Visualizza wikitesto di Glossario sui polinomi

Questo '''glossario sui polinomi''' comprendere termini e concetti relativi a queste entità che rivestono grande importanza per svariati sviluppi della [[matematica]] e delle sue applicazioni.

Nel titolo e nel testo delle voci, per “polinomio” si intende, se non altrimenti specificato, un polinomio algebrico in una sola variabile

==A==
=== Abel (polinomi di) ===
:I polinomi di [[Niels Henrik Abel|Abel]] costituiscono una [[#Sequenza polinomiale|sequenza polinomiale]] aventi la forma <math>x(x-na)^{n-1}</math> con ''n'' naturale.
:Costituiscono una [[#Sequenza di tipo binomiale|sequenza polinomiale di tipo binomiale]] definita tramite la formula ricorsiva:
:<math>{d \over dx} p_n(x) = np_{n-1}(x) </math>

<small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Algebrico (polinomio)===
Si chiama polinomio algebrico nelle variabili ''x<sub>1</sub>'', ''x<sub>2</sub>'', ''x<sub>3</sub>'',….., ''x<sub>k</sub>'',  una [[combinazione lineare]] di potenze intere delle variabili suddette. In particolare un polinomio algebrico di [[#Grado di un polinomio|grado]] (o ordine) ''n'' nella sola variabile ''x'' è rappresentabile con
:<math> f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 +\ldots + a_nx^n\,\! </math>

<small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Anello dei polinomi ===
:L'insieme dei polinomi con [[#Coefficienti di un polinomio|coefficienti]] in un [[campo (matematica)|campo]] (per esempio quello dei [[numero reale|numeri reali]] o dei [[numero complesso|complessi]] ) ha la [[struttura algebrica]] di [[anello (algebra)|anello]]. È dotato di una [[#Somma di polinomi|somma]] e di una [[#Prodotto di polinomi|moltiplicazione]] tali che:
***la somma di due polinomi è un polinomio che ha per componenti ([[#Monomio|monomi]]) la somma dei [[#Monomi simili|monomi simili]] dei polinomi addendi;
***il prodotto di due polinomi è un polinomio i cui componenti si ottengono moltiplicando ogni monomio del primo con ogni monomio del secondo;
***l'elemento neutro dell'addizione è il polinomio ''0'' (composto solo da zeri), e quello della moltiplicazione è il polinomio ''1'' (costante uno);
***l'inverso additivo di un polinomio è quello che ha gli stessi monomi del polinomio dato, ma col segno opposto
{{vedi anche|Anello dei polinomi}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==B==
===Bell (polinomi di)===
:Polinomi in più variabili che hanno applicazioni nell'analisi combinatoria: i [[#Coefficienti di un polinomio|coefficienti]] di questi polinomi forniscono il numero di [[Partizione (teoria degli insiemi)|partizioni]] in cui un insieme di ''n'' elementi può essere suddiviso in due o più parti.
:Per esempio il polinomio di [[Eric Temple Bell|Bell]] ''B<sub>6,2</sub>(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>, x<sub>4</sub>, x<sub>5</sub>)'' fornisce il numero partizioni in cui un insieme di 6 elementi può essere diviso in due gruppi. Siccome
:<math>B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2</math>
:significa che un insieme di 6 elementi può essere suddiviso in 6 modi diversi (coefficiente di <math> x_5x_1</math>) in due parti rispettivamente di 5 e 1 elementi, oppure in 15 modi diversi in due parti rispettivamente di 4 e 2 elementi, oppure in 10 modi diversi in due gruppi di ''3'' elementi ciascuno.

<small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Bernoulli (polinomi di) ===
:I [[Polinomio di Bernoulli|polinomi di Bernoulli]] sono definiti in modo iterativo e consentono di calcolare la somma delle ''k-esime potenze'' dei primi ''n'' interi, note le somme delle precedenti ''(k-1)-esime'' potenze degli stessi numeri. Utilizzati nello studio della [[funzione zeta di Riemann]] e di altre [[funzioni speciali]], sono strettamente legati ai [[numeri di Bernoulli]].
{{vedi anche|Polinomio di Bernoulli| Numeri di Bernoulli}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Binomio===
:Polinomio costituito da due [[#Monomio|monomi]] (ovvero è la somma algebrica di due monomi)
{{vedi anche|Binomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Binomio di Newton===
:Sinonimo di [[#Teorema binomiale|Teorema binomiale]]
<small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==C==
===Calcolo umbrale===
: Con il termine calcolo umbrale si indica una notazione che permette di trattare identità su [[successione (matematica)|successioni numeriche]] considerando gli indici dei componenti come se fossero esponenti. Questo metodo, anche se privo di completi e rigorosi fondamenti, si rivela spesso efficace.
:Attualmente il calcolo umbrale viene principalmente utilizzato per lo studio delle [[#Sequenza di Sheffer|sequenze di Sheffer]]
{{vedi anche|Calcolo umbrale}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Campo di spezzamento di un polinomio===
:[[Campo (matematica)|Campo]] nel quale il polinomio possa essere [[fattorizzazione|fattorizzato]] in binomi di primo grado
{{vedi anche|Campo di spezzamento}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Campo di riducibilità completa ===
:Sinonimo di [[#Campo di spezzamento di un polinomio|Campo di spezzamento]]

