Spaziotempo di Schwarzschild: differenze tra le versioni
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Lo '''spaziotempo di Schwarzschild''' o '''metrica di Schwarzschild''' è una soluzione delle [[Equazione di campo di Einstein|equazioni di campo di Einstein]] nel vuoto che descrive lo [[spaziotempo]] attorno a una massa a simmetria sferica, [[Rotazione|non rotante]] e priva di [[carica elettrica]]. È stata la prima soluzione esatta trovata per la [[relatività generale]],<ref>Karl Schwarzschild, ''On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory'', Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) 1916 (1916), pagg. 424-434.</ref> proposta da [[Karl Schwarzschild]] pochi mesi dopo la pubblicazione della teoria.<ref>Albert Einstein, ''Zur allgemeinen Relativitatstheorie'', Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (1915) 778, Addendum-ibid. (1915) 799.</ref>
[[File:Karl schwarzschild.jpg|thumb|Karl Schwarzschild]]
Matematicamente, rappresenta la geometria di uno spazio-tempo statico e a simmetria sferica. Anzi, come dimostrato dal teorema di [[George David Birkhoff|Birkhoff]],<ref>George David Birkhoff, ''Relativity and Modern Physics'', Cambrigdge 1923, MA: Harvard University Press. LCCN 23008297</ref> la staticità è una conseguenza della simmetria sferica e quella di Schwarzschild è la soluzione più generale che soddisfa queste due richieste.
Benché sia un'approssimazione (praticamente tutti i corpi celesti ruotano, Sole compreso), trova vaste applicazioni. I moti planetari attorno al Sole, ad esempio, che nella [[forza di gravità|teoria della gravitazione]] [[Isaac Newton|newtoniana]] erano descritti<ref group="N">In prima approssimazione, trascurando l'attrazione fra pianeti.{{cn}}</ref> come moti in un campo di [[Forza centrale|forze centrali]], per cui erano valide le leggi di [[Johannes Kepler|Keplero]], sono descritti dalla relatività generale come moti di [[massa di prova|masse di prova]] (ossia [[geodetica|moti geodetici]]) nello spazio-tempo di Schwarzschild. In particolare, se nella teoria kepleriana le orbite dei pianeti erano ellissi, in quella relativistica sono ''rosette'' (per approfondire si veda oltre) ed esibiscono una precessione dell'asse dell'orbita, che era stata osservata già tra il '700 e l '800 e non era spiegabile nel quadro newtoniano. In particolare i calcoli di [[Urbain Le Verrier|Le Verrier]], lo scopritore teorico, insieme con [[John Couch Adams|Adams]], del pianeta Nettuno, sfruttando la teoria delle perturbazioni secolari, riuscivano a spiegare quasi tutta la precessione osservata, tranne un residuo di meno di 50 secondi d'arco per secolo per il pianeta Mercurio. Il calcolo esatto permesso dalla soluzione di Schwarzschild per l'angolo di precessione di [[Mercurio (astronomia)|Mercurio]]
La soluzione di Schwarzschild è anche all'origine di una delle idee della fisica che più fortemente hanno stimolato l'immaginario collettivo, prestandosi spesso a speculazioni fantascientifiche: il [[buco nero]]. Come sarà mostrato meglio in seguito, se il corpo sorgente del campo gravitazionale è abbastanza denso, la soluzione di Schwarzschild prevede che attorno alla sorgente, a una distanza nota come [[raggio di Schwarzschild]], esista una superficie ideale, detta [[orizzonte degli eventi]] che divide lo spazio-tempo in due regioni non connesse causalmente,<ref group="N">In breve ciò vuol dire che gli osservatori di una regione non possono in alcun modo vedere quello avviene nell'altra. Si veda la bibliografia, con particolare riferimento a S.W. Hawking.{{cn}}</ref> e che funziona come una membrana unidirezionale: tutto può entrare ma niente può uscire.<ref group="N">Se si tiene conto di effetti quantistici, questa affermazione non è del tutto vera, si veda [[radiazione di Hawking]].{{cn}}</ref>
In particolare neppure la [[onda elettromagnetica|luce]], una volta entrata nel volume racchiuso dall'orizzonte degli eventi, non potrà più allontanarsene, e continuerà inesorabilmente a orbitare, inanellando giri attorno alla massa centrale. Poiché la luce non riesce a sfuggire dall'oggetto, [[John Archibald Wheeler]], in un'intervista del 1968, per farsi capire dal giornalista, si espresse con un paragone: se l'oggetto si trovasse a passare davanti allo sfondo pieno di stelle della nostra galassia, l'osservatore sulla Terra non potrebbe vedere l'astro, ma vedrebbe nella sua posizione un "buco nero" rispetto allo sfondo luminoso. Da allora venne adottato questo termine, mentre il termine preciso è singolarità gravitazionale.
