Visualizza wikitesto di Meccanica del contatto

[[File:Kontakt Spannungsoptik.JPG|upright=1.3|thumb|Le tensioni in un'area di contatto caricata simultaneamente con una forza normale e tangenziale. Le tensioni sono state rese visibili usando la [[fotoelasticità]].]]

La '''meccanica del contatto''' è lo studio della [[deformazione]] di [[solidi]] che si toccano in uno o più punti.<ref name="Johnson">K. L. Johnson, ''Contact mechanics'', Cambridge University Press, 1985 (ristampa 1987). ISBN 978-0-521-34796-9.</ref><ref name="Popov">Valentin L. Popov, ''Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications'', Springer-Verlag, 2010. ISBN 978-3-642-10802-0.</ref> La formulazione fisica e matematica dell'argomento si basa sulla [[meccanica dei materiali]] e sulla [[meccanica del continuo]] e si concentra su calcoli che coinvolgono corpi [[Elasticità (meccanica)|elastici]], [[Viscoelasticità|viscoelastici]] e [[Plasticità (fisica)|plastici]] in contatto [[Statica|statico]] o [[Dinamica (fisica)|dinamico]]. Gli aspetti centrali nella meccanica del contatto sono le [[Pressione|pressioni]] e l'[[adesione]] che agiscono perpendicolarmente alle superfici dei corpi a contatto, la [[Normale (superficie)|direzione normale]] e le [[Tensione interna|tensioni]] di [[attrito]] che agiscono [[Tensione interna#Tensioni normali e tangenziali|tangenzialmente]] tra le superfici. Questo articolo si concentra principalmente sulla direzione normale, cioè sulla meccanica del contatto senza attrito. La [[meccanica del contatto con attrito]] è descritta separatamente.

== Storia ==
[[File:Hertz contact animated.gif|upright=1.3|thumb|Quando una sfera viene premuta contro un materiale elastico, l'area di contatto aumenta.]]
La meccanica del contatto classica è associata più in particolare con Heinrich Hertz.<ref name=Hertz>H. R. Hertz, ''Über die Beruehrung elastischer Koerper'' (''Sul contatto tra corpi elastici''), 1882, in ''Gesammelte Werke'' (''Opere raccolte''), Vol. 1, Lipsia, Germania, 1895.</ref> Nel 1882, Hertz risolse il problema del contatto di due corpi elastici con superfici curve. Questa soluzione classica, ancora pertinente, fornisce un fondamento per i problemi moderni della meccanica del contatto. Ad esempio, in [[ingegneria meccanica]] e in [[tribologia]], la ''tensione di contatto hertziana'' è una descrizione della tensione all'interno di parti accoppiate. La tensione di contatto hertziana di solito si riferisce alla tensione vicino all'area di contatto tra due sfere di raggio diverso.

Fu solo quasi cento anni dopo che [[Kenneth L. Johnson|Johnson]], Kendall e Roberts trovarono una soluzione simile per il caso di contatto [[Adesione|adesivo]].<ref name=jkr>Johnson, K. L., Kendall, K. e Roberts, A. D. (1971). "Surface energy and the contact of elastic solids", ''Proc. R. Soc. London A 324'', pp. 301-313</ref> Questa teoria fu rifiutata da [[Boris Derjagin]] e dai collaboratori<ref name="Maugis">D. Maugis, ''Contact, Adhesion and Rupture of Elastic Solids'', Berlino, Springer-Verlag, Solid-State Sciences, 2000. ISBN 3-540-66113-1.</ref> che proposero una diversa teoria dell'adesione<ref name=dmt>Derjagin, B. V., Muller, V. M. e Toporov, Y. P. (1975). "Effect of contact deformations on the adhesion of particles", ''J. Colloid Interface Sci.'', 53, pp. 314-325.</ref> negli anni 1970. Il modello di Derjagin finì per essere conosciuto come il modello DMT (da Derjagin, Muller e Toporov),<ref name=dmt/> e il modello di Johnson et al. finì per essere conosciuto come il modello JKR (da Johnson, Kendall e Roberts) per il contatto elastico adesivo. Questo rifiuto si rivelò strumentale nello sviluppo dei parametri di Tabor<ref name=Tabor>Tabor, D. (1977). "The hardness of solids", ''J. Colloid Interface Sci.'', 58, pp. 145-179.</ref> e in seguito di Maugis<ref name=Maugis/><ref>Maugis, D. (1992). "Adhesion of spheres: The JKR-DMT transition using a Dugdale model", ''J. Colloid Interface Sci.'', 150, pp. 243-269.</ref> che quantificano quale modello di contatto (dei modelli JKR e DMT) rappresenta meglio il contatto adesivo per materiali specifici.

Ulteriori progressi nel campo della meccanica del contatto a metà del XX secolo possono essere attribuiti a nomi come Bowden e [[David Tabor|Tabor]]. Bowden e Tabor furono i primi a enfatizzare l'importanza della [[rugosità]] delle superfici per i corpi a contatto.<ref name=bowden1939>Bowden, F. P. e Tabor, D. (1939). "The area of contact between stationary and between moving surfaces", ''Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences'', 169 (938), pp. 391-413.</ref><ref name=bowden2001>F. P. Bowden e D. Tabor, ''The friction and lubrication of solids'', Oxford University Press, 2001.</ref> Attraverso l'indagine sulla rugosità delle superfici, si trova che la vera area di contatto tra gli elementi in attrito è minore dell'area di contatto apparente. Tale conoscenza cambiò drasticamente anche la direzione delle iniziative in tribologia. Le opere di Bowden e Tabor produssero varie teorie sulla meccanica del contatto delle superfici rugose.

Nella discussione dei lavori pionieristici in questo campo devono essere menzionati anche i contributi di Archard (1957)<ref name=archard1957>Archard, J. F.  (1957). "Elastic deformation and the laws of friction", ''Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences'', 243(1233), pp.190-205.</ref>. Archard concluse che, anche per le superfici elastiche rugose, l'area di contatto è approssimativamente proporzionale alla [[forza normale]]. Ulteriori importanti intuizioni lungo queste linee furono fornite da Greenwood e Williamson (1966),<ref>Greenwood, J. A. e Williamson, J. B. P. (1966). "Contact of nominally flat surfaces", ''Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences'', pp. 300-319.</ref> Bush (1975),<ref>Bush, A. W., Gibson, R. D. e Thomas, T. R. (1975). ''The elastic contact of a rough surface'', ''Wear'', 35 (1), pp. 87-111.</ref> e Persson (2002).<ref>Persson, B. N. J., Bucher, F. e Chiaia, B. (2002). "Elastic contact between randomly rough surfaces: Comparison of theory with numerical results", ''Physical Review B'', 65 (18), p. 184106.</ref> Le principali scoperte di queste opere furono che la vera superficie di contatto nei materiali rugosi è generalmente proporzionale alla forza normale, mentre i parametri dei microcontatti individuali (cioè pressione, dimensione del microcontatto) sono solo debolmente dipendenti dal carico.