===Caratteristico (polinomio)===
:Il [[polinomio caratteristico]] di una matrice rispetto ad una variabile ''x'' è il [[Determinante (algebra)|determinante]] della matrice ottenuta sottraendo alla matrice data il prodotto fra lo scalare ''x'' e la [[matrice identità]]: ''p<sub>A</sub>(x) = det (A - xI)'' , dove ''A'' è la matrice data e ''I'' è la matrice identità.
:Le [[#Radici di un polinomio|radici]] del polinomio caratteristico sono gli [[autovalori]] della matrice associata
{{vedi anche|Polinomio caratteristico}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Chebyshev (o Čebyšëv) (polinomi di)===
:I polinomi di [[Pafnutij L'vovič Čebyšëv|Chebyshev]] nella variabile ''x'', costituiscono una [[#Sequenza polinomiale|sequenza polinomiale]] definita tramite la formula ricorsiva <math>T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x) </math> con <math>T_0(x) = 1 </math> e <math>T_1(x) = x </math>.
:Costituiscono le soluzioni polinomiali di una [[equazione differenziale]]
{{vedi anche| Polinomi di Chebyshev}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Ciclotomici (polinomi)===
:I polinomi ciclotomici nella variabile ''x'', costituiscono una [[#Sequenza polinomiale|sequenza polinomiale]]. L{{'}}''n''-esimo polinomio ciclotomico è il polinomio formato dalle [[Radice primitiva dell'unità|radici ''n''-esime primitive dell'unità]]. Le radici primitive dell'unità sono quelle che generano l'intero gruppo delle radici ''n''-esime dell'unità, ovvero sono quelle che, se ''m < n'', si ha  ''x<sup>m</sup> ≠ 1'' mentre, ovviamente, ''x<sup>n</sup> = 1''
{{vedi anche|Polinomio ciclotomico}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Coefficiente binomiale===
:Il [[coefficiente binomiale]] è una funzione a due variabili intere  ''n > 0'' e ''0 ≤ k ≤ n '', definita come
:<math> C(n ; k) =  \frac{n!}{k! \cdot \left( n - k \right)!} = {n \choose k} </math>
:(dove ''n''! è il [[fattoriale]] di ''n''). Il coefficiente binomiale può essere calcolato anche col [[triangolo di Tartaglia]].
:Ha importanza per i polinomi in quanto lo sviluppo delle potenze dei binomi può essere espresso mediante i coefficienti binomiali (vedere il [[#Teorema binomiale|teorema binomiale]])
{{vedi anche|Coefficiente binomiale}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Coefficiente binomiale simmetrico===
:Funzione a due variabili intere positive, simmetrica nei suoi argomenti. È una variante del [[#Coefficiente binomiale|coefficiente binomiale]], tanto che può essere espressa come
:<math>\mbox{cbins}(h,k) = {h+k \choose h} \qquad\qquad {n \choose h} = \mbox{cbins}(h,n-h)  </math>
:È una funzione capace di enumerare configurazioni discrete equivalenti di un sistema
{{vedi anche|Coefficiente binomiale simmetrico }}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Coefficienti di un polinomio===
:Valori costanti (numeri) dei singoli [[#Monomio|monomi]]. Ogni monomio ha un solo coefficiente. Il coefficiente del monomio di grado massimo prende il nome di ''coefficiente direttore'', mentre quello del monomio di grado zero prende il nome di [[#Termine noto (di un polinomio)|termine noto]]
{{vedi anche|Polinomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Completo (polinomio)===
:Polinomio in una sola variabile in cui i [[#Coefficienti di un polinomio|coefficienti]] sono tutti diversi da zero
{{vedi anche|Polinomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Congruenze polinomiali ===
:Estensione ai polinomi del concetto di [[aritmetica modulare|congruenza modulo ''n'']] definita sui numeri reali.
:Due polinomi ''P(x)'' e ''Q(x)'' nella variabile intera ''x'' , si dicono ''congrui modulo n'', dove ''n'' è un intero positivo, se per ogni valore di ''x'', intero, assumono valori ''congrui mod n'', vale a dire che ''P(x) – Q(x) ''  <math>\equiv </math> ''0 mod n''.
:Due numeri sono ''congrui mod n'' [[se e solo se]] divisi per ''n'' hanno lo stesso resto
{{vedi anche|Congruenze polinomiali|Aritmetica modulare}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Conica (curva o funzione)===
:[[Curva (matematica)|Curva]] piana esprimibile mediante un polinomio di 2° [[#Grado di un polinomio|grado]]. Il nome deriva dal fatto che queste curve ([[circonferenza]], [[ellisse]], [[parabola (geometria)|parabola]]. [[iperbole (geometria)|iperbole]]) si ottengono sezionando la [[superficie conica|superficie di un cono]] con un [[piano (geometria)|piano]]
{{vedi anche|Conica}} <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Contenuto ===
:Il contenuto di un polinomio è il [[massimo comune divisore]] dei suoi coefficienti
{{vedi anche|Contenuto (matematica)}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Criterio di Eisenstein===
: È un criterio per dimostrare l'[[#Irriducibile (polinomio)|irriducibilità]] dei [[#Primitivo (polinomio)|polinomi primitivi]] a coefficienti interi
{{vedi anche|Criterio di Eisenstein}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Criterio di Routh-Hurwitz===
:Criterio per determinare il numero di [[#Radici di un polinomio|radici]] con parte reale positiva di un polinomio in una variabile con radici complesse. È una generalizzazione della [[#Regola dei segni di Cartesio|regola di Cartesio]] (applicabile solo ai polinomi con radici [[numero reale|reali]]). Il criterio prevede l'utilizzo di [[matrici]] e [[Determinante (algebra)|determinanti]]
{{vedi anche|Criterio di Routh-Hurwitz}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Cubica (curva o funzione)===
:[[Curva (matematica)|Curva]] piana esprimibile mediante un polinomio di 3° [[#Grado di un polinomio|grado]] della forma  <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