== Generalità ==
Se si introducono coordinate locali sferiche, e una coordinata temporale, la metrica si scrive<ref>{{Cita web|url=https://sites.google.com/site/pianetagalileo/Home/elenco-argomenti-4/einstein.pdf|titolo=Considerazioni sul campo gravitazionale statico a simmetria centrale.|autore=A. Urso|editore=|data=|accesso=|urlmorto=sì}}</ref> (si usa qui una metrica di [[Segnatura (algebra lineare)|segnatura]] (1,3), ossia (+-
:<math>ds^2=\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2-\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1}dr^2-r^2d\theta^2-r^2\sin^2\theta d\phi^2,</math>
ove con <math>M</math> si indica la massa della sorgente, con <math>G</math> la [[costante di gravitazione universale]] e con <math>c</math> la [[velocità della luce]]. Si noti che per <math>M\to0</math>,
{{chiarire|Si noti che per la sorgente si è unicamente imposto che sia una sfera simmetrica, ma non che sia statica: perciò, ci si può attendere una radiazione gravitazionale (piccola rispetto all'energia emessa in altre forme) anche dall'esplosione di una [[supernova]], che (muovendosi ad alta velocità) è ancora assimilabile ad una sfera simmetrica. Il medesimo risultato si ottiene nell'elettromagnetismo, in cui il [[campo elettromagnetico]] intorno ad una distribuzione di cariche-sorgenti di forma sferica non dipende dalla distribuzione radiale delle cariche.|la soluzione di Schwarzschild è nel vuoto, quindi parlare in questo modo di "sorgenti" è scorretto}}
La scelta delle coordinate sferiche appare la più naturale, viste le simmetrie del problema, ma
La metrica espressa in coordinate sferiche
Per la precisione la <math>t</math>-invarianza comporta un'invarianza per traslazioni temporali,
È possibile scrivere la metrica in forma matriciale:
:<math>g_{
0 & 0 & -r^2 &0\\
0 & 0 & 0 &-r^2\sin^2\theta
Essa è singolare nei punti ove è [[Determinante (algebra)|singolare]] la matrice <math> g_{
*<math>\displaystyle{1-\frac{2GM}{c^2r}=0 \iff r=\frac{2GM}{c^2}};</math>
*<math>\displaystyle{r=0}.</math>
Nel primo caso la singolarità è ''eliminabile'' cambiando coordinate (passando ad esempio alle coordinate di Kruskal, si veda oltre). Il valore <math>r=
== Soluzione ==
La soluzione dell'equazione di campo di Einstein nel vuoto <math>R_{\mu \nu} = 0</math> per la metrica, nelle sue componenti <math>g_{\mu \nu}</math>, parte sfruttando le condizioni poste sul problema. Consideriamo di poter scegliere un [[sistema di coordinate]] <math>x^{\mu} = (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})</math> in cui la coordinata <math>x^{0}</math> corrisponda alla coordinata temporale <math>t</math>, mentre le coordinate <math>x^{i}</math> siano le coordinate spaziali cartesiane. A questo punto sfruttando la simmetria sferica del problema le coordinate spaziali soddisfano l'[[Rotazione|invarianza rotazionale]]:
<math>\begin{align}
(d \vec{x})^{2} & = (dx^{1})^{2} +(dx^{2})^{2} + (dx^{3})^{2} \\
\vec{x} \cdot d\vec{x} & = x^{1} dx^{1} + x^{2} dx^{2} + x^{3} dx^{3} \\
(\vec{x})^{2} & = (x^{1})^{2} + (x^{2})^{2} + (x^{3})^{2} = r^{2}
\end{align}</math>
Per mezzo della scelta di un sistema di coordinate sferico <math>(r,\theta,\phi)</math> l'invarianza rotazionale permette di scrivere la metrica in linea generale come:
dove <math>F(r),E(r),D(r),C(r)</math> sono funzioni arbitrarie della sola coordinata radiale.
