Connessione (matematica): differenze tra le versioni

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Riga 1: {{nota disambigua\|la nozione [[topologia\|topologica]] di connessione\|[[Spazio connesso]]\|nocat=1}} [[File:Parallel transport sphere.svg\|thumb~~\|right\|200px~~\|Una connessione sulla sfera permette di "far scivolare" il piano tangente ad un punto lungo una curva. La curva (qui in viola) corrisponde ad una curva (in rosso) nel piano tangente, tramite la [[mappa esponenziale]].]]▼ ~~{{F\|matematica\|dicembre 2010}}~~ In [[matematica]], una '''connessione''' è uno strumento centrale della [[geometria differenziale]]. Si tratta di un oggetto matematico che "connette" ~~gli~~ [[spazio tangente\|spazi tangenti]] ~~appartenenti a~~in punti diversi di una [[varietà differenziabile]]. ▼ ▲[[File:Parallel transport sphere.svg\|thumb\|right\|200px\|Una connessione sulla sfera permette di "far scivolare" il piano tangente ad un punto lungo una curva. La curva (qui in viola) corrisponde ad una curva (in rosso) nel piano tangente, tramite la [[mappa esponenziale]].]] ▲In [[matematica]], una '''connessione''' è uno strumento centrale della [[geometria differenziale]]. Si tratta di un oggetto matematico che "connette" gli [[spazio tangente\|spazi tangenti]] appartenenti a punti diversi di una [[varietà differenziabile]]. Tale connessione tra i due spazi tangenti è effettuata sulla base di una [[curva (matematica)\|curva]] che li collega. Intuitivamente, la connessione definisce un modo di far "scivolare" lo spazio tangente lungo la curva. Questa operazione di scivolamento è chiamata '''trasporto parallelo'''. Line 10 ⟶ 9: Una connessione su una [[varietà differenziabile]] è generalmente introdotta definendo un oggetto differenziale, chiamato [[derivata covariante]]. Concettualmente, connessione e derivata covariante sono quindi essenzialmente la stessa cosa. Una connessione può essere definita in modo analogo per qualsiasi [[fibrato vettoriale]] sulla varietà, oltre al [[fibrato tangente]].<ref>{{Cita libro \| autore=G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini\| titolo=Lezioni di geometria differenziale \| editore=Bollati Boringhieri \| anno=1995 \|città= Torino\| ~~pagine=~~p. =126}} </ref> Infatti, sia ''E'' ~~→~~→ ''M'' un [[fibrato vettoriale]] sopra la [[varietà differenziabile]] ''M'' e si denoti con ~~Γ~~Γ(''E'') l'insieme delle [[Fibrato\|sezioni]] differenziabili di ''E''. Una '''connessione''' su ''E'' è una applicazione <math>\mathbb{R}</math>-[[Trasformazione lineare\|lineare]]▼ :<math>\nabla :\colon \Gamma(E) \to \Gamma(E\otimes T^M)\simeq \Gamma({\mathrm {Hom}}(TM,E))</math>▼ tale che la [[regola di Leibniz]]▼ ▲Una '''connessione''' su ''E'' è una applicazione <math>\mathbb{R}</math>-[[lineare]] ▲:<math>\nabla : \Gamma(E) \to \Gamma(E\otimes T^M)\simeq \Gamma({\mathrm {Hom}}(TM,E))</math> ▲tale che la regola di Leibniz :<math>\nabla(\sigma f) = (\nabla\sigma)f + \sigma\otimes df</math> ~~sia soddisfatta per ogni funzione differenziabile ''f'' su ''M'' e per ogni sezione differenziabile σ di ''E''.~~ ~~Per~~sia soddisfatta per ogni ~~campo~~funzione ~~vettoriale~~differenziabile ''Xf'' ~~sopra~~su ''M'' ~~(i.~~e., per ogni [[Fibrato\|sezione]] ~~del~~differenziabile ~~fibrato~~σ ~~tangente~~di ''~~TM''), si può definire una '''derivata covariante'~~E''. :<math>\nabla_X : \Gamma(E) \to \Gamma(E)</math>▼ Per ogni campo vettoriale ''X'' sopra ''M'' (ossia per ogni sezione del fibrato tangente ''TM''), si può definire una '''derivata covariante''' per [[Contrazione di un tensore\|contrazione]] di ''X'' con l'omomorfismo definito dall'operatore ∇ (i.e., ∇<sub>''X''</sub>σ = (∇σ)(''X'')). La derivativa covariante soddisfa le seguenti proprietà:▼ ▲:<math>\nabla_X :\colon \Gamma(E) \to \Gamma(E)</math> ▲per [[Contrazione di un tensore\|contrazione]] di ''X'' con l'omomorfismo definito dall'operatore ~~∇~~∇ (~~i.e.,~~ossia ~~∇~~∇<sub>''X''</sub>~~σ~~σ = (~~∇σ~~∇σ)(''X'')). La ~~derivativa~~derivata covariante soddisfa le seguenti proprietà: :<math>\begin{align}&\nabla_X(\sigma_1 + \sigma_2) = \nabla_X\sigma_1 + \nabla_X\sigma_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}\sigma = \nabla_{X_1}\sigma + \nabla_{X_2}\sigma\\ &\nabla_{X}(f\sigma) = f\nabla_X\sigma + X(f)\sigma\\ &\nabla_{fX}\sigma = f\nabla_X\sigma.