==D==
=== Decomposizione in frazioni parziali ===
: Tecnica di calcolo che permette di trasformare il rapporto tra due polinomi ''P(x)'' e ''Q(x)'', di cui ‘'P’' abbia grado inferiore di ‘'Q’', nella somma di più rapporti di polinomi di [[#Grado di un polinomio|grado]] inferiore a quelli dati
{{vedi anche| Decomposizione in frazioni parziali sui reali }}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Diofanteo (polinomio)===
:Polinomio in cui tutti i coefficienti e tutte le variabili sono numeri interi. Polinomi diofantei in più variabili potrebbero non avere radici (intere) come per esempio <math>p(x,y,z)=x^n+y^n-z^n</math> quando <math>n>2</math> ([[ultimo teorema di Fermat]])
{{vedi anche|Equazione diofantea}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Disequazione algebrica ===
:[[Disequazione]], ovvero [[relazione d'ordine]] di disuguaglianza fra due polinomi ad una o più incognite e ricerca dei valori (generalmente [[intervallo (matematica)|intervalli]]) delle incognite che soddisfano questa relazione.
:Una disequazione fra due polinomi può sempre essere trasformata in una disequazione di cui uno dei due polinomi (membri della disequazione) è uguale a ''0'' . Sotto questa forma la disequazione si dice:
***lineare se il polinomio non nullo è di [[#Grado di un polinomio|grado]] ‘'1’';
***quadratica se è di grado "2;
***cubica se è di grado "3"
{{vedi anche| Disequazione algebrica }}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Disequazione fratta ===
:[[Disequazione]], ovvero [[relazione d'ordine]] di disuguaglianza in cui almeno una delle incognite compare nel denominatore di almeno una [[frazione (matematica)|frazione]]. Una disequazione fratta può sempre ricondursi ad un [[sistema di equazioni|sistema]] di [[#Disequazione algebrica|disequazioni algebriche polinomiali]], purché numeratori e denominatori delle frazioni date siano a loro volta dei [[#Algebrico (polinomio)|polinomi algebrici]]
{{vedi anche|Disequazione fratta}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Divisione di polinomi===
:Due polinomi ''A(x)'' e ''B(x)'' nella variabile ''x'', di cui il primo abbia [[#Grado di un polinomio|grado]] maggiore o uguale al secondo, possono essere divisi fra di loro per ottenere un polinomio quoziente ''Q(x)'' e un polinomio resto ''R(x)'' per i quali vale la relazione ''A(x) = B(x)Q(x) + R(x)'' (il grado di quest'ultimo è inferiore a quello del polinomio [[divisore]]).
:La [[#Regola di Ruffini|regola di Ruffini]] per dividere polinomi è applicabile solo se il denominatore è un [[#Binomio|binomio]].
:Se i polinomi hanno i [[#Coefficienti di un polinomio|coefficienti]] appartenenti ad un [[campo (matematica)|campo]] (per esempio [[numero reale|numeri reali]] o [[numero complesso|complessi]]), quoziente e resto sono unici per ogni coppia di polinomi
{{vedi anche|Divisione dei polinomi}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==E==
===Equazione algebrica===
:Una equazione è una [[uguaglianza (matematica)|uguaglianza]] fra due [[Espressione matematica|espressioni]] matematiche verificata per particolari valori di una i più quantità [[variabile (matematica)|variabili]] dette '' incognite''. Se le due espressioni messe a confronto sono [[#Algebrico (polinomio)|polinomi algebrici]], l'equazione si dice ''algebrica''.
:Un'equazione algebrica si può sempre riportare al caso in cui uno dei due polinomi di confronto sia il [[#Nullo (polinomio)|polinomio nullo]] (zero).
:Il grado di una [[equazione algebrica]] è il [[#Grado di un polinomio|grado del polinomio]] non nullo, considerato solo nelle incognite (quindi escluse altre variabili o parametri)
{{vedi anche|Equazione algebrica}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Esponenziali (polinomi)===
:Sinonimo di [[#Touchard (polinomi di)|polinomi di Touchard]]

