում]]ը՝ <math> ax + ny = 1 </math>, <math> x </math>-ի և <math> y </math>-ի համար լուծելը։ Այն կարելի է լուծել [[Էվկլիդեսի ընդարձակված ալգորիթմ]]ով։
+Մասնավորապես․ եթե <math> p </math>-ն [[պարզ թիվ]] է, ապա <math> a </math>-ն <math> p </math>-ի հետ փոխադարձ պարզ է ցանկացած <math> 0 < a < p </math>-ի համար։ Այսպիսով բազապատիկ հակադարձ գոյություն ունի բոլոր այն <math> a </math>-երի համար, որոնք <math> p </math> մոդուլոյով զրոյին կոնգրուենտ չեն։
 == Մնացորդային համակարգեր ==