== Caratteristiche ==

La meccanica del contatto è fondamentale per il campo dell'[[ingegneria meccanica]]; essa fornisce le informazioni necessarie per la progettazione sicura ed energeticamente efficiente di sistemi tecnici e per lo studio della [[tribologia]] e della [[durezza di indentazione]]. I principi della meccanica del contatto possono essere applicati in aree quali il contatto ruota della locomotiva-rotaia, dispositivi di [[Frizione (meccanica)|frizione]], sistemi [[Freno|frenanti]], [[Pneumatico|pneumatici]], [[Cuscinetto|cuscinetti]], [[Motore a combustione interna|motori a combustione]], snodi meccanici, [[Guarnizione|guarnizioni]] sigillanti, [[lavorazione dei metalli]], formatura dei metalli, [[saldatura a ultrasuoni]], [[Connettore elettrico|contatti elettrici]] e molte altre. Le sfide attuali poste di fronte in questo campo possono includere l'[[analisi delle sollecitazioni]] degli elementi in contatto e in accoppiamento e l'influenza della [[lubrificazione]] e della progettazione dei materiali sull'[[attrito]] e sull'[[Usura (metallurgia)|usura]]. Le applicazioni della meccanica del contatto si estendono inoltre nel campo delle [[Microtecnologia|micro]] e delle [[Nanotecnologia|nanotecnologie]].

Il lavoro originale sulla meccanica del contatto risale al 1882 con la pubblicazione del saggio ''Sul contatto dei solidi elastici rigidi''.<ref>H. Hertz, ''Über die berührung fester elastischer Körper'', in Jones e Schott (cur.), ''[https://www.archive.org/details/cu31924012500306 Miscellaneous Papers]'', ''J. reine und angewandte Mathematik'', 92, Londra, Macmillan, 1896, p. 156. Traduzione inglese: H. Hertz.</ref><ref>{{Cita web|url=https://home.uni-leipzig.de/pwm/web/download/Hertz1881.pdf|titolo=Über die Berührung fester elastischer Körper, Journal für die reine und angewandte Mathematik 92, 156-171 (1881)|autore=[[Heinrich Hertz]]|lingua=DE|pp=156-171|accesso=12 settembre 2023|urlmorto=sì|dataarchivio=30 novembre 2016|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20161130140833/https://home.uni-leipzig.de/pwm/web/download/Hertz1881.pdf}}</ref> Hertz stava tentando di capire come le proprietà ottiche di [[Lente|lenti]] multiple, impilate potrebbero cambiare con la [[forza]] che le tiene insieme. La tensione di contatto hertziano si riferisce alle tensioni localizzate che si sviluppano quando due superfici curve vengono a contatto e si deformano lievemente sotto i carichi imposti. Questo ammontare di deformazione dipende dal [[modulo di elasticità]] del materiale a contatto. Esso dà la tensione di contatto in funzione della forza di contatto normale, dei raggi di curvatura e del modulo di elasticità di entrambi i corpi. La tensione di contatto hertziano costituisce il fondamento delle equazioni per le capacità di portata dei carichi e la resistenza alla [[Fatica (scienza dei materiali)|fatica]] nei cuscinetti, negli ingranaggi e in qualsiasi altro corpo dove sono a contatto due superfici.

== Soluzioni classiche per il contatto elastico non adesivo ==
La teoria del contatto tra corpi elastici può essere usata per trovare le aree di contatto e le profondità di indentazione per geometrie semplici. Alcune soluzioni usate comunemente sono elencate sotto. La teoria usata per calcolare queste soluzioni è discussa in seguito nell'articolo.

=== Contatto tra una sfera e un semispazio elastico ===
[[File:Kontakt Kugel Ebene.jpg|thumb|Contatto tra una sfera e un semispazio elastico.]]
Una [[sfera]] elastica di [[Raggio (geometria)|raggio]] <math>R</math> "indenta" (cioè penetra) un [[semispazio]] alla profondità <math>d</math>, e crea così un'area di contatto di raggio 
:<math>a=\sqrt{Rd}</math> , per <math>a<<R</math> .
La forza applicata <math>F</math> è legata allo spostamento <math>d</math> da
:<math>
  F=\tfrac{4}{3} E^*R^{1/2}d^{3/2}
 </math>
dove
:<math>
  \frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu^2_1}{E_1}+\frac{1-\nu^2_2}{E_2}
</math>
e  <math>E_1</math>, <math>E_2</math> sono i [[Modulo di elasticità|moduli di elasticità]] e <math>\nu_1</math>, <math>\nu_2</math> i [[Coefficiente di Poisson|coefficienti di Poisson]] associati con ciascun corpo.

=== Contatto tra due sfere ===
[[File:Kontakt Kugel Kugel.jpg|upright=0.5|thumb|Contatto tra due sfere.]]
[[File:Kontakt gekreuzter Zylinder.jpg|thumb|Contatto tra due cilindri incrociati di uguale raggio.]]
Per il contatto tra due sfere di raggio <math>R_1</math> e <math>R_2</math>, l'area di contatto è un cerchio di raggio <math>a</math>. La distribuzione della trazione normale nell'area di contatto in funzione della distanza dal centro del cerchio è<ref name="Johnson"/>
:<math>
  p(r) = p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}
 </math>
dove <math>p_0</math> è la pressione di contatto massima data da
:<math>
   p_0 = \cfrac{3F}{2\pi a^2} = \cfrac{1}{\pi}\left(\cfrac{6F{E^*}^2}{R^2}\right)^{1/3}
 </math> ,
dove a sua volta il raggio effettivo <math>R</math> è definito come
:<math>
  \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}
 </math> .
Il raggio del cerchio è legato al carico applicato <math>F</math> dall'equazione
:<math>
   a^3 = \cfrac{3 F R}{4 E^*}
 </math> .
La profondità di indentazione <math>d</math> è legata alla pressione di contatto massima da
:<math>
   d = \cfrac{a^2}{2R} = \cfrac{1}{2}\left(\cfrac{9F^2}{16R{E^*}^2}\right)^{1/3}
 </math> .
Lo [[sforzo di taglio]] massimo si presenta all'interno a <math>z\approx 0,49a</math> per <math>\nu = 0,33</math>.

