Visualizza wikitesto di Teoria degli ordini

{{F|matematica|ottobre 2012}}
La '''teoria degli ordini''' è una branca della [[matematica]] che studia dei particolari tipi di [[relazione binaria|relazioni binarie]], dette ordini e preordini, che inducono sui loro [[insieme|insiemi]] supporto una struttura che richiama l'idea intuitiva di ''ordinare'' gli elementi.

==Introduzione==
Ordinare in una sequenza più oggetti è un'operazione che facciamo quotidianamente, sia quando organizziamo i nostri impegni giornalieri (dandogli un ordine temporale), o quando decidiamo quale azione compiere rispetto ad un'altra (ordinandole per importanza), o semplicemente quando mettiamo a posto i libri sugli scaffali (ordinandoli per esempio per anno o per autore).

Un ordinamento tra oggetti ci viene insegnato sin dalle [[scuola primaria|scuole elementari]]: si tratta dell'ordinamento usuale tra [[numero naturale|numeri naturali]], che introduce un primo esempio di grandezza. Tale ordinamento viene poi esteso ai [[numero intero|numeri interi]] e, con qualche accorgimento teorico, ai [[numero reale|numeri reali]]. L'insieme dei numeri normalmente trattati risulta così essere completamente descritto. Un altro esempio simile è il cosiddetto [[ordine lessicografico]], che ci permette di scrivere le parole di un [[Dizionario|vocabolario]] secondo un ordine preciso.

Esempi di questo tipo possiedono tutti delle particolarità comuni:
*non esistono elementi distinti "nella stessa posizione"
*l'ordine dato è ''razionale'' (o ''transitivo''): non ci sono elementi che, in un certo senso, invertono l'ordinamento (per una spiegazione precisa vedi [[relazione transitiva|transitività]]).

Nell'astrazione teorica, un ordinamento che soddisfa queste proprietà si dice '''[[relazione d'ordine]]''' (dove questa volta la parola "ordine" ha un significato ben preciso, non solamente quello intuitivo fin qua usato). Se in più consideriamo che tali esempi soddisfano la proprietà aggiuntiva che non esiste elemento che sia lasciato fuori dall'ordinamento, allora essi sono degli ''[[ordine totale|ordini totali]]''.

Non esistono però solo insiemi descrivibili così esattamente: negli [[insieme|insiemi]] si può dare un ordinamento naturale, definito dalla relazione di essere un [[sottoinsieme]]. Si sa che questa relazione non soddisfa l'ultima proprietà sopra enunciata, cioè esistono coppie di insiemi per cui non si riesce a dare un giudizio su quale stia prima e quale dopo: allora questa relazione si dice un ''ordine parziale''.

Andando avanti con la classificazione, possiamo pensare ad un [[paniere]] di [[bene (economia)|beni]], comparati a seconda del loro prezzo: questa relazione è totale (ogni bene ha un prezzo e questo prezzo può essere sempre messo in relazione con ogni altro prezzo) e transitiva (nel senso sopra), ma non è vero che se due beni hanno lo stesso prezzo (cioè, nella terminologia sopra, occupano la stessa posizione nell'ordinamento) essi coincidono: un insieme che soddisfa queste proprietà si dice un ''[[preordine]]''.

Notare infine che in alcuni degli esempi qua sopra per ordinare un insieme ci si è appoggiati su ordinamenti già dati (nell'ultimo esempio, quello dei numeri), associando ad ogni elemento un numero ed ordinando gli elementi a seconda di come erano ordinati i numeri corrispondenti: un'operazione di questo tipo, che consente di definire un ordinamento mediante una [[funzione (matematica)|funzione]] verso un insieme già dotato di ordine, si dice [[immersione d'ordine]].

==Trattazione formale==
La teoria degli ordini studia particolari [[relazione binaria|relazioni binarie]] su uno stesso [[insieme]], dotate di particolari proprietà di "regolarità". Essa suddivide l'oggetto dei suoi studi in due grandi classi, anche se una può essere in un certo senso trasformata nell'altra. Queste due classi sono gli ordini e i preordini.

