Lemma di Morse

In meccanica analitica il lemma di Morse è un lemma che descrive la topologia delle orbite nello spazio delle fasi in un intorno dei punti critici, cioè di equilibrio meccanico.

Enunciato

Nello spazio delle fasi, nell'intorno di ogni punto critico esiste una trasformazione di coordinate che trasforma le orbite in ellissi se il punto critico è di equilibrio stabile, in iperboli se l'equilibrio è instabile.

Dimostrazione

L'idea che sta alla base della dimostrazione di questo teorema è la possibilità di approssimare il potenziale nell'intorno dei punti critici tramite uno sviluppo in serie di Taylor al secondo ordine. In questo modo il potenziale diventa equivalente a quello di un oscillatore armonico o di un oscillatore iperbolico se il punto critico è rispettivamente di equilibrio stabile o equilibrio instabile. Di conseguenza le orbite in uno spazio delle fasi bidimensionale assumono la forma di ellissi o iperboli e, per questo motivo, i punti critici vengono chiamati anche punti ellittici e punti iperbolici a seconda che l'equilibrio in tali punti sia stabile o instabile.

Bibliografia

• (EN) Yukio Matsumoto, An introduction to Morse theory, American Mathematical Soc, 2002, pp. 44-50, ISBN 0-8218-1022-7.

Collegamenti esterni

• (EN) The Morse Lemma and Cell Complexes su Math.arizona.edu
• (EN) The Morse Lemma su Math.stanford.edu