Il termine <math>g_{rt} = - rE(r)</math> (equivalente a <math>g_{tr}</math> per la simmetria del [[tensore metrico]]) non è invariante sotto un'inversione temporale <math>t\rightarrow -t</math> allora si può riscalare la coordinata temporale in modo da eliminare tale termine della metrica:
<math>\begin{align}
\bar{t} &= t + H(r) \\
d \bar{t} & = dt + H'(r) dr \\
\end{align}</math>
dove la funzione <math>H(r)</math> è arbitrariamente scelta per, come detto, eliminare il termine della metrica richiesto. Introducendo la funzione <math>G(r) = r^{2}(D(r) + \frac{E^{2}}{F})</math> la metrica diventa:
<math>ds^{2} = B(r) d\bar{t}^{2} - (G(r) + C(r))dr^{2}- C(r)r^{2}(d\theta^{2} + sin^{2}\theta d\phi^{2})</math>
Introduco anche per la coordinata radiale una riscalatura per mezzo del cambio di coordinate:
<math>\begin{align}
\bar{r}^{2} &= r^{2}C(r) \\
d \bar{r}^{2} & = C(r)[1 + \frac{r C'(r)}{2C(r)}] dr^{2} \\
\end{align}</math>
che permette di scrivere la metrica in forma diagonale:
<math>ds^{2} = B(r) d\bar{t}^{2} - \frac{1 + \frac{G(r)}{C(r)}}{1 + \frac{rC'(r)}{2C(r)}}d\bar{r}^{2}- \bar{r}^{2}(d\theta^{2} + sin^{2}\theta d\phi^{2})</math>
Per semplicità di notazione chiamo le coordinate barrate senza la barra sopra e definisco una funzione incognita che racchiude il termine <math>g_{rr}</math> della metrica, allora:
<math>ds^{2} = B(r) dt^{2} - A(r)dr^{2}- r^{2}(d\theta^{2} + sin^{2}\theta d\phi^{2})</math>
La metrica trovata da considerazioni geometriche sul problema va risolta calcolando esplicitamente le funzioni incognite <math>A(r)</math> e <math>B(r)</math>; ciò è fatto risolvendo l'equazione di campo di Einstein partendo dal calcolarsi i coefficienti della [[Connessione di Levi Civita|connessione di Levi-Civita]] (i [[simboli di Christoffel]]):
:<math>{\Gamma}^{t}_{t r} = \displaystyle{{\Gamma}}^{t}_{r t} = \frac{B'}{2B}\;\;,\;\qquad\qquad\displaystyle{\Gamma}^{r}_{r r} = \frac{A'}{2A},</math>
:<math>\displaystyle{\Gamma}^{r}_{t t}= \frac{B'}{2A}\;\;,\;\qquad\qquad\displaystyle{\Gamma}^{\phi}_{\phi \theta } = \displaystyle{\Gamma}^{\phi}_{\theta \phi} =
\frac{\cos \theta}{\sin \theta},</math>
:<math>\displaystyle{{\Gamma}}\, ^{r}_{\theta \theta} = -
:<math>\displaystyle{{\Gamma}}^{\theta}_{\theta r} = \displaystyle{{\Gamma}}\, ^{\theta}_{r \theta} = \displaystyle{{\Gamma}}^{\phi}_{\phi r } = \displaystyle{{\Gamma}}^{\phi}_{r \phi}= \frac{1}{r}\;\;,\;\quad\quad\;\displaystyle{{\Gamma}}^{\theta}_{\phi \phi } = - \sin \theta \cos \theta.</math>
dove i termini riportati sono solo quelli non nulli.