===Ordine===
{{vedi anche|Relazione d'ordine}}
Una [[relazione binaria]] <math>\mathfrak{R}</math> su un insieme <math>A</math> (cioè un sottoinsieme del [[prodotto cartesiano]] <math>A \times A</math>) si dice un ''ordine'' se soddisfa queste proprietà per ogni <math>a, b, c</math> in <math>A</math>:
*<math>a\mathfrak{R}a</math> (''[[relazione riflessiva|riflessività]]'')
*se <math>a\mathfrak{R}b</math> e <math>b\mathfrak{R}a</math>, allora <math>a=b</math> (''[[relazione antisimmetrica|antisimmetria]]'')
*se <math>a\mathfrak{R}b</math> e <math>b\mathfrak{R}c</math>, allora <math>a\mathfrak{R}c</math> (''[[relazione transitiva|transitività]]'')

<math>A</math> si dice un ''insieme ordinato''.

===Preordine===
{{vedi anche|Preordine}}
Una [[relazione binaria]] <math>\mathfrak{r}</math> su un insieme <math>B</math> (cioè un sottoinsieme del [[prodotto cartesiano]] <math>B \times B</math>) si dice un ''preordine'' se soddisfa queste proprietà per ogni <math>a, b, c</math> in <math>B</math>:
*<math>a\mathfrak{r}a</math> (''[[relazione riflessiva|riflessività]]'')
*se <math>a\mathfrak{r}b</math> e <math>b\mathfrak{r}c</math>, allora <math>a\mathfrak{r}c</math> (''[[relazione transitiva|transitività]]'')

<math>B</math> si dice un ''insieme preordinato''.

===Commenti===
*Per la loro analogia con l'ordinamento classico numerico (di cui sono in effetti una generalizzazione) relazioni d'ordine e preordine sono universalmente denotate con il solito simbolo <math>\leq</math> o con simboli ad esso analoghi, come <math>\lesssim</math> o <math>\preceq</math>.
*Se nella definizione di ordine (risp. preordine) si sostituisce la proprietà riflessiva con quella [[relazione antiriflessiva|antiriflessiva]] si ottiene quello che viene definito un ''ordine stretto'' (risp. ''preordine stretto''), indicato per ovvi motivi con <math>< </math>. A volte le definizioni che includono la proprietà riflessiva vengono dette ''larghe'' (cioè ordine largo, preordine largo) se può esserci ambiguità. Benché le due definizioni siano distinte, è facile passare da un ordine largo ad uno stretto, ponendo <math>a<b</math> se e solo se <math>a\leq b</math> e <math>b\not\leq a</math>, e viceversa, ponendo <math>a\leq b</math> se e solo se <math>a < b</math> o <math>a=b</math>.

==Ulteriori proprietà==
===Totalità===
La definizione di ordine (risp. preordine) non necessita di specificazioni su quali o quanti elementi soddisfino le proprietà. Se in aggiunta si richiede anche che
*per ogni <math>a,b</math> in <math>A</math> è <math>a\leq b</math> o <math>b\leq a</math>
allora si ottiene un ''[[ordine totale]]'' (risp. ''preordine totale'') o ''lineare''.

Due elementi si dicono "non confrontabili" se non vale nessuna delle due relazioni. Ciò vuol dire che in un ordine totale ogni coppia di elementi è confrontabile. Se un ordine non è totale allora si dice che è ''parziale''. Gli insiemi parzialmente ordinati sono anche detti "poset", [[acronimo]] dall'[[lingua inglese|inglese]] ''P''artially ''O''rdered ''Set''.

Un esempio immediato di relazione non totale è, come detto sopra, quella dei sottoinsiemi: per i due insiemi <math>F=\{1,3,5,8\}</math> e <math>G=\{2,4,5,9\}</math> non vale né che <math>F \subseteq G</math> né che <math>G \subseteq F</math>. Un altro esempio è dato dalla relazione di [[divisibilità]] tra numeri naturali.

===Rappresentazione grafica===
{{vedi anche|Reticolo della divisibilità}}
[[File:Lattice of the divisibility of 60.svg|right|150px]]
Un ordine si può visualizzare graficamente mediante una costruzione fatta da [[Helmut Hasse]], che identifica gli elementi come vertici di un [[grafo]] e collega due vertici <math>x</math> e <math>y</math> uno sopra l'altro se e solo se <math>x < y</math> e non esiste <math>z</math> tale che <math>x < z < y</math>.