\end{align}</math> Viceversa, ogni operatore ~~∇~~∇<sub>''X''</sub> di questo tipo definisce una connessione sopra il fibrato vettoriale ''E''. Una connessione definita in questo modo si dice anche una '''derivata covariante''' su ''E''. ==Trasporto parallelo su un fibrato vettoriale== Sia ''M'' una varietà differenziabile. Siano dati un fibrato vettoriale ''E''~~→~~→''M'' con derivata covariante ~~∇~~∇ e una [[Curva (matematica)\|curva]] [[Funzione differenziabile\|differenziabile]] ''~~γ~~γ'': ''I''~~→~~→''M'' parametrizzata da un intervallo aperto ''I''. Una sezione differenziabile ~~σ~~σ di <math>E</math> definita sopra ''~~γ~~γ'' si dice '''parallela''' se è ~~soddisftatta~~soddisfatta l'equazione: :<math>\nabla_{\dot\gamma(t)}\sigma=0, \qquad\text{ per ogni }t \in I.\,</math> Si supponga di fissare un punto ''e''<sub>0</sub> ~~∈~~∈ ''E''<sub>''P''</sub> della fibra sopra il punto ''P'' = ''~~γ~~γ''(0) ~~∈~~∈ ''M'', invece di una sezione. Il '''trasporto parallelo''' del [[Vettore (matematica)\|vettore]] ''e''<sub>0</sub> lungo la curva differenziabile ''~~γ~~γ'' è l'estensione di ''e''<sub>0</sub> alla ''sezione'' parallela ''~~σ~~σ'' sopra la curva ''~~γ~~γ''. Più precisamente, ''σ'' è definita come l'unica sezione (locale) del fibrato ''E'' lungo ''γ'' tale che ~~Più precisamente, ''σ'' è definita come l'unica sezione (locale) del fibrato ''E'' lungo ''γ'' tale che~~ #<math>\nabla_{\dot{\gamma}} \sigma = 0</math> #<math>\sigma_{\gamma(0)} = e_0.</math> Si noti che in ogni [[sistema di coordinate]] locali, l'espressione (1) definisce una [[equazione differenziale ordinaria]], con la condizione iniziale data dalla (2). Pertanto, il [[Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy\|teorema di Picard–Lindelöf]] garantisce (almeno localmente) l'esistenza e l'unicità della soluzione. Dunque, la connessione ~~∇~~∇ definisce un modo di trasportare vettori tra fibre connesse da una curva differenziabile, stabilendo un [[isomorfismo]] [[Trasformazione lineare\|lineare]] tra fibre (~~i.e.,~~ossia tra spazi vettoriali) sopra punti distinti di una medesima curva: :<math>\Gamma(\gamma)_s^t : E_{\gamma(s)} \rightarrow E_{\gamma(t)}</math>▼ ~~dallo spazio vettoriale sopra il punto γ(''s'') a quello sopra γ(''t''). Questo isomorfismo è noto col nome di '''trasporto parallelo''' associato alla curva differenziabile data.~~ ▲:<math>\Gamma(\gamma)_s^t :\colon E_{\gamma(s)} \rightarrow E_{\gamma(t)}</math> == Connessione di Levi-Civita ==▼ Una varietà differenziabile può essere dotata di molte connessioni, che possono avere comportamenti molto differenti. Una [[varietà riemanniana]] ha però una connessione ''canonica'', chiamata [[connessione di Levi-Civita]]. Questo accade ad esempio per ogni [[superficie (matematica)\|superficie]] contenuta nello spazio tridimensionale. [[File:Connection-on-sphere.png\|thumb\|left\|Una superficie nello spazio, come ad esempio una [[sfera]], è in modo naturale una [[varietà riemanniana]] ed ha quindi una connessione (di Levi-Civita). Qui è mostrato il trasporto parallelo lungo tre curve.]] dallo [[spazio vettoriale]] sopra il punto γ(''s'') a quello sopra γ(''t''). Questo isomorfismo è noto col nome di '''trasporto parallelo''' associato alla curva differenziabile data. L'isomorfismo tra fibre ottenuto in questo modo in generale dipende dalla scelta della curva differenziabile: se ciò non accade, allora il trasporto parallelo lungo curve arbitrarie può essere usato per definire le sezioni parallele di ''E'' su tutto ''M''. Questo è possibile soltanto se la curvatura della connessione ∇ risulta identicamente nulla. == Note == Line 55 ⟶ 57: == Bibliografia == {{Cita libro \| autore=Edoardo Sernesi\| titolo=Geometria 2 \| editore=Bollati Boringhieri \| anno=1994 \|città= Torino\| idisbn= ~~ISBN~~ 978-88-339-5548-3}} {{Cita libro \| autore=G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini\| titolo=Lezioni di geometria differenziale \| editore=Bollati Boringhieri \| anno=1995 \|città= Torino\| idisbn= ~~ISBN~~ 978-88-339-5556-8}} {{cita libro \| autore = Shoshichi Kobayashi \| coautori = Katsumi Nomizu \| titolo = Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 \| editore=Wiley-Interscience \| anno=1996 (Nuova edizione) \| isbn=0-471-15733-3 \| lingua=en }} {{Cita libro\|autore = [[Michael Spivak]] \|titolo=A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Vol. 2)\|editore=Publish or Perish, Inc., Houston\|anno=1999\|lingua=en}} ==Voci correlate== ▲== [[Connessione di Levi- Civita ==]] [[Connessione spinoriale]] *[[Spazio tangente]] == Altri progetti == {{interprogetto}} {{Controllo di autorità}} {{portale\|matematica}} [[Categoria:Geometria differenziale]] [[Categoria:Operatori lineari]] [[Categoria:Topologia differenziale]]