Visualizza wikitesto di Omologia singolare

In [[topologia]] l''''omologia singolare''' è una costruzione che permette di associare ad uno [[spazio topologico]] un oggetto algebrico detto [[omologia (topologia)|omologia]]. 

Esistono altre costruzioni che producono essenzialmente la stessa omologia, ad esempio l'[[omologia simpliciale]] e l'[[omologia cellulare]]. L'omologia singolare è la costruzione che funziona nella più ampia generalità: per la sua costruzione non è necessario che lo spazio topologico sia un [[complesso simpliciale]] o un [[complesso di celle]].

== Definizione ==
Sia <math>X</math> uno [[spazio topologico]]. Come ogni [[omologia (topologia)|omologia]], l'omologia singolare è definita a partire da un [[complesso di catene]]
:<math>\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n
\overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1}
\overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,}
\dotsb
\overset{\partial_2}{\longrightarrow\,}
C_1
\overset{\partial_1}{\longrightarrow\,}
C_0\overset{\partial_0}{\longrightarrow\,} 0.</math>
Il complesso di catene qui è costruito a partire dalla nozione di ''simplesso singolare''.

=== Simplesso standard ===
{{vedi anche|simplesso}}
[[File:2D-simplex.svg|thumb|upright=0.7|Il simplesso standard di dimensione 2 è un triangolo nello spazio <math>\R^3</math>. I suoi vertici sono i punti che definiscono la base canonica di <math>\R^3</math>.]]
Il [[simplesso standard]] <math>\Delta_n</math> è l'[[inviluppo convesso]] in <math>\R^{n+1}</math> dei punti 
:<math>e_0,\ldots, e_n</math> 
che formano la [[base canonica]] di <math>\R^{n+1}</math>. Per <math>n=1,2,3</math> il simplesso standard è rispettivamente un segmento, un [[triangolo]], un [[tetraedro]]. I punti <math>e_0, e_1,\ldots, e_n</math> sono i ''vertici'' del simplesso. Il simplesso <math>\Delta_n</math> ha ''dimensione'' <math>n</math>.

Una ''faccia'' di dimensione <math>k</math> di <math>\Delta_n</math> è l'inviluppo convesso di <math>k+1</math> vertici distinti
:<math>e_{i_0},\ldots, e_{i_k}.</math>
Tale faccia è canonicamente identificata con il simplesso standard <math>\Delta_k</math>: il fatto che questa identificazione sia canonica è un punto essenziale della teoria, che dipende dal fatto che i vertici del simplesso standard sono ordinati. Se <math>i_0<\ldots <i_k</math>, l'identificazione <math>F</math> è tale che
:<math>F(e_{i_j}) = e_j</math>
e si estende per [[combinazione convessa]] a tutta la faccia.

Se la dimensione non è specificata, per ''faccia'' di <math>\Delta_n</math> si intende una faccia di dimensione <math>n-1</math>: queste giocano un ruolo importante nella costruzione dell'omologia singolare. Il simplesso <math>\Delta_n</math> ha quindi <math>n+1</math> facce <math>f_0,\ldots, f_n</math> opposte ai vertici <math>e_0,\ldots, e_n</math>.

=== Simplesso singolare ===
Sia <math>X</math> uno spazio topologico
Un ''simplesso singolare'' è una [[mappa continua]]
:<math>\sigma\colon \Delta_n \to X</math>
dal simplesso standard in <math>X</math>. Anche qui <math>n</math> è la ''dimensione'' del simplesso singolare.
Il ''bordo <math>i</math>-esimo'' <math>\partial_i\sigma</math> del simplesso singolare <math>\sigma</math> è il simplesso singolare di dimensione <math>n-1</math> seguente:
:<math>\partial_i\sigma\colon \Delta_{n-1} \to X</math>
definito restringendo <math>\sigma</math> alla <math>i</math>-esima faccia di <math>\Delta_n</math> (identificata canonicamente con <math>\Delta_{n-1}</math>).

=== Complesso di catene ===
Una ''catena'' è una [[combinazione lineare]] formale di simplessi singolari (tutti della stessa dimensione <math>n</math>), a coefficienti interi
:<math>a_1\sigma_1 + \ldots + a_h\sigma_h.</math>
Il numero <math>h</math> di elementi è variabile (purché finito) e i coefficienti <math>a_i</math> sono numeri interi. Una catena non è una mappa: può essere interpretata solo astrattamente, come combinazione lineare formale di oggetti. Le catene possono essere sommate in modo naturale e formano un [[gruppo abeliano]], indicato con <math>C_n</math>. In altre parole, <math>C_n</math> è il gruppo abeliano libero [[insieme di generatori|generato]] dall'insieme di tutti i simplessi singolari. Questo insieme è in generale molto grande (può avere [[cardinalità]] più che [[insieme numerabile|numerabile]] anche per spazi <math>X</math> molto semplici).

Per definire un [[complesso di catene]] è infine necessario introdurre una ''mappa di bordo''
:<math>\partial\colon C_n\to C_{n-1}.</math>
per ogni <math>n>0</math>.
La mappa è definita su ogni simplesso singolare <math>\sigma</math> di dimensione <math>n</math> nel modo seguente:
:<math>\partial \sigma = \sum_{i=0}^{n}(-1)^i\partial_i\sigma.</math>
La mappa <math>\partial</math> è quindi estesa per linearità a tutto <math>C_n</math>.

=== Omologia ===
La costruzione descritta produce finalmente un [[complesso di catene]]
:<math>\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n
\overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1}
\overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,}
\dotsb
\overset{\partial_2}{\longrightarrow\,}
C_1
\overset{\partial_1}{\longrightarrow\,}
C_0\overset{\partial_0}{\longrightarrow\,} 0.</math>
L'alternanza dei segni nella definizione di <math>\partial</math> ha un importante effetto: la composizione di due bordi successivi è sempre la mappa banale, cioè quella che manda ogni simplesso nello zero (lo zero in <math>C_n</math> è la combinazione lineare vuota). Infatti facendo due volte il bordo di un <math>n</math>-simplesso singolare si ottiene una catena in cui ogni <math>(n-2)</math>-sottosimplesso singolare compare due volte, ma con segni opposti. Vale quindi la proprietà
:<math>\partial_n\circ \partial_{n+1} = 0.</math>
A questo punto l'omologia singolare è definita a partire da questo complesso con un procedimento standard, usato in tutte le teorie [[omologia (topologia)|omologiche]]. Si definisce l'<math>n</math>-''esimo gruppo di omologia singolare'' <math>H_n(X)</math> come
il [[gruppo quoziente]]
:<math> H_n(X) = \ker(\partial_n) / \mathrm{im}(\partial_{n+1}).</math>

==Bibliografia==
* {{en}} Allen Hatcher, [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html ''Algebraic topology.''] Cambridge University Press, ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
* {{en}} J.P. May, ''A Concise Course in Algebraic Topology'', Chicago University Press ISBN 0-226-51183-9
* {{en}} Joseph J. Rotman, ''An Introduction to Algebraic Topology'', Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1

[[Categoria:Topologia algebrica]]