Questa costruzione è molto comoda poiché, rispetto ad un grafo in cui ogni coppia di elementi in relazione è collegata, si eliminano molte ridondanze. Basti ad esempio pensare a tutti gli archi che in un ordine largo collegherebbero un elemento con se stesso.

La stessa costruzione si adatta ai preordini, avendo la cura di posizionare elementi tali che <math>x \leq y</math> e <math>y \leq x</math> alla stessa altezza.

È evidente che l'unica rappresentazione grafica di un ordine totale è quella di un'unica linea, finita o infinita, che collega i vari vertici uno dopo l'altro. Questa è anche la motivazione per cui un insieme totalmente ordinato viene anche detto una ''catena''.

==Costruire un ordine a partire da un preordine==
Sono gli ordini i veri elementi centrali della teoria, poiché dato un preordine <math>(A,\leq)</math> è sempre possibile ricondursi ad un ordine collegato, applicando la seguente costruzione:

Si definisce la relazione <math>\sim</math>, che mette in relazione due elementi <math>x,y</math> [[se e solo se]] <math>x \leq y</math> e <math>y \leq x</math>; essa è una [[relazione d'equivalenza]]. Si considera poi l'[[insieme quoziente]] <math>A_{/\sim} </math> e lo si munisce della relazione
:<math>[x] \leq^* [y] \Longleftrightarrow x \leq y</math>.

La coppia <math>(A_{/\sim}, \leq^*)</math> è un insieme ordinato. Infatti <math>[x] \leq^* [y]</math> e <math>[y] \leq^* [x]</math> implica <math>x \leq y</math> e <math>y \leq x</math>, cioè <math>x \sim y </math>. Ma allora <math>x</math> e <math>y</math> stanno nella stessa classe d'equivalenza, dunque <math>[x]=[y]</math>.

==Elementi particolari all'interno di un ordine==
Un elemento <math>a</math> in un insieme ordinato <math>S</math> si dice:
* ''minimo'' (risp. ''massimo'') se per ogni <math>x</math> in <math>S</math> si ha <math>a \leq x</math> (risp.  <math>x \leq a</math>),
* ''minimale'' se l'unico <math>x</math> in <math>S</math> tale che <math>x\leq a</math> è <math>a</math> stesso,
* ''massimale'' se l'unico <math>x</math> in <math>S</math> tale che <math>a\leq x</math> è <math>a</math> stesso,
* ''[[maggiorante e minorante|maggiorante]]'' (risp. ''minorante'') di un sottoinsieme <math>Y \subseteq S</math> se <math>x\leq a</math> (risp. <math>a\leq x</math>) per ogni <math>x</math> in <math>Y</math>,
* ''[[estremo superiore e estremo inferiore|estremo superiore]]'' (risp. ''estremo inferiore'') del sottoinsieme <math>Y \subseteq S</math> se è il minimo dell'insieme dei maggioranti (risp. il massimo dei minoranti).

Mentre minimo e massimo potrebbero non esistere, un insieme potrebbe avere più elementi minimali o massimali. Addirittura uno stesso elemento potrebbe essere minimale e massimale. Le due definizioni coincidono in caso di un ordine totale. Un sottoinsieme dotato di maggiorante e minorante si dice [[insieme limitato|limitato]].

==Dualità==
Nei paragrafi precedenti si vede che molte definizioni simili tra loro si possono ottenere semplicemente invertendo il verso della disuguaglianza. Questa considerazioni sfocia da un principio generale, detto ''Principio di dualità'':
:''Se un'affermazione è valida per ogni insieme parzialmente ordinato, allora la sua affermazione duale, ottenuta scambiando ogni disuguaglianza e invertendo eventualmente ogni termine con il suo simmetrico, è ancora valida per ogni insieme parzialmente ordinato''.

In particolare, il ''duale'' di un insieme ordinato <math>P</math>, identificato con <math>P^{op}</math>, è lo stesso insieme caratterizzato però dalla relazione
:<math>x \leq y </math> in <math>P^{op}</math> se e solo se <math>y\leq x</math> in <math>P</math>.
Graficamente, il diagramma di Hasse di un ordine duale si ottiene semplicemente capovolgendo il diagramma dell'ordine originario.

