Equazione di Torricelli

L'equazione di Torricelli, ricavata da Evangelista Torricelli, permette di calcolare la velocità finale di una massa in moto uniformemente accelerato, senza fare riferimento all'intervallo di tempo intercorso tra gli stati iniziale e finale del moto presi in considerazione.

Espressione matematica

L'equazione è la seguente:

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta d$

dove:

• $v_{f}$ è la velocità finale del sistema;
• $v_{i}$ è la velocità iniziale del sistema;
• $a$ è l'accelerazione del sistema;
• $\Delta d$ è lo spazio percorso.

Derivazione matematica

L'equazione di Torricelli è derivata ponendo a sistema queste altre due formule:

$d=d_{i}+v_{i}t+{\frac {(at^{2})}{2}}$

e

$v_{f}=v_{i}+at$

Risolvendo la seconda equazione rispetto al tempo, abbiamo:

$v_{f}=v_{i}+at$

$v_{f}-v_{i}=at$

$t={\frac {(v_{f}-v_{i})}{a}}$

E sostituendo nella prima equazione otteniamo:

$d=d_{i}+v_{i}t+{\frac {(at^{2})}{2}}$

$d-d_{i}=v_{i}\left({\frac {v_{f}-v_{i}}{a}}\right)+{\frac {a}{2}}\left({\frac {v_{f}-v_{i}}{a}}\right)^{2}$

$\Delta d=\left({\frac {v_{f}v_{i}-v_{i}^{2}}{a}}\right)+{\frac {a}{2}}\left({\frac {v_{f}^{2}-2v_{f}v_{i}+v_{i}^{2}}{a^{2}}}\right)$

$\Delta d={\frac {v_{f}v_{i}-v_{i}^{2}}{a}}+{\frac {v_{f}^{2}-2v_{f}v_{i}+v_{i}^{2}}{2a}}$

${\frac {2a\Delta d}{2a}}={\frac {2v_{f}v_{i}-2v_{i}^{2}}{2a}}+{\frac {v_{f}^{2}-2v_{f}v_{i}+v_{i}^{2}}{2a}}$

$2a\Delta d=2v_{f}v_{i}-2v_{i}^{2}+v_{f}^{2}-2v_{f}v_{i}+v_{i}^{2}$

$2a\Delta d=-v_{i}^{2}+v_{f}^{2}$.

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta d$

La legge di Torricelli è un caso particolare di questa formula, nel quale il corpo considerato è un fluido e la velocità iniziale $v_{i}$ è nulla.