==F==
===Fibonacci  (polinomi di)===
:I [[polinomi di Fibonacci]] costituiscono una [[#Sequenza polinomiale|sequenza polinomiale]] definita ricorsivamente in modo analogo alla definizione dell'omonima [[Successione di Fibonacci|successione]]:
:<math>F_1(x)=1</math>;
:<math>F_2(x)=x</math>
:<math>F_n(x)=xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),</math> se ''n > 2''
{{vedi anche|Polinomi di Fibonacci}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Formula di Newton===
:Sinonimo di [[#Teorema binomiale|Teorema binomiale]]
<small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Funzione lineare ===
: Funzione di una variabile espressa mediante un polinomio di 1° [[#Grado di un polinomio|grado]]. In [[geometria analitica]] rappresenta una retta
{{vedi anche|Funzione lineare}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Formule di Viète ===
:Formule che mettono in relazione le [[#Radici di un polinomio|radici di un polinomio]] in una variabile e i suoi [[#Coefficienti di un polinomio|coefficienti]].
:Per esempio in un polinomio di 2º grado <math>P(x)=ax^2 + bx + c</math>, la [[formula di Viète]] mette in relazione le radici <math>x_1</math> e <math>x_2</math> dell'equazione <math>P(x)=0</math> e i coefficienti ''a, b, c'':
:<math> x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.</math>
{{vedi anche|Formule di Viète}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>
 
===Funzioni polinomiali===
:Funzioni matematiche esprimibili tramite un polinomio in una o più variabili. Per esempio la funzione polinomiale <math>f(x)=ax+b,</math> rappresenta una [[retta]], <math>f(x,y)=ax+by+c,</math> rappresenta un [[#piano (geometria)|piano]]
{{vedi anche|Funzione polinomiale}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==G==
===Gegenbauer (polinomi di)===
: I polinomi di [[Gegenbuauer]] (detti anche polinomi ultrasferici) sono le soluzioni delle [[equazioni differenziali di Gegenbauer]] ([[equazioni differenziali]] del secondo ordine). Sono una generalizzazione dei [[#Legendre (polinomi di)|polinomi di Legendre]] e costituiscono una [[#Sequenza polinomiale|sequenza polinomiale]] di [[#Ortogonali (polinomi)|polinomi ortogonali]]
:Riferimenti esterni: [http://mathworld.wolfram.com/GegenbauerPolynomial.html GegenbauerPolynomial]
{{vedi anche|Polinomi di Gegenbauer}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Grado di un monomio===
:Il grado di un monomio è la somma degli esponenti dei suoi elementi simbolici (variabili). Un monomio costante (costituito solo da un numero) è di grado zero.
:Per es. il monomio <math>3 a b^2 c^4 </math> è di grado ''7''.
{{vedi anche|Monomio#Il grado di un monomio}}<nowiki>  </nowiki><small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Grado di un polinomio===
:Il grado di un polinomio è pari al grado del suo monomio di massimo grado.
:Per es. il polinomio <math>3 a b^2 c^2 + 5 a b^3 + 7 a^4 b c^3</math> è di grado 8.
{{vedi anche|Polinomio#Nomenclatura}}<nowiki>  </nowiki><small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==H==
=== Hermite (polinomi di) ===
:I polinomi di [[Charles Hermite|Hermite]] costituiscono una [[#Sequenza polinomiale|sequenza polinomiale]] in cui l{{'}}''n''-esimo polinomio (di [[#Grado di un polinomio|grado]]  ''n'') è definito tramite una funzione esponenziale e la sua derivata n-esima. Fra i loro utilizzi spicca il [[calcolo delle probabilità]]
{{vedi anche|Polinomi di Hermite}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Hurwitz  (polinomio di)===
:Polinomio in cui tutte le [[#Radici di un polinomio|radici]] sono numeri complessi aventi parte reale negativa. Per essere di [[Adolf Hurwitz|Hurwitz]], è necessario, ma non sufficiente, che tutti i coefficienti del polinomio siano positivi; viceversa, siccome tutte le radici del polinomio si trovano nella parte sinistra del piano complesso, per essere di Hurwitz è necessario e sufficiente che il polinomio soddisfi il [[#Criterio di Routh-Hurwitz|criterio di Routh-Hurwitz]]

