Visualizza wikitesto di Differenza finita

In [[matematica]], una '''differenza finita''' è un'espressione nella forma di una [[differenza]] tra i valori assunti da una [[funzione (matematica)|funzione]] in due specifici punti:

:<math>f(x+b)-f(x+a)</math>

Se la differenza finita è divisa per <math>b-a</math> si ottiene un [[rapporto incrementale]]. Viene in genere indicata con la lettera greca <math>\Delta</math> seguita dalla quantità che subisce tale variazione (ad esempio <math>\Delta x</math>).<ref>{{en}} [http://goldbook.iupac.org/C00968.html IUPAC Gold Book, "change of a quantity"]</ref>

==Definizione==
Una differenza con ''centro'' <math>c</math> e ''passo'' <math>h</math> è definita come:

:<math>\Delta_{c,h} f(x)=f\left(x+c+\frac{h}{2}\right)-f\left(x+c-\frac{h}{2}\right) \qquad \forall c,h \in \R</math>

Si studiano principalmente quattro tipi di differenze finite:
* La '''differenza finita in avanti''' (forward difference):
:<math>\Delta_{\frac h 2, h} f (x)=\Delta_h f (x)=\Delta f (x)=f(x+h)-f(x)</math>
* La '''differenza finita all'indietro''' (backward difference):
:<math> \Delta_{-\frac h 2, h} f (x)=\Delta_{-h} f (x)= \nabla f(x)=f(x)-f(x-h)</math>
* La '''differenza finita centrata''' (central difference):
:<math>\Delta_{0,h} f(x)=\Delta_0 f (x)=\delta f(x) =f\left(x+\frac{h}{2}\right)-f\left(x-\frac{h}{2}\right)</math>
* La '''differenza finita media''' (medium difference):
:<math>\Delta_{(0,h)/2} f(x)=\Delta_{1/2} f (x)=\mu\,f(x)=\frac{1}{2}\left[f\left(x+\frac{h}{2}\right)-f\left(x-\frac{h}{2}\right)\right]</math>

Le differenze finite sono centrali nell'[[analisi numerica]] per l'approssimazione delle [[derivata|derivate]] e quindi nella [[metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie|risoluzione numerica delle equazioni differenziali]].

==Relazione con le derivate==
La [[derivata]] di una funzione <math>f</math> in <math>x</math> è definita come il [[limite di una funzione|limite]] del [[rapporto incrementale]]:

:<math> f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}</math>

Se <math>h</math>, invece che annullarsi, assume un valore fissato, allora il termine a destra si può scrivere:

:<math> \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\Delta_h[f](x)}{h}</math>

in modo che la differenza finita in avanti divisa per <math>h</math> approssima il valore della derivata per <math>h</math> piccolo. 

L'errore relativo a tale approssimazione può essere derivato tramite il [[teorema di Taylor]]. Assumendo <math>f</math> una [[funzione differenziabile]] [[funzione continua|con continuità]] l'errore è:

:<math> \frac{\Delta_h[f](x)}{h} - f'(x) = O(h) \quad (h \to 0) </math>

e la stessa formula vale per la differenza finita all'indietro:

:<math> \frac{\Delta_{-h}[f](x)}{h} - f'(x) = O(h) </math>

La differenza finita centrata, tuttavia, fornisce un'approssimazione più accurata. In tal caso l'errore è proporzionale al quadrato del passo <math>h</math>, se la funzione è differenziabile con continuità due volte, ovvero la derivata seconda <math>f^{''}</math> è continua per ogni <math>x</math>:

:<math> \frac{\Delta_0[f](x)}{h} - f'(x) =  O(h^{2})</math>

===Metodo alle differenze finite===
{{vedi anche|Metodo alle differenze finite}}
Le differenze finite possono essere utilizzate per [[matematica discreta|discretizzare]] una [[equazione differenziale ordinaria]]. Un esempio classico è il [[metodo di Eulero]], che sfrutta alternativamente i tre i tipi di differenze finite presentati.

==Operatore==
Un [[operatore (matematica)|operatore]] astratto agente su uno [[spazio funzionale]] che, data una funzione, ne restituisce la differenza finita con centro <math>c</math> e passo <math>h</math> si dice un ''operatore alle differenze''. Quello in avanti per esempio può essere espresso come:

:<math>\Delta_h =T_h - I</math>

dove <math>T_h</math> è l'[[operatore di shift]] <math>T_h(f)=f(x+h)</math> e <math>I</math> l'[[funzione identità|identità]]. Similmente si possono descrivere gli altri due tipi.

Qualsiasi operatore alle differenze di quelli visti è [[trasformazione lineare|lineare]] e soddisfa la [[regola di Leibniz]].

La [[serie di Taylor|relazione di Taylor]] può essere espressa allora in termini simbolici come:

:<math>\Delta_h= \sum_i \frac{h^i D^i}{i!} \sim h D +\frac{1}{2}h^2D^2+\frac{1}{3!}h^3D^3+\dots</math>

dove <math>D</math> è l'[[operatore differenziale]] che trasforma una funzione nella sua derivata.

==Proprietà==
In analogia con le regole di derivazione, per un operatore alle differenze si ha:
* Se <math>c</math> è costante <math>\implies\Delta_h c = 0{\,}</math>
* Linearità:
:<math>\Delta_h(\alpha f + \beta\,g) = \alpha\Delta_h f + \beta\,\Delta_h g</math>con <math>\alpha</math> e <math>b</math> sono costanti.