L'importanza del principio di dualità si vede soprattutto nell'uso continuo del simbolo <math>\geq</math>, senza che ci sia mai bisogno di darne una definizione precisa.

==Funzioni tra ordini==
{{vedi anche|Funzione monotona}}
È naturale a questo punto pensare di dare anche delle funzioni tra vari insiemi ordinati che preservino i rispettivi ordinamenti: tali funzioni si dicono '''[[funzione monotona|monotòne]]''', o per non usare un termine già comune con l'[[analisi matematica]], ''order-preserving'' e, con precisione, soddisfano la seguente proprietà:
:se <math>x\leq y</math> allora <math>f(x)\leq f(y)</math>,
ponendo l'attenzione che il primo <math>\leq</math> riguarda elementi del [[dominio (matematica)|dominio]], mentre il secondo gli elementi del [[codominio]], dunque sono due ordinamenti distinti. Per essere più precisi, sarebbe meglio utilizzare due simboli diversi, per esempio <math>\leq^*</math> e <math>\preceq</math>.

Se vale anche l'opposto, cioè che <math>f(x)\leq f(y)</math> implica <math>x\leq y</math>, allora la funzione si dice una [[immersione d'ordine]] e rappresenta un metodo per "rappresentare" un insieme ordinato all'interno di un altro o anche, come è stato detto nell'introduzione, di definire un ordine nel dominio, ponendo la condizione sopra enunciata come definizione.

Un'immersione d'ordine [[funzione suriettiva|suriettiva]] è detta [[isomorfismo d'ordine]]. La sua importanza è ovvia, poiché rappresenta un isomorfismo tra le due strutture nel senso [[algebra astratta|algebrico]] del termine.

Dualmente, si definisce ''antitona'' una funzione tale che
:<math>x\leq y</math> implica <math>f(y)\leq f(x)</math>.

Un leggero indebolimento del concetto di isomorfismo d'ordine è dato dalla [[connessione di Galois]] tra due insiemi ordinati <math>A</math> e <math>B</math>, costituito da due funzioni monotone <math>F:A \to B</math> e <math>G:B \to A</math> tali che per ogni <math>a</math> in <math>A</math>, <math>b</math> in <math>B</math>
:<math>F(a)\leq b</math> se e solo se <math>a\leq G(b)</math>.

==Strutture più ricche==
La maggior parte delle strutture studiate in teoria degli ordini hanno anche ulteriori proprietà. Molte di queste proprietà aggiuntive riflettono una specie di [[completezza (teoria degli ordini)|completezza]]:

*Un ''[[buon ordine]]'' è un ordine totale con la proprietà che ogni sottoinsieme non [[insieme vuoto|vuoto]] possiede elemento minimale
*Un ''[[buon ordine parziale]]'' è un ordine tale che ogni sottoinsieme non vuoto possiede un numero finito di elementi minimali
*Un ''[[insieme diretto]]'' è un insieme preordinato tale che per ogni coppia di elementi <math>a</math> e <math>b</math> in <math>A</math>, esiste un terzo elemento <math>c</math> che soddisfa <math>a \leq c</math> e <math>b \leq c</math>.
*Un insieme ordinato è ''localmente finito'' se ogni [[relazione d'ordine#Intervalli|intervallo]] è finito.
*Un ''[[reticolo (matematica)|reticolo]]'' è un insieme ordinato tale che ogni sottoinsieme finito possiede estremo inferiore e estremo superiore
*Un reticolo è '''[[reticolo (matematica)#Completezza|completo]]''' se ogni suo sottoinsieme possiede estremo inferiore e estremo superiore

A partire da un reticolo, si possono definire due [[operazione binaria|operazioni binarie]] su di esso:
*<math>x\vee y = \sup\{x,y\}</math>
*<math>x\wedge y= \inf\{x,y\}</math>

Date queste due operazioni, un reticolo diventa una [[struttura algebrica]]. Si dimostra che queste operazioni soddisfano delle particolari [[reticolo (matematica)#I reticoli come strutture algebriche|proprietà]]. Al contrario, data una struttura algebrica con due operazioni con quelle proprietà, quell'insieme è anche un reticolo. Se le due operazioni soddisfano una proprietà di [[reticolo (matematica)#Distributività|distributività]] allora il reticolo si dice ''distributivo''.