<small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==I==
===Identità di Newton===
:Le identità di [[Isaac Newton|Newton]] rappresentano un metodo per descrivere le [[#Radici di un polinomio|radici di un polinomio]].. Sono formule ricorrenti basate sugli autovalori di una matrice a sua volta legata al [[#Caratteristico (polinomio)|polinomio caratteristico]]
{{vedi anche|Identità di Newton}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Invertibile (polinomio) ===
:Un polinomio è invertibile se ne esiste un altro che moltiplicato con il primo dà, come prodotto, l'unità. Ogni polinomio che sia un [[#Monomio|monomio]] costante è invertibile. Si può dimostrare che le costanti sono gli unici polinomi invertibili
{{vedi anche|Polinomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Ipergeometrici (polinomi)===
:Sinonimo di [[#Jacobi (polinomi di)|polinomi di Jacobi]]
<small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Irriducibile (polinomio)===
:Un polinomio è irriducibile se non esistono due polinomi (di [[#Grado di un polinomio|grado]] inferiore) che moltiplicati fra loro diano il polinomio dato. La riducibilità o meno di un polinomio dipende fortemente dal [[campo (matematica)|campo]] a cui appartengono i coefficienti: per esempio il polinomio <math>p(x) = x^2+1</math> è irriducibile in campo reale, mentre è riducibile in campo complesso: <math>p(x)=(x-i)(x+i)</math>
{{vedi anche|Polinomio irriducibile}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==J==
===Jacobi (polinomi di)===
:I polinomi di [[Carl Jacobi|Jacobi]], detti anche polinomi ipergeometrici, sono una [[#Sequenza polinomiale|sequenza]] di [[#Ortogonali (polinomi)|polinomi ortogonali]] a due parametri. Utili nello studio dei [[gruppi di rotazione]] e nella soluzione di equazioni del moto. Costituiscono le soluzioni dell'[[equazione differenziale di Jacobi]]
{{vedi anche|Polinomi di Jacobi}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==L==
=== Laguerre (polinomi di) ===
:I polinomi di [[Edmond Nicolas Laguerre|Laguerre]] costituiscono una [[#Sequenza polinomiale|sequenza]] di [[#Ortogonali (polinomi)|polinomi mutuamente ortogonali]], definiti ricorsivamente nel seguente modo:
:<math>L_0=1</math>
:<math>L_1=-x+1</math>
:<math>(n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_n(x)-nL_{n-1}(x)</math> .
:Costituiscono le soluzioni della [[equazione differenziale di Laguerre]] e hanno numerose applicazioni
{{vedi anche|Polinomi di Laguerre}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Legendre (polinomi di) ===
:I polinomi di [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] costituiscono una [[#Sequenza polinomiale|sequenza polinomiale]] di [[#Ortogonali (polinomi)|polinomi mutuamente ortogonali]] che rappresentano le soluzioni di casi particolari dell'[[equazione differenziale di Legendre]]
Riferimenti esterni [https://en.wikiversity.org/wiki/Legendre_differential_equation Legendre differential equation]
{{vedi anche|Polinomi di Legendre}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Lemma di Gauss sui polinomi ===
:Quando si parla di lemma di [[Gauss]] relativamente ai polinomi, in realtà si parla di due lemmi, di cui il secondo è una conseguenza diretta del primo:
** il prodotto di due [[#Primitivo (polinomio)|polinomi primitivi]] è anch'esso primitivo;
** se un polinomio a coefficienti interi è [[#Irriducibile (polinomio)|irriducibile]] negli interi, allora è irriducibile anche nei razionali
{{vedi anche|Lemma di Gauss (polinomi)}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==M==
=== Matrice di Sylvester ===
:La matrice di Sylvester è una [[matrice quadrata]] associata ad una coppia di polinomi in una variabile, che permette di verificare se i polinomi hanno un fattore comune non costante. La matrice, il cui [[matrice quadrata|ordine]] è la somma dei [[#Grado di un polinomio|gradi]] dei due polinomi, si ottiene scrivendo nella prima riga i coefficienti dei polinomi, riempita a destra con “zeri” per gli elementi mancanti, e nelle righe successive gli stessi valori [[permutazione|permutati ciclicamente]]; infine le ultime righe si costruiscono in modo analogo con i coefficienti del secondo polinomio
{{vedi anche|Matrice di Sylvester}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Monomi simili===
:Monomi che differiscono soltanto per la parte costante, mentre hanno identiche parti letterali. Due monomi simili possono essere sommati e formare un ulteriore monomio, simile ai primi due, in cui la parte costante è la somma delle costanti degli addendi
{{vedi anche|Monomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Monomio===
:Un monomio è una espressione matematica costituita da una costante presa in una struttura algebrica (tipicamente un numero reale o complesso) e/o una o più variabili (“parte letterale”), solitamente indicate con lettere dell'alfabeto latino, che rappresentano un elemento generico, legati solamente dalle operazioni di moltiplicazione e/o divisione (in realtà dire “divisione” è superfluo in quanto ogni divisione è equivalente ad una “moltiplicazione” per il reciproco del divisore). Esempi di monomi:
:<math> 3, \quad x, \quad 5ab, \quad \sqrt 2 ab^3, \quad -y^3x^4z, \quad 3a^n </math>.
:La somma algebrica di due o più monomi forma un [[#Polinomio|polinomio]]
{{vedi anche|Monomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Monico (polinomio)===
:Polinomio in una sola variabile in cui il coefficiente del monomio di grado massimo è uguale ad ''1''
{{vedi anche|Polinomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==N==
===Nodi di Chebyshev (o Čebyšëv)===
:I nodi di [[Pafnutij L'vovič Čebyšëv|Chebyshev]] sono le [[#Radici di un polinomio|radici]] dei [[#Chebyshev (o Čebyšëv) (polinomi di)|polinomi di Chebyshev]]
{{vedi anche|Nodi di Čebyšëv}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Nullo (polinomio)===
:Polinomio costituito solo da zeri. Elemento neutro per la somma di polinomi
{{vedi anche|Polinomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==O==
===Omogeneo (polinomio)===
:Polinomio i cui monomi hanno tutti lo stesso [[#Grado di un polinomio|grado]]
{{vedi anche|Polinomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Operatore shift-equivariante ===
:Un [[operatore di shift|operatore shift]]-equivariante è un operatore che agisce su funzioni ‘'f(x)'’ e commuta con le traslazioni.
:{{vedi anche|Operatore shift-equivalente}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Ortogonali (polinomi)===
:Due polinomi si dicono ortogonali in un dato intervallo e rispetto ad una data funzione “peso”, se l'integrale su quell'intervallo del prodotto dei polinomi e della funzione peso è uguale a zero; l'operazione di integrazione detta sopra è praticamente un [[prodotto interno]] in uno [[spazio vettoriale]].
:Una famiglia, anche di infiniti elementi,si dice una famiglia di polinomi ortogonali se l'eguaglianza descritta sopra vale per ogni coppia di polinomi.
: Esempi di successioni di [[polinomi ortogonali]] sono:
**I [[#Hermite (polinomi di)|polinomi di Hermite]], in cui la funzione “peso” è la [[distribuzione normale]] di probabilità;
**i [[#Legendre (polinomi di)|polinomi di Legendre]] nell'intervallo [−1, 1], in cui la funzione “peso” è la [[Variabile casuale rettangolare|distribuzione uniforme di probabilità]]
{{vedi anche|Polinomi ortogonali}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Ortonormali (polinomi)===
:Polinomi fra loro ortogonali si dicono ortonormali nello stesso intervallo e rispetto alla stessa funzione “peso” di ortogonalità, se l'integrale su quell'intervallo del prodotto di ogni polinomio moltiplicato per e stesso e per la funzione peso è uguale a ''1''
{{vedi anche|Polinomi ortonormali}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==P==
===Polinomio===
:Un polinomio è la somma algebrica di due o più [[#Monomio|monomi]] ciascuno dei quali è chiamato [[#Termine di un polinomio|termine]]
{{vedi anche|Polinomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Primitivo (polinomio)===
:Un polinomio in una variabile in cui il [[massimo comun divisore]] dei suoi coefficienti è uguale ad ''1'' si dice “primitivo”.
{{vedi anche|Polinomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Prodotto di polinomi===
:Il prodotto di due polinomi dà come risultato un altro polinomio. Il prodotto si realizza moltiplicando ogni [[#Termine di un polinomio|termine]] del primo polinomio con tutti i termini del secondo e sommando tutti i valori trovati. Se i polinomi sono a valori [[numero reale|reali]] o [[numero complesso|complessi]], il prodotto fra polinomi è commutativo
{{vedi anche|Polinomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==Q==
===Quartica (curva)===
:Una [[curva (matematica)|curva]] quartica è una curva piana esprimibile mediante un polinomio di quarto grado a due variabili
{{vedi anche|Curva quartica}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==R==
===Radici di un polinomio===
:Le radici di un polinomio sono quei valori delle variabili che annullano il polinomio. Se il polinomio <math>p(x)</math> ha una sola variabile, le sue radici sono i valori <math>x_i</math> tali che <math>p(x_i)=0</math>. Un polinomio di [[#Grado di un polinomio|grado]] ''n'' ha al più ''n'' radici, anzi ne ha esattamente ''n'' in [[numero complesso|campo complesso]] e tenendo conto delle [[radice (matematica)#Molteplicità di una radice|radici multiple]]
{{vedi anche|Radice (matematica)|polinomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Regola dei segni di Cartesio===
:La regola di [[Cartesio]] sui segni (positività/negatività) delle [[#Radici di un polinomio|radici di un polinomio]] di [[#Grado di un polinomio|grado]] ''n'' si applica solo se tutte le radici del polinomio sono [[numero reale|reali]]. Essa afferma che il numero di radici reali positive (tenendo conto anche delle [[radice (matematica)#Molteplicità di una radice|radici multiple]]) è dato dal numero di cambi di segno fra due coefficienti consecutivi.
:La sua generalizzazione al [[campo complesso]] è realizzata dal [[#Criterio di Routh-Hurwitz|criterio di Routh-Hurwitz]]
{{vedi anche|Regola dei segni di Cartesio| Criterio di stabilità di Routh }}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Regola di Ruffini===
:La regola di [[Paolo Ruffini (matematico)|Ruffini]] è un [[algoritmo]] per effettuare la divisione di un polinomio in una [[variabile (matematica)|variabile]] per un [[#Binomio|binomio]] di primo [[#Grado di un polinomio|grado]] nella stessa variabile. L'algoritmo permette di trovare sia il polinomio [[quoziente]] che il polinomio [[resto]]. È un algoritmo semplificato rispetto a quello generale per la [[#Divisione di polinomi|divisione di polinomi]]. Si sostiene che sia pubblicato da Ruffini nel 1809.
{{vedi anche|Regola di Ruffini}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Ridotto in forma normale (polinomio)===
:Polinomio in cui sono stati accorpati i [[#Monomi simili|monomi simili]] e sono stati eliminati i termini nulli
{{vedi anche|Polinomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Riducibile (polinomio) ===
:Un polinomio è riducibile se è possibile trovare due polinomi (di [[#Grado di un polinomio|grado]] inferiore) che moltiplicati fra loro diano il polinomio dato. La riducibilità o meno di un polinomio dipende fortemente dal [[campo (matematica)|campo]] a cui appartengono i coefficienti: per esempio il polinomio <math>p(x) = x^2+1</math> è riducibile in campo complesso (<math>p(x)=(x-i)(x+i)</math>), ma irriducibile in campo reale
{{vedi anche|Polinomio irriducibile}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Risultante di due polinomi===
:Per risultante di due polinomi si intende il [[Determinante (algebra)|determinante]] della loro [[#Matrice di Sylvester|matrice di Sylvester]]
{{vedi anche|Matrice di Sylvester}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==S==
=== Separabile (polinomio) ===
:Due sono le definizioni di polinomio separabile:
**un polinomio è separabile se i suoi fattori [[#Irriducibile (polinomio)|irriducibili]] hanno tutte le [[#Radici di un polinomio|radici]] distinte nel proprio [[#Campo di spezzamento di un polinomio|campo di spezzamento]]
**un polinomio è separabile se non ha [[radice (matematica)#Molteplicità di una radice|radici multiple]]
:La seconda definizione è più restrittiva della prima, ma coincide con essa nel caso di [[#Irriducibile (polinomio)|polinomi irriducibili]]
{{vedi anche|Polinomio separabile}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Sequenza di Appell ===
:Una sequenza di [[Paul Émile Appell|Appell]] è una [[#Sequenza polinomiale|sequenza polinomiale]] per i cui componenti p<sub>n</sub>(x) vale l'uguaglianza d/dx p<sub>n</sub>(x) = n p<sub>n-1</sub>(x)p~. Il loro insieme è contenuto propriamente nell'insieme delle [[#Sequenza di Sheffer|sequenze di Sheffer]] ed è distinto dall'insieme delle sequenze di tipo binomiale
{{vedi anche|Sequenza di Appell| Paul Émile Appell}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Sequenza di polinomi ortogonali===
:[[#Sequenza polinomiale|Sequenza polinomiale]] costituita da polinomi fra loro tutti [[#Ortogonali (polinomi)|ortogonali]].
{{vedi anche|Polinomi ortogonali}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Sequenza di polinomi ortonormali===
:[[#Sequenza polinomiale|Sequenza polinomiale]] costituita da [[#Ortonormali (polinomi)|polinomi ortonormali]].
{{vedi anche|Polinomi ortogonali}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Sequenza di tipo binomiale===
:[[#Sequenza polinomiale|Sequenza polinomiale]] per i cui componenti valgono le uguaglianze
:<math>p_n(x,y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}\, p_k(x)\, p_{n-k}(y).</math>
:Il loro insieme è contenuto propriamente nell'insieme delle [[#Sequenza di Sheffer|sequenze di Sheffer]]
{{vedi anche|Sequenza di tipo binomiale}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Sequenza di Sheffer===
:[[#Sequenza polinomiale|Sequenza polinomiale]] per i cui componenti p<sub>n</sub>(x) vale una uguaglianza del tipo Q p<sub>n</sub>(x) = n p<sub>n-1</sub>(x)p per qualche operatore shift-covariante Q
{{vedi anche|Sequenza di Sheffer}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Sequenza polinomiale===
: Successione di polinomi ''p<sub>n</sub>(x) '' per ''n=0,1,2,.. ''. tale che ''p<sub>n</sub>(x) '' ha [[#Grado di un polinomio|grado]] ''n''
{{vedi anche|Sequenza polinomiale}} <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Successione polinomiale graduale===
:Sinonimo di [[#Sequenza polinomiale|sequenza polinomiale]].