===Contatto tra due cilindri incrociati di uguale raggio <math>R</math>===
Questo è equivalente al contatto tra una sfera di raggio <math>R</math> e un [[Piano (geometria)|piano]] (vedi sopra).

=== Contatto tra un cilindro rigido e un semispazio elastico ===
[[File:Kontakt Zylindrischer Indenter Ebene.jpg|thumb|Contatto tra un indentatore cilindrico rigido e un semispazio elastico.]]

Se un [[Cilindro (geometria)|cilindro]] viene premuto in un semispazio elastico, crea una distribuzione di pressione descritta da<ref name=Sneddon>Sneddon, I. N. (1965). "The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile", ''Int. J. Eng. Sci.'', 3, pp. 47–57.</ref>
:<math>
   p(r)=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{-1/2}
  </math>
dove <math>a</math> è il raggio del cilindro e
:<math>
  p_0=\frac{1}{\pi}E^*\frac{d}{a}
</math> .
La relazione tra la profondità di indentazione e la forza normale è data da
:<math>
  F=2aE^*d\,
 </math> .

=== Contatto tra un indentatore conico rigido e un semispazio elastico ===
[[File:Kontakt Kegel Ebene.jpg|thumb|Contatto tra un indentatore conico rigido e un semispazio elastico.]]
Nel caso dell'indentazione di un semispazio elastico avente modulo di Young <math>E</math> che usa un indentatore [[Cono (geometria)|conico]] rigido, la profondità della regione di contatto <math>\epsilon</math> e il raggio di contatto <math>a</math> sono legati da<ref name=Sneddon/>
:<math>
  \epsilon=a\tan\theta
    </math>
con <math>\theta</math> definito come l'angolo tra il piano e la superficie laterale del cono. La profondità totale dell'indentazione <math>d</math> è data da
:<math>
d=\frac{\pi}{2}\epsilon</math> .

La forza totale è
:<math>
  F =\frac{\pi E}{2 \left(1-\nu^2\right)} a^2 \tan \theta=\frac{2E}{\pi\left(1-\nu^2\right)}\frac{d^2}{\tan \theta}
</math> .

La distribuzione di pressione è data da
:<math>
  p {\left( r \right)}=\frac{Ed}{\pi a\left(1-\nu^2\right)}\ln\left(\frac{a}{r}+\sqrt{\left(\frac{a}{r}\right)^2-1}\right)
= \frac{Ed}{\pi a\left(1-\nu^2\right)} \cosh^{-1}\left(\frac{a}{r}\right)
</math> .
La tensione ha una [[singolarità]] [[Logaritmo|logaritmica]] alla punta del cono.

=== Contatto tra due cilindri con assi paralleli ===
[[File:Kontakt paralleler Zylinder.jpg|thumb|Contatto tra due cilindri con assi paralleli.]]
Nel contatto tra due cilindri con assi paralleli, la forza è linearmente proporzionale alla profondità di indentazione:
:<math>
  F=\frac{\pi}{4}E^*Ld
</math> .
I raggi di curvatura sono interamente assenti da questa relazione. Il raggio di contatto è descritto attraverso l'abituale relazione
:<math>a=\sqrt{Rd}
</math>
con
:<math>\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}</math>
come nel contatto tra due sfere. La pressione massima è uguale a
:<math>
  p_0=\left(\frac{E^*F}{\pi LR}\right)^{1/2}
</math> .

=== Il metodo della riduzione di dimensionalità ===
[[File:WikipediabilderKap 4.jpg|thumb|Contatto tra una sfera e un semispazio elastico e un modello unidimensionale sostituito.]]
Molti problemi di contatto possono essere facilmente risolti con il metodo della riduzione di dimensionalità (MRD). In questo metodo, lo spazio tridimensionale iniziale è sostituito con il contatto di un corpo con un sottofondo elastico o viscoelastico lineare (vedi figura). Le proprietà dei sistemi unidimensionali in tal modo coincidono esattamente con quelle del sistema tridimensionale originale, se la forma dei corpi è modificata e gli elementi del sottofondo sono definiti secondo le regole del MRD.<ref name=Popov2>Popov, V. L. (2013). "Method of reduction of dimensionality in contact and friction mechanics: A linkage between micro and macro scales", ''Friction'', 1 (1), pp. 41–62.</ref><ref name=Popov3>V. L. Popov e M. Heß, ''Methode der Dimensionsreduktion in Kontaktmechanik und Reibung'', Springer, 2013.</ref>

==Teoria hertziana del contatto elastico non adesivo ==
La teoria elastica del contatto si focalizzava primariamente sul contatto non adesivo dove a nessuna forza di tensione è consentito di presentarsi all'interno dell'area di contatto, cioè i corpi a contatto possono essere separati senza forze di adesione. Sono stati usati vari approcci analitici e numerici per risolvere i problemi di contatto che soddisfano la condizione di non adesione. Forze e [[Momento di un vettore|momenti]] complessi sono trasmessi tra i corpi dove essi si toccano, così i problemi nella meccanica del contatto possono diventare alquanto sofisticati. In aggiunta, le tensioni di contatto sono solitamente una funzione non lineare della deformazione. Per semplificare la procedura della soluzione, si definisce solitamente un [[sistema di riferimento]] nel quale gli oggetti (eventualmente in moto relativo tra loro) sono statici. Essi interagiscono attraverso le trazioni di superficie (o pressioni/tensioni) alla loro interfaccia.

Come esempio, si considerino due oggetti che si incontrino in qualche superficie <math>S</math> nel piano (<math>x</math>,<math>y</math>) con l'asse <math>z</math> assunto normale alla superficie. Uno dei corpi sperimenterà una distribuzione di [[pressione]] <math>p_z=p(x,y)=q_z(x,y)</math> diretta normalmente e distribuzioni della [[Aderenza|trazione di superficie]] nel piano <math>q_x=q_x(x,y)</math> e <math>q_y=q_y(x,y)</math> sulla regione <math>S</math>. In termini di un equilibrio di forze [[Meccanica classica|newtoniano]], le forze
:<math>
  P_z = \int_S p(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ Q_x = \int_S q_x(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ Q_y = \int_S q_y(x,y)~ \mathrm{d}A
 </math>
devono essere uguali e opposte alle forze stabilite nell'altro corpo. Ai momenti corrispondenti a queste forze:
:<math>
  M_x = \int_S y~p(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ M_y = \int_S x~p(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ M_z = \int_S [x~q_y(x,y) - y~q_x(x,y)]~ \mathrm{d}A
  </math>
si richiede anche di annullare le forze tra i corpi così che essi siano [[cinematica]]mente immobili.

