Espansione post-newtoniana

Nell'ambito della teoria generale della relatività, le espansioni post-newtoniane (PN) o approssimazioni post-newtoniane sono metodi matematici utilizzati per trovare soluzioni approssimate delle equazioni di Einstein, mediante uno sviluppo in serie di potenze del tensore metrico. In particolare lo sviluppo è basato su due parametri: la velocità degli oggetti coinvolti, che deve essere trascurabile rispetto a quella della luce ( $v/c\ll 1$ ), e la costante gravitazionale G.

Il caso limite di velocità nulla corrisponde alla teoria di gravitazione universale di Newton, a cui si aggiungono successivi termini perturbativi.

Uno dei primi lavori usando questa tecnica fu quello di Einstein per calcolare la precessione del perielio di Mercurio.^[1]

Un altro metodo simile è quello delle espansioni post-minkowskiane (PM), in cui si considerano solo le potenze di G.


	0PN		1PN		2PN		3PN		4PN		5PN		6PN		7PN
1PM	( 1	+	$v^{2}$	+	$v^{4}$	+	$v^{6}$	+	$v^{8}$	+	$v^{10}$	+	$v^{12}$	+	$v^{14}$	+	...)	$G^{1}$
2PM			( 1	+	$v^{2}$	+	$v^{4}$	+	$v^{6}$	+	$v^{8}$	+	$v^{10}$	+	$v^{12}$	+	...)	$G^{2}$
3PM					( 1	+	$v^{2}$	+	$v^{4}$	+	$v^{6}$	+	$v^{8}$	+	$v^{10}$	+	...)	$G^{3}$
4PM							( 1	+	$v^{2}$	+	$v^{4}$	+	$v^{6}$	+	$v^{8}$	+	...)	$G^{4}$
5PM									( 1	+	$v^{2}$	+	$v^{4}$	+	$v^{6}$	+	...)	$G^{5}$
6PM											( 1	+	$v^{2}$	+	$v^{4}$	+	...)	$G^{6}$
Tabella di confronto delle potenze utilizzate per le approssimazioni PN e PM nel caso di due corpi non rotanti^[2]. 0PN corrisponde al caso della teoria della gravitazione di Newton. 0PM (non riportato) corrisponde allo spazio piatto di Minkowsky.

Note

^ Albert Einstein, § 22. Behaviour of measuring rods and clocks in a statical gravitation-field. Curvature of light-rays. Perihelion-motion of the paths of the Planets., in The Foundation of the Generalised Theory of Relativity. URL consultato il 18 maggio 2021.
^ Zvi Bern, Clifford Cheung e Radu Roiban, Black Hole Binary Dynamics from the Double Copy and Effective Theory, in Journal of High Energy Physics, vol. 2019, n. 10, 2019-10-XX, p. 206, DOI:10.1007/JHEP10(2019)206. URL consultato il 16 maggio 2021.

(EN) Luc Blanchet, Gravitational Radiation from Post-Newtonian Sources and Inspiralling Compact Binaries, in Living Reviews in Relativity, vol. 17, n. 1, 1º dicembre 2014, p. 2, DOI:10.12942/lrr-2014-2. URL consultato il 10 aprile 2024.
(EN) Clifford M. Will, On the unreasonable effectiveness of the post-Newtonian approximation in gravitational physics, in Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 108, n. 15, 12 aprile 2011, pp. 5938–5945, DOI:10.1073/pnas.1103127108. URL consultato il 10 aprile 2024.

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