Noti i coefficienti <math>\displaystyle{{\Gamma}}</math>, calcolo i termini del [[tensore di Riemann]] per mezzo dei quali ottengo i termini del tensore di Ricci. Volendo risolvere l'equazione di campo nel vuoto allora i termini del tensore di Ricci vanno eguagliati a zero ottenendo così le quattro equazioni che ci permettono di poter determinare le funzioni incognite nella metrica:
<math>\begin{align}
R_{tt} &= \frac{B''}{2A} + \frac{1}{r} \frac{B'}{A} - \frac{1}{4} \frac{B'}{A} (\frac{A'}{A} + \frac{B'}{B}) = 0\\
R_{rr} & = - \frac{B''}{2A} + \frac{1}{r} \frac{B'}{A} + \frac{1}{4} \frac{B'}{A} (\frac{A'}{A} + \frac{B'}{B}) = 0\\
R_{\theta \theta} &= 1 - \frac{r}{2A}(\frac{B'}{B} - \frac{A'}{A}) - \frac{1}{A} = 0 \\
R_{\phi \phi} & = sin^{2} \theta R_{\theta \theta} = 0\\
\end{align}</math>
Divido per <math>B</math> l'equazione <math>R_{tt} = 0</math> e analogamente per <math>A</math> l'equazione <math>R_{rr} = 0</math> e sommando le due equazioni ottenuto trovo la relazione:
<math>A(r) B(r) = cost</math>
A questo punto sfrutto l'ultima condizione sul problema, ossia che nel limite di distanze molto grandi dalla distribuzione delle sorgenti di massa la metrica tenda alla [[metrica di Minkowski]]. La condizione al bordo sulla metrica si esprime come <math>\lim_{r \rightarrow +\infin} B(r) = \lim_{r \rightarrow +\infin} A(r) = 1</math> che permette di trovare il valore della costante nella precedente relazione tra le funzioni:
<math>A(r)B(r) = 1</math>
Essendo, per quanto emerso, le due funzioni una l'inverso dell'altra è possibile esprimere i termini del tensore di Ricci nei soli contributi di una funzione (per esempio <math>B</math>), da cui allora sfruttando l'equazione <math>R_{\theta \theta} = 0</math> ottengo:
<math>B(r) = 1 + \frac{const}{r}</math>
Infine chiamo il valore della costante come <math>const = -R_{s}</math> che posso determinare nel limite di campo debole posto che il valore del termine della metrica <math>g_{tt}</math> sia:
<math>g_{tt} = 1 -\frac{2 G M}{c^{2} r}</math>
quindi <math>R_{s} = \frac{2GM}{c^{2}}</math>.