=== Assunzioni sulla teoria hertziana ===
Nel determinare i problemi di contatto '''hertziano''' si fanno le seguenti assunzioni:
* le deformazioni sono piccole ed entro il limite elastico,
* ciascun corpo può essere considerato un semispazio elastico, cioè l'area di contatto è molto più piccola del raggio caratteristico del corpo,
* le superfici sono continue e non conformi, e
* le superfici sono prive di attrito.
Complicazioni aggiuntive sorgono quando alcune o tutte queste assunzioni sono violate e tali problemi di contatto sono solitamente chiamati '''non hertziani'''.

=== Tecniche di soluzione analitica ===
[[File:Hertz.svg|thumb|upright=1.3|Contatto tra due sfere.]]
I metodi di soluzione analitica per il problema del contatto non adesivo possono essere classificati in due tipi in base alla geometria dell'area di contatto.<ref name="Shigley">J. E. Shigley e C.R. Mischke, ''Mechanical Engineering Design'', 5ª edizione, capitolo 2, McGraw-Hill, Inc., 1989. ISBN 0-07-056899-5.</ref> Un '''contatto conforme''' è quello in cui i due corpi si toccano in punti multipli prima che abbia luogo qualsiasi deformazione (ossia essi semplicemente "vanno bene insieme"). Un '''contatto non conforme''' è quello in cui le forme dei corpi sono abbastanza dissimili perché, sotto carico zero, si tocchino soltanto in un punto (o possibilmente lungo una linea). Nel caso non conforme, l'area di contatto è piccola paragonata alle dimensioni degli oggetti e le [[Tensione interna|tensioni]] sono altamente concentrate in quest'area. Tale contatto è chiamato ''concentrato'', o altrimenti ''diversificato''.

Un approccio comune dell'[[Teoria dell'elasticità|elasticità lineare]] è [[Principio di sovrapposizione|sovrapporre]] un numero di soluzioni ciascuna delle quali corrisponde a un carico puntuale che agisce sull'area di contatto. Ad esempio, nel caso di caricamento di un [[semipiano]], la [[soluzione di Flamant]] è spesso usata come punto di partenza e poi generalizzata a varie forme dell'area di contatto. Gli equilibri delle forze e dei momenti tra i due corpi a contatto agiscono come vincoli aggiuntivi alla soluzione.

==== Contatto puntuale su un semipiano (bidimensionale) ====
{{Vedi anche|Soluzione di Flamant}}
[[File:Point_contact_fig.svg|thumb|upright=1.3|Schema del caricamento su un piano da parte della forza ''P'' in un punto (0,0).]]
Un punto di partenza per risolvere i problemi di contatto è capire l'effetto di un "carico puntuale" applicato a un semipiano elastico isotropo, omogeneo e lineare, mostrato nella figura a destra. Il problema può essere o uno [[sforzo piano]] o una [[deformazione piana]]. Questo è un [[Condizione al contorno|problema con condizioni al contorno]] di elasticità lineare soggetto alle [[Condizione al contorno|condizioni al contorno]]:
:<math>\sigma_{xz} (x,0)=0 ~;~~ \sigma_z (x,z)=-P\delta (x,z)</math>
dove <math>\delta(x,z)</math> è la [[Delta di Dirac|funzione delta di Dirac]]. Le condizioni al contorno affermano che non ci sono sforzi di taglio sulla superficie e che una singola forza normale ''P'' è applicata in (0,0). Applicare queste condizioni alle equazioni che governano l'elasticità produce il risultato
:<math>
  \begin{align}
  \sigma_{xx} & =-\frac{2P}{\pi}\frac{x^2z}{(x^2+z^2)^2} \\
  \sigma_{zz} &=-\frac{2P}{\pi}\frac{z^3}{(x^2+z^2)^2} \\
  \sigma_{xz} & =-\frac{2P}{\pi}\frac{xz^2}{(x^2+z^2)^2}
  \end{align}
 </math>
per un qualche punto, <math>(x,y)</math>, nel semipiano. Il cerchio mostrato nella figura indica una superficie sulla quale lo sforzo di taglio massimo è costante. Da questo campo di sforzo, possono essere determinate le componenti della [[deformazione]] e quindi gli [[Spostamento (cinematica)|spostamenti]] di tutti i punti materiali.

==== Contatto lineare su un semipiano (bidimensionale) ====

===== Caricamento normale su una regione <math>(a,b)</math>=====
Si supponga che, piuttosto che un carico puntuale <math>P</math>, sia applicato invece alla superficie un carico distribuito <math>p(x)</math>, sull'intervallo <math>a<x<b</math>. Il principio di sovrapposizione lineare può essere applicato per determinare il campo di tensione risultante come soluzione alle equazioni  [[Integrale|integrali]]:
:<math>
  \begin{align}
    \sigma_{xx} & =-\frac{2z}{\pi}\int_a^b\frac{p(x')(x-x')^2\, dx'}{[(x-x')^2+z^2]^2} ~;~~
    \sigma_{zz} =-\frac{2z^3}{\pi}\int_a^b\frac{p(x')\, dx'}{[(x-x')^2+z^2]^2} \\
    \sigma_{xz} & =-\frac{2z^2}{\pi}\int_a^b\frac{p(x')(x-x')\, dx'}{[(x-x')^2+z^2]^2}
  \end{align}
  </math> .

===== Caricamento di taglio su una regione <math>(a,b)</math>=====
Lo stesso principio si applica per il caricamento sulla superficie nel piano. Questi tipi di trazioni tenderebbero a sorgere come risultato dell'attrito. La soluzione è simile a quella di sopra (sia per i carichi singoli <math>Q</math> che per quelli distribuiti <math>q(x)</math>), ma lievemente alterata:
:<math>
  \begin{align}
    \sigma_{xx} & =-\frac{2}{\pi}\int_a^b\frac{q(x')(x-x')^3\, dx'}{[(x-x')^2+z^2]^2} ~;~~
    \sigma_{zz} =-\frac{2z^2}{\pi}\int_a^b\frac{q(x')(x-x')\, dx'}{[(x-x')^2+z^2]^2} \\
    \sigma_{xz} & =-\frac{2z}{\pi}\int_a^b\frac{q(x')(x-x')^2\, dx'}{[(x-x')^2+z^2]^2}
  \end{align}
  </math> .
Questi stessi risultati possono essere sovrapposti a quelli dati per il caricamento normale per trattare carichi più complessi.

====  Contatto puntuale su un semispazio a tre dimensioni ====
Analogamente alla soluzione di Flamant per il semispazio bidimensionale, soluzioni fondamentali sono note anche per il semispazio tridimensionale linearmente elastico. Tali soluzioni furono trovate da [[Joseph Boussinesq|Boussinesq]] per un carico normale concentrato e da Cerutti per un carico tangenziale. Vedi su questo la sezione in ''[[Teoria dell'elasticità]]''.