=== Sequenza di Sturm ===
:Una sequenza di [[Rudolf Sturm|Sturm]] su un intervallo finito o infinito (''a,b)'' è una [[#Sequenza polinomiale|sequenza finita di polinomi]] ''p<sub>1</sub>(x), p<sub>2</sub>(x), ...,  p<sub>n</sub>(x)'' in cui l'ultimo polinomio ''p<sub>n</sub>(x)'' non si annulla mai nell'intervallo ''(a,b)'', e per ogni radice <math>x_0</math> di uno qualunque degli altri polinomi <math> p_k(x) </math> si ha
:''p<sub>k-1</sub>(x<sub>0</sub>) p<sub>k+1</sub>(x<sub>0</sub>)  < 0''
{{vedi anche|Sequenza di Sturm}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>
===Simmetrico (polinomio)===
:Polinomio che non varia se si scambiano fra loro due o più variabili, come, per esempio nel polinomio <math>x^2 + y^2 + z^2</math>
{{vedi anche|Polinomio simmetrico}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Somma di polinomi===
:Sommare due polinomi significa formare un terzo polinomio sommando algebricamente tutti i [[#Monomio|monomi]] dei due polinomi addendi eseguendo nel contempo la somma dei [[#Monomi simili|monomi simili]]
{{vedi anche|Polinomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Sviluppo binomiale===
:Sinonimo di [[#Teorema binomiale|Teorema binomiale]]
<small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==T==
===Teorema binomiale===
:Il teorema binomiale (chiamato anche '''formula o binomio di Newton''') esprime lo sviluppo della [[potenza (matematica)|potenza]] ''n''-ma di un [[#Binomio|binomio]]. Considerato il binomio <math>(a+b)</math>, allora il teorema binomiale afferma che <math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{k}</math> dove <math> {n \choose k}</math> rappresenta il [[#Coefficiente binomiale|coefficiente binomiale]], che vale <math>\frac{n!}{k! \cdot \left( n - k \right)!}</math>  (''n''! è il [[fattoriale]] di ''n''):
:Il teorema vale per i [[numero reale|numeri reali]], i [[numero complesso|complessi]], e in generale vale in ogni [[anello commutativo]].
{{vedi anche|Teorema binomiale}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Teorema del resto===
:Il teorema del resto afferma che il resto della divisione di un polinomio ''P(x)'' per il [[#Binomio|binomio]] ''(x-a)'' (il resto è quindi una costante) corrisponde al valore che il polinomio assume in ''a'', quindi a ''P(a)''
{{vedi anche|Teorema del resto}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Teorema delle radici razionali===
:Il teorema delle radici razionali afferma che le eventuali radici [[numero razionale|razionali]] di un polinomio a [[#Coefficienti di un polinomio|coefficienti]] [[numero intero|interi]] in una variabile, hanno come [[numeratore]] un [[divisore]] del termine noto e come [[denominatore]] un divisore del coefficiente direttore (coefficiente del monomio di grado massimo)
{{vedi anche|Teorema delle radici razionali}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Teorema di Abel-Ruffini===
:Questo teorema afferma che non è possibile trovare una formula generale che permetta di esprimere, tramite radicali, le soluzioni di [[#Equazione algebrica|equazioni algebriche]] complete di [[#Grado di un polinomio|grado]] superiore al quarto
{{vedi anche|Teorema di Abel-Ruffini}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Teorema di Ruffini ===
:Il teorema di Ruffini è un [[corollario]] del [[#Teorema del resto|teorema del resto]] e afferma che un polinomio ''P(x)'' è divisibile per il [[#Binomio|binomio]] ''(x-a)'' se e solo '' P(a)=0''. In questo modo è possibile sapere se un polinomio è divisibile per un binomio senza eseguire la divisione
{{vedi anche|Teorema di Ruffini}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