* Regola del prodotto:
:<math> \Delta_h (f g) = f \,\Delta_h g + g \,\Delta_h f + \Delta_h f \,\Delta_h g </math>
:<math> \Delta_{-h} (f\cdot g) = f \,\Delta_{-h} g + g \,\Delta_{-h} f - \Delta_{-h} f \,\Delta_{-h} g </math>
* Regola del quoziente:
:<math>\Delta_h\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \,\Delta_h f - f \,\Delta_h g}{g\,(g + \Delta_h g)}</math>
:<math>\Delta_{-h}\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \,\Delta_{-h} f - f \,\Delta_{-h} g}{g\,(g-\Delta_{-h} g)}</math>

* Regole di sommazione:
:<math>\sum_{n=a}^{b} \Delta_h f(n) = f(b+1)-f(a)</math>
:<math>\sum_{n=a}^{b} \Delta_{-h} f(n) = f(b)-f(a-1)</math>

==Differenze finite di ordine superiore==
Si possono definire approssimazioni per le derivate di ordine successivo in modo iterativo.

Utilizzando ad esempio le differenze centrate per approssimare <math>f'(x+h/2) - f'(x-h/2)</math> otteniamo la differenza finita centrata del second'ordine:

:<math> \Delta_0^2 f (x) =  f(x+h) - 2 f(x) + f(x-h)</math>

Più in generale, le differenze finite dell' <math>n</math>-esimo ordine sono definite rispettivamente come:

:<math>\Delta^n_h f(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x + (n - i) h)</math>

:<math>\Delta^n_{-h} f(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x - ih)</math>

:<math>\Delta^n_0 f(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f\left(x + \left(\frac{n}{2} - i\right) h\right)</math>

Se necessario, è possibile mischiare i tre tipi centrando l'approssimazione successivamente in punti diversi.

===Proprietà===
* Per <math>k</math> e <math>n</math> positivi:
:<math>\Delta^n_{kh} (f, x) = \sum\limits_{i_1=0}^{k-1} \sum\limits_{i_2=0}^{k-1} \cdots \sum\limits_{i_n=0}^{k-1} \Delta^n_h (f, x+i_1h+i_2h+\cdots+i_nh)</math>
* [[Regola di Leibniz]]:
:<math>\Delta^n_h (fg, x) = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \Delta^k_h (f, x) \Delta^{n-k}_h(g, x+kh)</math>

==Generalizzazioni==
Una differenza finita generalizzata è spesso definita come:
:<math>\Delta_h^\alpha[f](x) = \sum_{k=0}^n \alpha_k f(x+kh)</math>
dove <math>\alpha = (\alpha_0,\ldots,\alpha_n)</math> è il vettore dei suoi coefficienti. Un'ulteriore generalizzazione si ha quando la somma viene rimpiazzata da una serie infinita, ottenendo la ''differenza infinita''.

Si possono anche rendere i coefficienti <math>\alpha_k</math> dipendenti dal punto <math>x</math>, ovvero <math>\alpha_k=\alpha_k(x)</math>, ottenendo così una differenza "pesata". Si può anche far dipendere <math>h</math> dal punto <math>x</math>, ovvero <math>h=h(x)</math>: ciò risulta utile ad esempio per definire diversi [[modulo di continuità|moduli di continuità]].

L'operatore alle differenze si generalizza alla [[formula di inversione di Möbius]] su un [[insieme parzialmente ordinato]].

==Interpolazione di Newton==
{{vedi anche|Polinomio di Newton}}
La formula di interpolazione di Newton, introdotta da Newton nei ''[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica]]'' del 1687,<ref>Newton, Isaac, (1687). [http://books.google.com/books?id=KaAIAAAAIAAJ&dq=sir%20isaac%20newton%20principia%20mathematica&as_brr=1&pg=PA466#v=onepage&q&f=false ''Principia'', Book III, Lemma V, Case 1]</ref> è l'analogo discreto dell'[[Serie di Taylor|espansione di Taylor]] continua:

:<math>f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\Delta^k [f](a)}{k!} ~(x-a)_k
= \sum_{k=0}^\infty {x-a \choose k}~ \Delta^k [f](a)
</math> 

che vale per ogni funzione polinomiale <math>f</math> e per molte [[funzione analitica|funzioni analitiche]]. L'espressione:

:<math>{x \choose k} = \frac{(x)_k}{k!}</math>

è il [[coefficiente binomiale]], mentre:

:<math>(x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)</math>

è il [[Fattoriale crescente|fattoriale decrescente]]. Il [[prodotto vuoto]] <math>(x)_0</math> vale inoltre 1.

==Note==
<references/>

==Bibliografia==
* {{en}} Richtmeyer, D. and  Morton, K.W., (1967). ''Difference Methods for Initial Value Problems'', 2nd ed., Wiley, New York.
* {{Cita libro|cognome=Levy|nome=H.|autore2=Lessman, F.|titolo=Finite Difference Equations|url=https://archive.org/details/finitedifference0000levy|anno=1992|editore=Dover|isbn=0-486-67260-3|lingua=en}}
* {{en}} Ames, W. F., (1977). ''Numerical Methods for Partial Differential Equations'', Section 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1.
* {{en}} Hildebrand, F. B., (1968). ''Finite-Difference Equations and Simulations'', Section 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

==Voci correlate==
* [[Derivata]]
* [[Equazione alle differenze]]
* [[Metodo delle differenze finite]]
* [[Polinomio di Newton]]
* [[Serie di Taylor]]
* [[Teorema di Taylor]]
* [[Differenze divise]]

==Collegamenti esterni==
* {{springerEOM|titolo=Finite-difference calculus|autore= A.F. Leont'ev}}

{{Portale|Matematica}}

[[Categoria:Analisi numerica]]
[[Categoria:Operatori lineari]]