=== Tecniche di soluzione numeriche ===
Non si devono fare distinzioni tra contatto conforme e non conforme quando si impiegano schemi di soluzione numerici per risolvere i problemi di contatto. Questi metodi non fanno affidamento su ulteriori assunzioni all'interno del processo di soluzione perché si basano unicamente sulla formulazione generale delle equazioni sottostanti<ref name=Kalker>J. J. Kalker, ''Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact'', Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1990.</ref><ref name=Wriggers>P. Wriggers, ''Computational Contact Mechanics'', 2ª ed., Heidelberg, Springer Verlag, 2006.</ref><ref name=Laursen>T. A. Laursen, ''Computational Contact and Impact Mechanics: Fundamentals of Modeling Interfacial Phenomena in Nonlinear Finite Element Analysis'', New York, Springer Verlag, 2002.</ref><ref name=Acary>V. Acary e B. Brogliato,''Numerical Methods for Nonsmooth Dynamical Systems. Applications in Mechanics and Electronics'', Heidelberg, Springer Verlag, LNACM 35, 2008.</ref><ref name="Popov1">Valentin L. Popov, ''Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation'', Springer-Verlag, 2009, p. 328. ISBN 978-3-540-88836-9.</ref>. Oltre alle equazioni standard che descrivono la deformazione e il moto dei corpi possono essere formulate due disuguaglianze aggiuntive. La prima restringe semplicemente il moto e la deformazione dei corpi in base all'assunzione che non possa avvenire nessuna penetrazione. Quindi il divario <math>g_N</math> tra i due corpi può essere soltanto positivo o uguale a zero
:<math>g_N \ge 0</math>
dove <math>g_N = 0</math> denota il contatto. La seconda assunzione nella meccanica del contatto è legata al fatto che nessuna forza di tensione ha la possibilità di manifestarsi nell'area di contatto (i corpi a contatto possono essere sollevati senza forze di adesione). Questo conduce a una disuguaglianza alla quale le tensioni devono ubbidire in corrispondenza dell'area di contatto. È formulata per la pressione di contatto <math>p_N = \mathbf{t} \cdot \mathbf{n}</math>
:<math>p_N \le 0 \,.</math>
Poiché per il contatto, <math>g_N = 0 </math>, la pressione del contatto è sempre negativa, <math>p_N < 0 </math>, e inoltre per il non contatto il divario è aperto, <math>g_N > 0 </math>, e la pressione del contatto è zero, <math>p_N = 0 </math>, la cosiddetta forma di [[Condizioni di Karush-Kuhn-Tucker|Kuhn-Tucker]] dei vincoli del contatto può essere scritta come
:<math>g_N \ge 0\,, \quad p_N \le 0\,, \quad p_N\,g_N = 0\,.</math>
Queste condizioni sono valide in modo generale. La formulazione matematica del divario dipende dalla cinematica della sottostante teoria dei solidi (ad es., solido lineare e non lineare in due o tre dimensioni, modello della [[Teoria della trave|trave]] o del [[Piastra|guscio]]).

== Contatto non adesivo tra superfici rugose ==
Quando due corpi con superfici rugose sono premuti l'uno contro l'altro, la vera superficie di contatto <math>A</math> è molto più piccola dell'area di contatto apparente <math>A_0</math>. Nel contatto fra una superficie "rugosa a caso" e un semispazio elastico, l'area di contatto vera è legata alla forza normale <math>F</math> da<ref name=Johnson/><ref name=Greenwood/><ref name=Mikic/><ref name=Hyun>Hyun, S. e Robbins, M .O. (2007), "Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths", ''Tribology International'', v. 40, pp. 1413-1422.</ref>
:<math>
   A=\frac{\kappa}{E^*h'}F
 </math>
con <math>h'</math> uguale alla radice della media dei quadrati (nota anche come la media quadratica) della pendenza della superficie e <math>\kappa \approx2</math> . La pressione mediana nella superficie di contatto vera
:<math>
  p_{\mathrm{av}} =\frac{F}{A}\approx\frac{1}{2}E^*h'
 </math>
può essere ragionevolmente stimata come metà del modulo elastico effettivo <math>E^*</math> moltiplicata per la media quadratica della pendenza della superficie <math>h'</math> .

Per la situazione in cui le asperità sulle due superfici hanno una distribuzione gaussiana delle altezze e i picchi si possono assumere come sferici,<ref name=Greenwood>Greenwood, J. A. e Williamson, J. B. P. (1966). "Contact of nominally flat surfaces", ''Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences'', vol. 295, pp. 300-319.</ref> la pressione di contatto media è sufficiente a causare lo snervamento quando <math> p_{\mathrm{av}} = 1,1\sigma_y \approx 0,39 \sigma_0</math> dove <math>\sigma_y</math> è la [[tensione di snervamento]] uniassiale e <math>\sigma_0</math> è la durezza di indentazione.<ref name=Johnson/> Greenwood e Williamson<ref name=Greenwood/> definirono un parametro adimensionale <math>\Psi</math> chiamato '''indice di plasticità''' che poteva essere usato per determinare se il contatto fosse elastico o plastico.

Il modello di Greenwood-Williamson richiede la conoscenza di due quantità statisticamente dipendenti: la deviazione standard della rugosità delle superfici e la curvatura dei picchi delle asperità. Una definizione alternativa dell'indice di plasticità è stata data da Mikic.<ref name=Mikic>Mikic, B. B. (1974). "Thermal contact conductance; theoretical considerations", ''International Journal of Heat and Mass Transfer'', 17 (2), pp. 205-214.</ref> Lo snervamento si presenta quando la pressione è maggiore della tensione di snervamento uniassiale. Poiché la tensione di snervamento è proporzionale alla durezza di indentazione <math>\sigma _0</math>, Micic definì che l'indice di plasticità per il contatto elastico-plastico è
:<math>\Psi = \frac{E^*h'}{\sigma _0}> \tfrac{2}{3}~.</math>
In questa definizione <math>\Psi</math> rappresenta la micro-rugosità in uno stato di plasticità completa e solo una quantità statistica, la media quadratica della pendenza, è necessario che possa essere calcolata dalle misure delle superfici. Per <math>\Psi <\tfrac{2}{3}</math>, la superficie si comporta elasticamente durante il contatto.

