Compattificazione di Stone-Čech

La compattificazione di Stone-Čech di uno spazio topologico $X$ è uno spazio topologico compatto (indicato con $\beta X$) tale che ogni funzione continua da $X$ verso uno spazio topologico compatto può essere estesa ad una funzione definita su tutto $\beta X$. Generalmente, si assume che $X$ sia uno spazio di Tychonoff, perché solo in questo caso $\beta X$ estende lo spazio di partenza $X$. Fra le varie compattificazioni di uno spazio topologico, quella di Stone-Čech è la "più grande", contrapposta alla compattificazione di Alexandrov, ottenuta aggiungendo un punto solo.

Definizione

La compattificazione di Stone-Čech di uno spazio topologico $X$ è uno spazio $\beta X$ contenente $X$ con queste proprietà:

• $\beta X$ è compatto;
• $X$ è denso in $\beta X$;
• per ogni funzione continua

$f:X\to K$

a valori in uno spazio compatto di Hausdorff $K$ esiste una funzione continua

$f':\beta X\to K$

che estende $f$

L'ultima proprietà può essere descritta dicendo che $X$ è C^*-immerso in $\beta X$.

Principali proprietà

La compattificazione di Stone-Cech si può vedere come la "massima" compattificazione di uno spazio (mentre la compattificazione di Alexandrov è la più piccola), come indicano le seguenti proprietà:

• è unica a meno di omeomorfismi;
• è l'unico spazio compatto in cui $X$ è $C^{\star }$-immerso;
• è il più grande spazio in cui $X$ è $C^{\star }$-immerso.

Formulazioni della compattificazione di Stone-Čech

È possibile formulare la compattificazione di Stone-Čech in diversi modi tra di loro equivalenti: ad esempio, le funzioni continue da $X$ all'intervallo chiuso $[0,1]$ costituiscono la compattificazione desiderata.

Un'altra possibile formulazione equivalente è la seguente: dato uno spazio topologico $X$ discreto, la compattificazione di Stone-Cech $\beta X$ è formata da tutti gli ultrafiltri di X. La base della topologia di $\beta X$ possiede come elementi tutti gli ultrafiltri che contengono un dato aperto $A$:

${\mathcal {B}}=\{p\in \beta X|A\in p\}_{A\in {\mathcal {A}}}$, dove ${\mathcal {A}}$ sono gli aperti della topologia di $X$.

Nel caso di un generico spazio $X$ che sia Tychonoff, la compattificazione di Stone-Cech di $X$ si può ottenere usando gli insiemi massimali costituiti di zero-insiemi.

Voci correlate

• Topologia
• spazio compatto