== Lo spazio-tempo per sorgenti non troppo dense ==
Si è detto che la soluzione di Schwarzschild assume la sfericità e stazionarietà della massa sorgente. Tale situazione non è molto realistica, visto che praticamente tutti i corpi celesti ruotano, tuttavia lo spazio-tempo di Schwarzschild è un'ottima prima approssimazione (è possibile vedere<ref name= gravitation>si veda C.W. Mistern, K.S. Torn, J.A. Wheeler, in bibliografia</ref> che il campo gravitazionale prodotto da qualunque sorgente si confonde con quello di Schwarzschild ponendosi abbastanza lontano dal corpo). Essa è adeguata per descrivere lo spazio-tempo attorno a corpi celesti non troppo densi, e permette di spiegare il comportamento di tutti i pianeti attorno al [[Sole]], e dei satelliti attorno ai pianeti; ha consentito di stimare il corretto angolo di deflessione dei raggi luminosi attorno a un corpo celeste, e il ritardo temporale dei segnali che passano in prossimità del sole ([[effetto Shapiro]]<ref>I.I. Shapiro, Phys.Rev.Let. 13 789 (1964)</ref><ref>I.I. Shapiro, G.H. Pettengill, M.E. Ash, M.L. Stone, W.B. Smith, R.P. Ingalls e R.A. Brockelman, Phys.Rev.Let. 20 1265 (1968)</ref><ref>I.I. Shapiro, G.H. Pettengill, M.E. Ash,D.B Campbell, R.B. Dyce, W.B. Smith, R.P. Ingalls e R.F. Jurgens, Phys.Rev.Let. 26 1132 (1971)</ref>). La prima verifica sperimentale della bontà della teoria
Come già detto, lo spazio-tempo di Schwarzschild
:<math> \displaystyle{\mathbf{\chi}= \partial_t };</math>
Line 86 ⟶ 147:
:<math> \displaystyle{} g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = \kappa \ \mathrm{(costante)} </math>
in cui la costante vale 1 per geodetiche di tipo tempo (particelle materiali), e zero per geodetiche di tipo luce ([[Fotone|fotoni]]). Sviluppando questa equazione tenendo conto delle componenti della metrica di Schwarzschild, e delle quantità conservate, si ha:
[[File:Perihelion precession.gif|frame|L'orbita di un pianeta non è un'[[ellisse]], ma una rosetta. L'angolo fra i raggi vettori che puntano a due perieli consecutivi è l'angolo di precessione. L'animazione mostra tre orbite consecutive. Nota: l'[[eccentricità (orbita)|eccentricità]] è volutamente esagerata per evidenziare l'effetto e la velocità non è rappresentativa]]
Line 106 ⟶ 167:
:<math>\displaystyle{} \phi(r) = \int^r{\frac{J^2 dr}{r^2 \left(E^2 - (1-\frac{2M}{r})(\frac{J^2}{r^2}+1) \right)^{1/2}}}.</math>
Sviluppando l'integrando in serie di <math>M/r</math> supposto piccolo (il che è lecito per tutti i pianeti del sistema solare<ref group="N">Per Mercurio tale numero vale circa 3 × 10<sup>−8</sup>, per gli altri pianeti è ancora più piccolo. Si veda ad es. H.C. Ohanian, in bibliografia</ref>), e con un po' di algebra è possibile calcolare la precessione su una rivoluzione come il doppio della precessione che si ha fra il [[perielio]] <math>r_-</math> e l'[[afelio]] <math>r_+</math> (vista la simmetria dell'orbita rispetto all'asse maggiore)<ref>Per questo calcolo si veda ad es. S. Weinberg, in bibliografia</ref>:
:<math>\Delta\phi_{orbita}= 2 \left| \int^{r_+}_{r_-}{\frac{J^2 dr}{r^2 \left(E^2 - (1-\frac{2M}{r})(\frac{J^2}{r^2}+1) \right)^{1/2}}} \right|\sim \frac{6 \pi M}{L} \mathrm{rad/rivol},</math>
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== Lo spazio tempo per sorgenti estremamente dense - Buchi neri ==
La metrica di Schwarzschild presenta due singolarità, per <math>r=0</math> e <math>r=2M</math>. La presenza della singolarità nell'origine delle coordinate non stupisce, in quanto la si ritrova anche nella teoria [[Isaac Newton|newtoniana]] della gravitazione. Più sorprendente è invece l'altra singolarità, visto che classicamente non se ne ha alcuna traccia; in particolare ci si può chiedere cosa avviene se la sorgente del campo è un corpo così denso, che la sua superficie è all'interno della sfera di raggio 2M, per cui tale distanza è accessibile a corpi esterni (massivi o meno).