Sia nel modello di Greenwood-Williamson che in quello di Mikic si assume che il carico sia proporzionale all'area deformata. Quindi, che il sistema si comporti plasticamente o elasticamente è indipendente dalla forza normale applicata.<ref name=Johnson/>

== Contatto adesivo tra corpi elastici ==
Quando due superfici solide sono portate in stretta prossimità, esse sperimentano le [[Forza di van der Waals|forze attrattive di van der Waals]]. Il modello di van der Waals di Bradley<ref name=Bradley>Bradley, R. S. (1932). "The cohesive force between solid surfaces and the surface energy of solids", ''Philosophical Magazine Series 7'', 13 (86), pp. 853-862.</ref> fornisce un mezzo per calcolare la forza di trazione tra due sfere rigide con superfici perfettamente levigate. Il modello di contatto hertziano non considera possibile l'adesione. Tuttavia, alla fine degli anni 1960, furono osservate parecchie contraddizioni quando la [[teoria di Hertz]] fu confrontata con gli esperimenti che implicavano il contatto tra sfere di gomma e di vetro.

Si osservò<ref name=jkr/> che, benché la teoria di Hertz si applicasse ai grandi carichi, ai bassi carichi
* l'area di contatto era più grande di quella prevista dalla teoria di Hertz,
* l'area di contatto aveva un valore diverso da zero anche quando il carico era rimosso, e
* c'era adesione forte se le superfici a contatto erano pulite e asciutte.
Questo indicava che erano all'opera forze adesive. I modelli di Johnson-Kendall-Roberts (JKR) e di Derjagin-Muller-Toporov (DMT) furono i primi a incorporare l'adesione nel contatto hertziano.

=== Modello del contatto rigido di Bradley ===
Si assume comunemente che la forza superficiale tra due piani atomici a una distanza <math>z</math> l'uno dall'altro può essere derivata dal [[potenziale di Lennard-Jones]]. Con questa assunzione
:<math>
   F(z) = \cfrac{16\gamma}{3 z_0}\left[\left(\cfrac{z}{z_0}\right)^{-9} - \left(\cfrac{z}{z_0}\right)^{-3}\right]
 </math>
dove <math>F</math> è la forza (positiva nella compressione), <math>2\gamma</math> è l'energia superficiale totale di ''entrambe'' le superfici per area unitaria, e <math>z_0</math> è la separazione di equilibrio di due piani atomici.

Il modello di Bradley si applicava al potenziale di Lennard-Jones per trovare la forza di adesione tra due sfere rigide. Si trova che la forza totale tra le due sfere è
:<math>
   F_a(z) = \cfrac{16\gamma\pi R}{3}\left[\cfrac{1}{4}\left(\cfrac{z}{z_0}\right)^{-8} - \left(\cfrac{z}{z_0}\right)^{-2}\right] ~;~~  \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
 </math>
dove <math>R_1,R_2</math> sono i raggi delle due sfere.

Le due sfere si separano completamente quando si raggiunge la ''forza di strappo'' a <math>z = z_0</math> nel quale punto
:<math>
   F_a = F_c = -4\gamma\pi R .
 </math>

=== Modello del contatto elastico di Johnson-Kendall-Roberts (JKR) ===
[[File:JKRModel.svg|upright=1.8|thumb|Schema dell'area di contatto per il modello JKR.]]
[[File:JKR-full-cycle.gif|thumb|Prova JKR con una perla rigida su un materiale planare deformabile: ciclo completo.]]
Per incorporare l'effetto di adesione nel contatto hertziano, Johnson, Kendall e Roberts<ref name=jkr/> formularono la teoria JKR del contatto adesivo usando un equilibrio tra l'[[energia elastica]] immagazzinata e la perdita di [[energia superficiale]]. Il modello JKR considera l'effetto della pressione di contatto e dell'adesione soltanto dentro l'area di contatto. La soluzione generale per la distribuzione della pressione nell'area di contatto nel modello JKR è
:<math>
   p(r) = p_0\left(1 - \cfrac{r^2}{a^2}\right)^{1/2} + p_0'\left(1 - \cfrac{r^2}{a^2}\right)^{-1/2}
 </math> .
Si noti che nella teoria originale di Hertz, il termine contenente <math>p_0'</math> era trascurato per il motivo che la tensione non poteva essere sostenuta nella zona di contatto. Per il contatto tra due sfere
:<math>
   p_0 = \cfrac{2 a E^*}{\pi R} ~;~~
   p_0' = -\left(\cfrac{4\gamma E^*}{\pi a}\right)^{1/2}
 </math>
dove <math>a\,</math> è il raggio dell'area di contatto, <math>F</math> è la forza applicata, <math>2\gamma</math> è l'energia superficiale totale di '''entrambe''' le superfici per area unitaria di contatto,
<math>R_i, E_i, \nu_i,~~i=1,2</math> sono i raggi, i moduli di Young e i rapporti di Poisson delle due sfere, e
:<math>
   \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} ~;~~ \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}
 </math> .
La distanza di avvicinamento tra le due sfere è data da
:<math>
   d = \cfrac{\pi a}{2 E^*}(p_0 + 2p_0') = \cfrac{a^2}{R}
 </math> .
L'equazione di Hertz per l'area di contatto tra due sfere, modificata per tenere conto dell'energia superficiale, ha la forma
:<math>
   a^3 = \cfrac{3R}{4E^*}\left(F + 6\gamma\pi R + \sqrt{12\gamma\pi R F + (6\gamma\pi R)^2}\right)
 </math> .
Quando l'energia superficiale è zero, <math>\gamma = 0</math>, si recupera l'equazione di Hertz per il contatto tra due sfere. Quando il carico applicato è zero, il raggio del contatto è
:<math>
   a^3 = \cfrac{9R^2\gamma\pi}{E^*}
 </math> .
Si prevede che il carico di trazione al quale le sfere sono separate, cioè <math>a = 0</math>, sia
:<math>
   F_c = -3\gamma\pi R\,
 </math> .
Questa forza è chiamata anche la '''forza di strappo'''. Si noti che questa forza è indipendente dai moduli delle due sfere. Tuttavia, c'è un'altra soluzione possibile per il valore di <math>a</math> a questo carico. Si tratta dell'area di contatto critica <math>a_c</math>, data da
:<math>
   a_c^3 = \cfrac{9R^2\gamma\pi}{4E^*}
 </math> .