=== Teorema fondamentale dell'algebra ===
:Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni polinomio a [[#Coefficienti di un polinomio|coefficienti]] [[numero complesso|complessi]] ha sempre almeno una [[#Radici di un polinomio|radice]] complessa. Dal teorema segue che il polinomio ammette precisamente ''n'' radici, contate con la loro [[radice (matematica)#Molteplicità di una radice|molteplicità]].
{{vedi anche|Teorema fondamentale dell'algebra}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Termine di un polinomio===
:Ciascuno dei [[#Monomio|monomi]] che costituiscono il polinomio
{{vedi anche|Polinomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Termine noto (di un polinomio)===
:[[#Monomio|Monomio]] di [[#Grado di un monomio|grado]] zero di un polinomio [[#Ridotto in forma normale (polinomio)|ridotto in forma normale]]. È costituito solo da un numero (non contiene variabili)
{{vedi anche|Polinomio}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Touchard (polinomi di)===
:I polinomi di [[Jacques Touchard|Touchard]] costituiscono una [[#Sequenza di tipo binomiale|sequenza polinomiale di tipo binomiale]] che può essere definita ricorsivamente tramite la formula  <math>T_{n+1}(x)=x\sum_{k=0}^n{n \choose k}T_k(x).</math>
:Sono chiamati anche “polinomi esponenziali”
{{vedi anche|Polinomi di Touchard}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Trinomio===
:Polinomio costituito da tre monomi
{{vedi anche|Polinomio|Trinomio}} <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