Per dare un'idea, il [[raggio di Schwarzschild]] per il [[Sole]] è di poco meno di {{M|3|u=km}} a fronte di un raggio "fisico" di quasi {{M|700000|u=km}}, si intuisce dunque facilmente come siano richieste densità altissime perché il raggio fisico sia minore del raggio di Schwarzschild, e si abbia un [[buco nero]].
È stato già anticipato che questa singolarità non è intrinseca dello spazio tempo, ma dovuta al particolare [[sistema di coordinate]] usato (singolarità coordinata).
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=== Coordinate entranti di Eddington-Finkelstein ===
{{Vedi anche|Coordinate di Eddington-Finkelstein}}
Si rivela pratico scegliere coordinate per cui le geodetiche ''radiali'' di tipo luce siano rappresentabili come rette inclinate di 45° in un diagramma spazio-tempo. Per il fotone si ha <math>ds^2=0</math> per cui l'equazione per le geodetiche radiali è:
:<math>dt^2 = \frac{1}{\left(1-\frac{2M}{r}\right)^2} dr^2 \equiv (dr*)^2,</math>
Line 171 ⟶ 228:
Questa caratteristica giustifica appieno il nome assegnato a questi corpi celesti: [[buco nero|buchi neri]], tale oggetto non permetterà infatti alla luce di lasciare il suo campo gravitazionale, e risulterà completamente invisibile a un osservatore esterno. [[File:Accretion disk.jpg|thumb|Un possibile modo per "vedere" un buco nero: il buco nero formatosi in un sistema binario, a causa del suo intenso campo gravitazionale, sottrae materia alla stella partner, formando un caratteristico disco di accrescimento]]
Per tale motivo un'osservazione diretta è impossibile, e le sole possibilità di rilevare la presenza di un buco nero, sono legate agli effetti che il suo campo gravitazionale intenso ha sui corpi celesti che eventualmente gli sono vicini. Si veda ad esempio l'immagine qui di lato che rappresenta il [[sistema stellare]] binario [[GRO J1655-40]]. Una delle componenti è supposta essere un buco nero: il suo campo gravitazionale è così intenso da sottrarre alla partner (in primo piano) la materia degli strati esterni, formando un caratteristico [[disco di accrescimento]] (disco blu in secondo piano).
=== Coordinate uscenti di Eddington-Finkelstein ===
Si noti come è possibile, partendo dalla metrica in coordinate sferiche, introdurre al posto della coordinata <math>v</math>, vista prima, la ''coordinata uscente di Eddington-Finkelsteins'' <math>u</math>, definita come:
Line 185 ⟶ 240:
Nella regione all'interno dell'orizzonte degli eventi, tale metrica descrive un comportamento esattamente opposto a quello visto prima. È facile infatti notare, seguendo lo stesso procedimento, che in questo caso la distanza di una particella (o fotone) dalla singolarità centrale, può ''solo aumentare'' col tempo.
A questa particolare soluzione viene dato il nome di soluzione di [[buco bianco]]. La presenza (a livello matematico) della soluzione di buco bianco era prevedile, essendo le equazioni di Einstein invarianti rispetto alla riflessione temporale; si deve tuttavia notare che a differenza della soluzione di buco nero, che vede la sua realizzazione fisica possibile a seguito del collasso stellare di una stella [[Supernova#Tipo II|abbastanza massiva]], senza particolari altre richieste, la formazione di un buco bianco prevede delle condizioni iniziali estremamente improbabili, ed è praticamente esclusa dalla [[
=== Coordinate di Kruskal ===
{{Vedi anche|Coordinate di Kruskal-Szekeres}}
È stato detto che le coordinate uscenti ed entranti di Eddington-Finkelstein descrivono comportamenti diversi all'interno dell'orizzonte degli eventi.