Se definiamo il '''lavoro di adesione''' come
:<math>
   \Delta\gamma = \gamma_1 + \gamma_2 - \gamma_{12}
 </math>
dove <math>\gamma_1,\gamma_2</math> sono le energie adesive delle due superfici e <math>\gamma_{12}</math> è un termine di interazione, possiamo scrivere il raggio del contatto JKR come
:<math>
   a^3 = \cfrac{3R}{4E^*}\left(F + 3\Delta\gamma\pi R + \sqrt{6\Delta\gamma\pi R F + (3\Delta\gamma\pi R)^2}\right)
 </math> .
Il carico di trazione alla separazione è
:<math>
   F = -\cfrac{3}{2}\Delta\gamma\pi R\,
 </math>
e il raggio del contatto critico è dato da
:<math>
   a_c^3 = \cfrac{9R^2\Delta\gamma\pi}{4E^*}
 </math> .
La profondità critica di penetrazione è
:<math>
   d_c = \cfrac{a_c^2}{R} = \left(\cfrac{9}{4}\right)^{\tfrac{2}{3}}(\Delta\gamma)^{\tfrac{2}{3}}\left(\cfrac{\pi^{\tfrac{2}{3}}~R^{\tfrac{1}{3}}}{{E^*}^{\tfrac{2}{3}}}\right)
 </math> .

=== Modello del contatto elastico di Derjagin-Muller-Toporov (DMT) ===
Il modello di Derjagin-Muller-Toporov (DMT)<ref name=DMT>Derjagin, B. V., Muller, V. M. e Toporov, Y. P. (1975). "Effect of contact deformations on the adhesion of particles", ''Journal of Colloid and Interface Science'', 53 (2), pp. 314-326.</ref><ref>Muller, V. M., Derjaguin, B. V. e Toporov, Y. P. (1983). "On two methods of calculation of the force of sticking of an elastic sphere to a rigid plane", ''Colloids and Surfaces'', 7 (3), pp. 251-259.</ref> è un modello alternativo per il contatto adesivo che assume che il profilo del contatto rimanga lo stesso come nel contatto hertziano, ma con interazioni attrattive aggiuntive al di fuori dell'area di contatto.

L'area di contatto tra due sfere dalla teoria DMT è
:<math>
   a^3 = \cfrac{3R}{4E^*}\left(F + 4\gamma\pi R\right)
 </math>
e la forza di strappo è
:<math>
   F_c = -4\gamma\pi R\,
 </math>
Quando si raggiunge la forza dello strappo l'area di contatto diventa zero e non c'è nessuna singolarità nelle tensioni di contatto al bordo dell'area di contatto.

In termini del lavoro di adesione <math>\Delta\gamma</math>
:<math>
   a^3 = \cfrac{3R}{4E^*}\left(F + 2\Delta\gamma\pi R\right)
 </math>
e
:<math>
   F_c = -2\Delta\gamma\pi R\,
 </math>

=== Coefficiente di Tabor ===
Nel 1977, Tabor<ref name=Tabor1>Tabor, D. (1977). "Surface forces and surface interactions", ''Journal of Colloid and Interface Science'', 58 (1), pp. 2-13.</ref> mostrò che la contraddizione apparente tra le teorie JKR e DMT poteva essere risolta notando che le due teorie erano i limiti estremi di un'unica teoria parametrizzata dal '''coefficiente di Tabor''' (<math>\mu</math>) definito come
:<math>
   \mu = \cfrac{d_c}{z_0} \approx \left[\cfrac{R(\Delta\gamma)^2}{{E^*}^2 z_0^3}\right]^{1/3}
 </math>
dove <math>z_0</math> è la separazione di equilibrio tra le due superfici a contatto. La teoria JKR si applica a sfere grandi, conformi, per le quali <math>\mu</math> è grande. La teoria DMT si applica a sfere piccole, rigide, con piccoli valori di <math>\mu</math>.

=== Modello del contatto elastico di Maugis-Dugdale ===
[[File:MaugisDugdale.svg|upright=1.8|thumb|Schema dell'area di contatto per il modello di Maugis-Dugdale.]]
Un ulteriore miglioramento all'idea di Tabor fu fornito da Maugis<ref>Maugis, D. (1992). "Adhesion of spheres: the JKR-DMT transition using a Dugdale model", ''Journal of Colloid and Interface Science'', 150 (1), pp. 243-269.</ref> che rappresentò la forza superficiale in termini di un'approssimazione della [[zona coesiva]] di Dugdale tale che il lavoro di adesione è dato da
:<math>
   \Delta\gamma = \sigma_0~h_0
 </math>
dove <math>\sigma_0</math> è la forza massima prevista dal potenziale di Lennard-Jones e <math>h_0</math> è la separazione massima ottenuta facendo combaciare le aree sotto le curve di Dugdale e Lennard-Jones (vedi figura adiacente). Questo significa che la forza attrattiva è costante per <math>z_0 \le z \le z_0 + h_0</math>. Non c'è ulteriore penetrazione nella compressione. Il contatto avviene in un'area di raggio <math>a</math> e le forze adesive di ampiezza <math>\sigma_0</math> si estendono a un'area di raggio <math>c > a</math>. Nella regione <math>a < r < c</math>, le due superfici sono separate da una distanza <math>h(r)</math> con <math>h(a) = 0</math> e <math>h(c) = h_0</math>. Il rapporto <math>m</math> è definito come
:<math> m = \cfrac{c}{a}</math>.

Nella teoria di Maugis-Dugdale,<ref>Johnson, K. L. e Greenwood, J. A. (1997). "An adhesion map for the contact of elastic spheres", ''Journal of Colloid and Interface Science'', 192 (2), pp. 326-333.</ref> la distribuzione della trazione superficiale è divisa in due parti - una dovuta alla pressione di contatto di Hertz e l'altra alla tensione adesiva di Dugdale. Si assume che il contatto di Hertz è nella regione <math>-a < r < a</math>. Il contributo alla trazione superficiale della pressione di Hertz è dato da
:<math>
   p^H(r) = \left(\cfrac{3F^H}{2\pi a^2}\right)\left(1 - \cfrac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}
 </math>
dove la forza di contatto di Hertz <math>F^H</math> è data da
:<math>
   F^H = \cfrac{4E^*a^3}{3R}
 </math> .
La penetrazione dovuta alla compressione elastica è
:<math>
   d^H = \cfrac{a^2}{R}
 </math> .
Lo spostamento verticale a <math>r = c</math> è
:<math>
   u^H(c) = \cfrac{1}{\pi R} \left[a^2(2 - m^2)\sin^{-1}\left(\cfrac{1}{m}\right) + a^2\sqrt{m^2-1}\right]
 </math>
e la separazione tra le due superfici a <math>r = c</math> è
:<math>
   h^H(c) = \cfrac{c^2}{2R} - d^H + u^H(c)
 </math> .
La distribuzione della trazione superficiale dovuta alla tensione adesiva di Dugdale è
:<math>
   p^D(r) = \begin{cases}
               -\cfrac{\sigma_0}{\pi}\cos^{-1}\left[\cfrac{2-m^2-\cfrac{r^2}{a^2}}{m^2\left(1-\cfrac{r^2}{m^2a^2}\right)}\right] & \quad \mathrm{per} \quad r \le a\\
               -\sigma_0 & \quad \mathrm{per} \quad a \le r \le c
            \end{cases}
 </math> .
La forza adesiva totale è data allora da
:<math>
   F^D = -2\sigma_0 m^2a^2\left[\cos^{-1}\left(\cfrac{1}{m}\right) + \frac{1}{m^2}\sqrt{m^2 - 1}\right]
 </math> .
La compressione dovuta all'adesione di Dugdale è
:<math>
  d^D = -\left(\cfrac{2\sigma_0 a}{E^*}\right)\sqrt{m^2-1}
 </math>
e il divario a <math>r = c</math> è
:<math>
   h^D(c) = \left(\cfrac{4\sigma_0 a}{\pi E^*}\right)\left[\sqrt{m^2-1}\cos^{-1}\left(\cfrac{1}{m}\right) + 1-m\right]
 </math> .
La trazione netta sull'area di contatto è data allora da <math>p(r) = p^H(r) + p^D(r)</math> e la forza di contatto netta è <math>F = F^H + F^D</math>. Quando <math>h(c) = h^H(c) + h^D(c) = h_0</math> la trazione adesiva cade a zero.