===Trigonometrici (polinomi)===
:Un polinomio trigonometrico è una [[combinazione lineare]] delle [[funzioni trigonometriche]] ''seno'' e ''coseno''. In pratica quindi è un polinomio in cui le variabili sono mediate da una funzione trigonometrica (per es. <math>3sen^2(x)+2cos(x)-5sen(x)cos(y)</math>)
{{vedi anche|Polinomio trigonometrico}} <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

==U==
===Ultrasferico (polinomio)===
:Sinonimo di [[#Gegenbauer (polinomi di)|polinomio di Gegenbauer]]

==W==
===Wilkinson (polinomio di)===
:Il polinomio di [[James H. Wilkinson|Wilkinson]] riguarda lo studio di algoritmi per la ricerca delle [[#Radici di un polinomio|radici dei polinomi]]. È definito come
:<math> w(x) = \prod_{i=1}^{20} (x - i) = (x-1)(x-2) \cdots (x-20). </math>
{{vedi anche|Polinomio di Wilkinson}}  <small>[[#Indice|[indice]]]</small>

== Voci correlate ==
*[[Progetto:Matematica/Elenco di voci sui polinomi]]
*[[Progetto:Matematica/Indici]]

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Polinomi]]
[[Categoria:Glossari di matematica|Polinomi]]