È possibile introdurre un altro sistema di coordinate, quelle di [[Martin David Kruskal|Kruskal]]<ref>M.D. Kruskal, Phys. Rev. 119, 1743 - 1745 (1960)
Line 221 ⟶ 277:
Si noti che <math>U</math> e <math>V</math> sono coordinate radiali nulle, per cui i coni di luce avranno i lati lungo queste direzioni. Nell'immagine a lato è disegnato un tipico diagramma di Kruskal, gli assi <math>U</math> e <math>V</math> sono inclinati, in modo che nel grafico i coni di luce appaiano coi lati inclinati a 45°, e si considerano fissati i valori di <math>\theta</math> e <math>\phi</math>. Lo spazio tempo risulta in tal modo diviso in quattro regioni, corrispondenti ai quattro quadranti, e indicate nel disegno con numeri romani.
Le regioni corrispondenti alla soluzione di buco nero sono I (spazio-tempo fuori dall'orizzonte degli eventi) e II (interno dell'orizzonte), mentre le regioni III e IV corrispondono alla soluzione di buco bianco. È possibile vedere<ref group="N">
Con l'aiuto del grafico a lato, si vede facilmente del perché qualunque segnale fisico non possa, una volta superato l'orizzonte degli eventi, tornare nella regione I, o comunicare con essa.
Considerando ad esempio il moto della massa (punti blu) ci si concentri nel punto ''P'' all'interno dell'orizzonte degli eventi, indicato in figura. Dal punto ''P'' essa potrà proseguire il suo moto solo in direzioni che sono all'interno del suo cono di luce futuro, andando quindi prima o poi a collidere contro l'arco di iperbole corrispondente a <math>r=0</math> nella regione II. Se la massa fosse luminosa, essa potrebbe dal punto ''P'', inviare segnali luminosi lungo i lati del suo cono: anch'essi finirebbero contro la singolarità centrale, e all'esterno dell'orizzonte degli eventi non si vedrebbe niente. Per quanto detto la regione I non può seguire causalmente la regione II.
=== Massima estensione analitica ===
Ricapitolando un po', si è visto come nella metrica di Schwarzschild, in coordinate sferiche, si incontrino "problemi" per <math>r=2M</math>. Le geodetiche (ad esempio radiali entranti) incontreranno l'orizzonte degli eventi per un valore finito del parametro affine ([[tempo proprio]] per particelle materiali). Tali geodetiche potranno essere prolungate, all'interno dell'orizzonte degli eventi, eventualmente con un opportuno cambio di coordinate (passando alle coordinate di Eddington-Finkelstein entranti, ad esempio), e andranno a interrompersi nella singolarità centrale (<math>r=0</math>). È possibile definire come ''singolare'' uno spazio-tempo per cui esistono geodetiche che non possono essere prolungate per valori arbitrari del parametro affine, o, detto altrimenti, che si interrompono da qualche parte.
Line 236 ⟶ 291:
La soluzione di Schwarzschild si estende anche all'interno del corpo massiccio, che per ipotesi è sferico e di raggio <math>R_{stella}</math> dove vale l'equazione di Einstein "completa":
:<math>G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2}R g_{ab} = 8 \pi T_{ab},</math>
dove <math>G_{ab}</math> è il [[tensore di Einstein]], <math>R_{ab}</math> e <math>R</math> sono rispettivamente il tensore di Ricci e lo scalare di curvatura ottenuti a partire dal [[tensore di Riemann]] e <math>T_{ab}</math> è il [[Tensore energia impulso|tensore energia-impulso]].
La metrica, date le ipotesi iniziali di [[Spaziotempo stazionario|stazionarietà]] e [[simmetria]] sferica è del tipo<ref group="N">In questa sezione si usa la [[segnatura (algebra lineare)|segnatura]] (-, +, +, +) per la metrica.</ref>.:
:<math>ds^2 = - F(r)dt^2 + A(r)dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2{\theta} d\phi^2,</math>
dove <math>F(r)</math> e <math>A(r)</math> sono due funzioni della sola variabile <math>r</math>.