A questo stadio sono introdotti valori non dimensionalizzati di <math>a, c, F, d</math> che sono definiti come
:<math>
  \bar{a} = \alpha a ~;~~ \bar{c} := \alpha c ~;~~ \bar{d} := \alpha^2 R d ~;~~ \alpha := \left(\cfrac{4E^*}{3\pi\Delta\gamma R^2}\right)^{1/3} ~;~~ \bar{A} := \pi c^2 ~;~~ \bar{F} = \cfrac{F}{\pi\Delta\gamma R}
 </math> .

In aggiunta, Maugis propose un parametro <math>\lambda</math> che è equivalente al coefficiente di Tabor. Questo parametro è definito come
:<math>
   \lambda = \sigma_0\left(\cfrac{9R}{2\pi\Delta\gamma{E^*}^2}\right)^{1/3} = 1,16\mu
 </math>
dove la tensione coesiva del gradino <math>\sigma_0</math> uguaglia la tensione teorica del potenziale Lennard-Jones
:<math>
   \sigma_{th} = \cfrac{16\Delta\gamma}{9\sqrt{3}z_0} 
</math> .
Zheng e Yu <ref name=Zheng>Zheng, Z. J. e Yu, J. L. (2007). "Using the Dugdale approximation to match a specific interaction in the adhesive contact of elastic objects", ''Journal of Colloid and Interface Science'', 310 (1), pp. 27-34.</ref> suggerirono un altro valore per la tensione coesiva del gradino 
:<math>
   \sigma_{0} = \exp\left(-\cfrac{223}{420}\right)\cdot\cfrac{\Delta\gamma}{z_0} \approx 0,588\cfrac{\Delta\gamma}{z_0}
</math>
per corrispondere al potenziale di Lennard-Jones, che conduce a
:<math>
   \lambda \approx 0.663\mu
</math> .
Allora la forza di contatto netta può essere espressa come
:<math>
  \bar{F} = \bar{a}^3 - \cfrac{4}{3}~\lambda \bar{a}^2\left[\sqrt{m^2 -1} + m^2 \sec^{-1} m\right]
 </math>
e la compressione elastica è
:<math>
  \bar{d} = \bar{a}^2 - \cfrac{4}{3}~\lambda \bar{a}\sqrt{m^2-1}
 </math> .
L'equazione per il divario coesivo tra i due corpi prende la forma
:<math>
  \cfrac{\lambda \bar{a}^2}{2}\left[(m^2-2)\sec^{-1} m + \sqrt{m^2-1}\right] + \cfrac{4\lambda\bar{a}}{3}\left[\sqrt{m^2-1}\sec^{-1} m - m + 1\right] = 1
 </math> .
Questa equazione può essere risolta per ottenere i valori di <math>c</math> per vari valori di <math>a</math> e <math>\lambda</math>. Per grandi valori di <math>\lambda</math>, <math>m \rightarrow 1</math> e si ottiene il modello JKR. Per piccoli valori di <math>\lambda</math> si ritrova il modello DMT.

=== Modello di Carpick-Ogletree-Salmeron (COS) ===
Il modello di Maugis-Dugdale può essere risolto solo iterativamente se il valore di <math>\lambda</math> non è conosciuto ''a priori''. La soluzione approssimata di Carpick-Ogletree-Salmeron <ref name=COS>Carpick, R. W., Ogletree, D. F. e Salmeron, M. (1999). "A general equation for fitting contact area and friction vs load measurements", ''Journal of colloid and interface science'', 211 (2), pp. 395-400.</ref> semplifica il processo usando la relazione seguente per determinare il raggio del contatto <math>a</math>:
:<math>
  a = a_0(\beta) \left(\cfrac{\beta + \sqrt{1 - F/F_c(\beta)}}{1 + \beta}\right)^{2/3}
 </math>
dove <math>a_0</math> è l'area di contatto a carico zero, e <math>\beta</math> è un parametro di transizione che è legato a <math>\lambda</math> da
:<math>
   \lambda = -0,924 \ln(1-1,02\beta)
 </math>
Il caso <math>\beta = 1</math> corrisponde esattamente alla teoria JKR mentre <math>\beta = 0</math> corrisponde alla teoria DMT.
Per i casi intermedi <math>0 < \beta < 1</math> il modello COS corrisponde strettamente alla soluzione di Maugis-Dugdale per <math>0,1 < \lambda < 5</math>.

==Note==
<references/>

==Voci correlate==
{{Div col|4}}
* [[Adesione]]
* [[Bagnatura]]
* [[Colla]]
* [[Dermatite allergica da contatto]]
* [[Generatore elettrostatico]]
* [[Goniometro]]
* [[Grippaggio]]
* [[Meccanica del contatto con attrito]]
* [[Pellicola alimentare]]
* [[Problema di Signorini]]
* [[Tensione superficiale]]
* [[Urto]]
{{Div col end}}

==Altri progetti==
{{interprogetto}}

==Collegamenti esterni==
* {{en}} [https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19970025228_1997043322.pdf ''A. Palmgren Revisited–A Basis for Bearing Life Prediction'']: altre informazioni sulle tensioni di contatto e sull'evoluzione delle equazioni delle tensioni di contatto possono essere trovate in questa pubblicazione di Erwin Zaretsky, capo del Lewis Research Center della NASA.

{{Controllo di autorità}}
{{Portale|ingegneria|Meccanica}}

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[[Categoria:Ingegneria meccanica]]
[[Categoria:Meccanica classica]]