Connessione (matematica): differenze tra le versioni
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Una '''connessione''' su ''E'' è una applicazione <math>\mathbb{R}</math>-[[Trasformazione lineare|lineare]]
:<math>\nabla
tale che la [[regola di Leibniz]]
:<math>\nabla(\sigma f) = (\nabla\sigma)f + \sigma\otimes df</math>
sia soddisfatta per ogni funzione differenziabile ''f'' su ''M'' e per ogni [[Fibrato|sezione]] differenziabile σ di ''E''.
Per ogni campo vettoriale ''X'' sopra ''M'' (
:<math>\nabla_X
per [[Contrazione di un tensore|contrazione]] di ''X'' con l'omomorfismo definito dall'operatore ∇ (i.e., ∇<sub>''X''</sub>σ = (∇σ)(''X'')). La derivata covariante soddisfa le seguenti proprietà:▼
▲per [[Contrazione di un tensore|contrazione]] di ''X'' con l'omomorfismo definito dall'operatore ∇ (
:<math>\begin{align}&\nabla_X(\sigma_1 + \sigma_2) = \nabla_X\sigma_1 + \nabla_X\sigma_2\\
&\nabla_{X_1 + X_2}\sigma = \nabla_{X_1}\sigma + \nabla_{X_2}\sigma\\
&\nabla_{X}(f\sigma) = f\nabla_X\sigma + X(f)\sigma\\
&\nabla_{fX}\sigma = f\nabla_X\sigma.\end{align}</math>
Viceversa, ogni operatore ∇<sub>''X''</sub> di questo tipo definisce una connessione sopra il fibrato vettoriale ''E''. Una connessione definita in questo modo si dice anche una '''derivata covariante''' su ''E''.
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Sia ''M'' una varietà differenziabile. Siano dati un fibrato vettoriale ''E''→''M'' con derivata covariante ∇ e una [[Curva (matematica)|curva]] [[Funzione differenziabile|differenziabile]] ''γ'': ''I''→''M'' parametrizzata da un intervallo aperto ''I''. Una sezione differenziabile σ di <math>E</math> definita sopra ''γ'' si dice '''parallela''' se è soddisfatta l'equazione:
:<math>\nabla_{\dot\gamma(t)}\sigma=0, \qquad\text{ per ogni }t \in I.
Si supponga di fissare un punto ''e''<sub>0</sub> ∈ ''E''<sub>''P''</sub> della fibra sopra il punto ''P'' = ''γ''(0) ∈ ''M'', invece di una sezione. Il '''trasporto parallelo''' del [[Vettore (matematica)|vettore]] ''e''<sub>0</sub> lungo la curva differenziabile ''γ'' è l'estensione di ''e''<sub>0</sub> alla ''sezione'' parallela ''σ'' sopra la curva ''γ''. Più precisamente, ''σ'' è definita come l'unica sezione (locale) del fibrato ''E'' lungo ''γ'' tale che
#<math>\nabla_{\dot{\gamma}} \sigma = 0</math>
#<math>\sigma_{\gamma(0)} = e_0.</math>
Si noti che in ogni [[sistema di coordinate]] locali, l'espressione (1) definisce una [[equazione differenziale ordinaria]], con la condizione iniziale data dalla (2). Pertanto, il [[Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy|teorema di Picard–Lindelöf]] garantisce (almeno localmente) l'esistenza e l'unicità della soluzione.
Dunque, la connessione ∇ definisce un modo di trasportare vettori tra fibre connesse da una curva differenziabile, stabilendo un [[isomorfismo]] [[Trasformazione lineare|lineare]] tra fibre (
:<math>\Gamma(\gamma)_s^t
dallo [[spazio vettoriale]] sopra il punto γ(''s'') a quello sopra γ(''t''). Questo isomorfismo è noto col nome di '''trasporto parallelo''' associato alla curva differenziabile data. L'isomorfismo tra fibre ottenuto in questo modo in generale dipende dalla scelta della curva differenziabile: se ciò non accade, allora il trasporto parallelo lungo curve arbitrarie può essere usato per definire le sezioni parallele di ''E'' su tutto ''M''. Questo è possibile soltanto se la curvatura della connessione ∇ risulta identicamente nulla.▼
▲dallo [[spazio vettoriale]] sopra il punto γ(''s'') a quello sopra γ(''t'').
== Note ==
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==Voci correlate==
*[[Connessione di Levi Civita]]
*[[Connessione spinoriale]]
*[[Spazio tangente]]
==
{{interprogetto}}
{{Controllo di autorità}}
{{portale|matematica}}
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