Line 244 ⟶ 299:
È possibile riscrivere l'equazione di Einstein per ottenere la seguente equazione equivalente:
:<math>R_{ab} = 8 \pi \left(T_{ab} - \frac{1}{2}Tg_{ab}\right),</math>
dove <math>T</math> è la [[traccia (matrice)|traccia]] di <math>T_{ab}</math> che si ottiene calcolando<ref group="N">Nel seguito si farà uso della [[convenzione di Einstein]] nella particolare versione della [[notazione astratta degli indici]], quindi indici ripetuti in posizione [[covariante]] e controvariante si intendono sommati.</ref>:
:<math>T = g^{ab}T_{ab} = T^{a}_{a}.</math>
Supponendo che l'interno della stella sia un [[fluido perfetto]] (che soddisfa l'[[Equazioni di Eulero (fluidodinamica)|equazione di Eulero]]), con [[densità]] <math>\rho</math> e [[pressione]] <math>P</math> si ha che il tensore energia-impulso è dato da:
:<math>T_{ab} = \rho u_{a} u_{b} + P (g_{ab} + u_{a} u_{b}),</math>
dove <math>u_a = \left(\dfrac{\partial}{\partial t} \right)</math> sono vettori tali che <math>u_{a}u^{a} = -1</math>.<ref group="N">Data la segnatura utilizzata i vettori di tipo tempo (o ''time-like'') hanno [[norma (matematica)|norma]] negativa.</ref>
Si ricava che <math>T = 3P - \rho</math> e quindi si ottengono le seguenti equazioni in componenti <math>(t, r, \theta, \phi)</math>:
Line 299 ⟶ 354:
== Note ==
;Annotazioni
<references group="N" />
;Fonti
<references/>
== Bibliografia
* {{Cita libro|autore=Silvio Bergia e Alessandro P. Franco|titolo=Le strutture dello spazio-tempo|editore=Clueb|anno=2001}}
* {{Cita libro|autore=[[Subrahmanyan Chandrasekhar]]|titolo=Mathematical Theory of Black Holes|editore=Oxford University Press|anno=1983}}
*
* {{Cita libro|autore=[[Stephen Hawking]]|autore2=George Ellis|titolo=The large scale structure of the space-time|editore=Cambridge Monographs on Mathematical Physics|anno=1973}}
* {{Cita libro|autore=Charles Misner|autore2=[[Kip Thorne]]|autore3=[[John Archibald Wheeler]]|titolo=Gravitation|editore=W.H. Freeman and Company|anno=1972}}
* {{Cita libro|autore=Hans C. Ohanian|titolo=Gravitation and space time|url=https://archive.org/details/gravitationspace0000ohan|editore=W.W. Norton and Company|anno=1976}}
* {{Cita libro|autore=Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers e Eduard Herlt|titolo=Exact solutions of Einstein's field equations|editore=Cambridge University Press|anno=2002}}
* {{Cita web|autore=Paul K. Townsend|url=https://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9707/9707012v1.pdf|titolo=Black Holes|città=Cambridge|editore=University of Cambridge|data=4 luglio 1997|lingua=en}}
* {{Cita libro|autore=Robert M. Wald|titolo=General Relativity|url=https://archive.org/details/generalrelativit0000wald|editore=University of Chicago Press|anno=1984}}
* {{Cita libro|autore=[[Steven Weinberg]]|titolo=Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity|editore=John Wiley and Sons|anno=1972}}
== Voci correlate ==
* [[Buco nero]]
* [[Disco di accrescimento]]
* [[Interazione gravitazionale]]
* [[Limite di Chandrasekhar]]
* [[Orizzonte degli eventi]]
* [[Raggio di Schwarzschild]]
* [[Relatività generale]]
* [[Singolarità gravitazionale]]
{{Portale|relatività}}
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