Se su questa struttura si richiede la limitatezza si possono definire ulteriori operazioni, detti 0 e 1 l'estremo inferiore e superiore:
*Un<nowiki>'</nowikI>''[[algebra di Heyting]]'' è un reticolo limitato distributivo tale che per ogni <math>a,b</math> esiste un elemento <math>x</math>, detto lo ''pseudocomplemento'' di <math>a</math> rispetto <math>b</math>, che è l'elemento massimo tale che <math>a \wedge x \leq b</math>.
*Un reticolo è ''complementato'' se per ogni <math>a</math> esiste un elemento <math>\neg a</math>, detto ''complemento'' di <math>a</math>, tale che
:<math>a \wedge \neg a =0</math> e <math>a \vee \neg a =1</math>
*Un<nowiki>'</nowiki>''[[algebra Booleana]]'' è un reticolo complementato distributivo, o anche un'algebra di Heyting tale che lo pseudocomplemento di <math>a</math> è proprio il suo complemento.

==Relazioni con altri campi della matematica==
Ci sono molti settori di studio in matematica con cui la relazione della teoria degli ordini è molto fruttuosa e soprattutto bidirezionale. Oltre all'[[algebra astratta]], già nominata qua sopra nello studio dei reticoli, possiamo nominare:

*la [[topologia]]: giusto per nominare un esempio, la [[topologia di Alexandrov]] di un preordine <math>(X,\leq)</math> è quella tale che i suoi [[insieme aperto|aperti]] sono esattamente gli insiemi "[[chiusura|chiusi]] verso l'alto", cioè gli insiemi del tipo <math>S=\{y \in X: x \leq y\}</math> (in un certo senso le "[[semiretta|semirette]]" destre) al variare di <math>x</math> in <math>X</math>.

Al contrario dato uno [[spazio topologico]] si può definire un preordine, detto '''[[preordine di specializzazione]]''', dato da
:<math>x \leq y</math> se e solo se <math>cl\{x\} \subseteq cl\{y\}</math>,
dove <math>cl\{x\}</math> rappresenta la [[chiusura (topologia)|chiusura topologica]] del [[singoletto]] <math>\{x\}</math>. Questo preordine è un ordine se e solo se lo spazio è [[Spazio T0|T0]]. Vedi anche la [[topologia superiore]] e la [[topologia di Scott]].

*la [[teoria delle categorie]]: prima di tutto esiste la categoria '''Ord''', che ha come oggetti gli insiemi preordinati e come [[morfismo|morfismi]] le funzioni monotone (e come [[isomorfismo|isomorfismi]] gli isomorfismi d'ordine).

Ogni insieme ordinato o preordinato è poi anche una ''categoria piccola'', in cui gli oggetti sono gli elementi dell'insieme e i morfismi le "frecce" che puntano da <math>x</math> a <math>y</math> se <math>x\leq y</math>. Una connessione di Galois in questo senso non è che una coppia di [[funtore aggiunto|funtori aggiunti]] sulle relative categorie.

*l'[[analisi matematica]]: le [[funzione monotona|funzioni monotone]] dall'insieme dei [[numero reale|numeri reali]] in sé sono molto importanti e il loro studio si è spinto molto avanti arrivando con l'aiuto del [[calcolo infinitesimale]] a caratterizzarne numerose proprietà.
*la [[teoria della probabilità]]: un preordine su una [[algebra di insiemi]] è detto [[probabilità comparativa]]. Esso, per essere rappresentato da una [[distribuzione di probabilità]], deve sottostare certe condizioni di coerenza, principalmente studiate da [[Bruno de Finetti]].
*la [[teoria delle decisioni]] applicata alla [[microeconomia]]: lo spazio dei beni è rappresentato da un insieme <math>X</math> dotato di un preordine totale, su cui il consumatore applica varie [[funzione (matematica)|funzioni]] che ne delimitano e indirizzano la scelta, come la [[funzione budget]].
*la [[teoria dei giochi]]: ogni giocatore ha associata una lista di [[strategia|strategie]] su cui è formato un ordinamento (vedi anche [[equilibrio di Nash]]).

==Voci correlate==
*[[Insieme induttivo (teoria degli ordini)]]

== Altri progetti ==
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