Visualizza wikitesto di Teoria dei numeri geometrica

In [[teoria dei numeri]], la '''teoria dei numeri geometrica''' studia [[Corpo convesso|corpi convessi]] e vettori interi nello spazio <math>n</math>-[[Dimensione|dimensionale]]<ref>MSC classification, 2010, available at http://www.ams.org/msc/msc2010.html, Classification 11HXX.</ref>. La teoria dei numeri geometrica fu introdotta da [[Hermann Minkowski]] nel 1896.

La disciplina è strettamente connessa con altri campi della matematica, specialmente con l'[[analisi funzionale]] e l'[[approssimazione diofantea]].<ref>Libri di Schmidt. Grötschel et al., Lovász et al., Lovász.</ref>

== I risultati di Minkowski ==
Supponiamo che <math>\Gamma</math> sia un [[Reticolo (gruppo)|reticolo]] nello [[spazio euclideo]] <math>n</math>-dimensionale <math>\R^n</math> e che <math>K</math> sia un corpo convesso centralmente simmetrico.

Il teorema di Minkowski, conosciuto anche come il primo teorema di Minkowski, illustra che se <math>\mathrm{vol} (K)>2^n \mathrm{vol} (\R^n/\Gamma)</math>, allora <math>K</math> contiene un vettore non negativo in <math>\Gamma.</math>

Il minimo successivo <math>\lambda_k</math> è definito come l'[[estremo inferiore]] dei numeri <math>\lambda</math> tali che <math>\lambda K</math> contenga <math>k</math> vettori [[Indipendenza lineare|linearmente indipendenti]] di <math>\Gamma.</math>

Il teorema di Minkowski sui minimi successivi, a volte chiamato il secondo teorema di Minkowski, è un rafforzamento del primo teorema e stabilisce che<ref>Cassels (1971) pag. 203</ref>

:<math>\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n \mathrm{vol} (K)\le 2^n \mathrm{vol} (\mathbb{R}^n/\Gamma).</math>

== Ricerche successive ==
Negli anni 1930-1960 furono condotte svariate ricerche da molteplici matematici (che includono [[Louis Mordell]], [[Harold Davenport]] e [[Carl Ludwig Siegel]]). Recentemente, i matematici Lenstra, Brion, e Barvinok hanno sviluppato teorie in [[combinatoria]] che enumerano i punti del reticolo in corpi complessi.<ref>Grötschel et al., Lovász et al., Lovász, e Beck e Robins.</ref>

=== Teorema dei sottospazi di Schmidt ===
In teoria dei numeri geometrica, il teorema dei [[Sottospazio vettoriale|sottospazi]] fu descritto da [[Wolfgang M. Schmidt]] nel 1972.<ref>Schmidt, Wolfgang M. ''Norm form equations.'' Ann. Math. (2) '''96''' (1972), pag. 526-551. Si vedano anche i libri di Schmidt; Bombieri e Vaaler e anche Bombieri e Gubler.</ref> Dimostra che se <math>n</math> è un [[numero intero]] positivo, e <math>L_1(x),\ldots,L_n(x)</math> sono [[Polinomio omogeneo|polinomi omogenei]] indipendenti in <math>n</math> variabili con coefficienti algebrici e se <math>\varepsilon>0</math> è un qualsiasi [[numero reale]], allora i punti interi non negativi <math>x</math> in <math>n</math> coordinate con

:<math>|L_1(x)\cdots L_n(x)|<|x|^{-\varepsilon}</math>

giacciono su un numero finito di sottospazi vettoriali <math>\Q^n</math>

== Influenza in analisi funzionale ==
Le scoperte di Minkowski ebbero una profonda influenza in [[analisi funzionale]]. Minkowski dimostrò che corpi convessi simmetrici inducono [[Norma (matematica)|norme]] in spazi vettoriali di dimensione finita. Il teorema di Minkowski fu generalizzato negli [[Spazio topologico|spazi topologici]] vettoriali da [[Kolmogorov]].<ref>Per il teorema di norambilità di Kolmogorov, si veda ''Functional Analysis'' di Walter Rudin. Per ulteriori approfondimenti, si veda Schneider, e Thompson e Kalton et al.</ref>

Ricercatori continuano a studiare generalizzazioni in [[Insieme stellato|insiemi stellati]] ed altri [[Insieme convesso|insiemi convessi]].<ref>Kalton et al. Gardner</ref>

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* Matthias Beck, Sinai Robins. ''Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra'', [[Undergraduate Texts in Mathematics]], Springer, 2007.
* {{Cita pubblicazione|autore=[[Enrico Bombieri]]|autore2=Vaaler, J.|titolo=On Siegel's lemma|rivista=Inventiones Mathematicae|volume=73|numero=1|data=Feb 1983|pp=11–32|url=http://www.springerlink.com/content/k55042224131lp42|doi=10.1007/BF01393823|urlmorto=sì}}
* {{Cita libro|autore=[[Enrico Bombieri]] and Walter Gubler|titolo=Heights in Diophantine Geometry|editore=Cambridge U. P.|anno=2006}}
* [[J. W. S. Cassels]]. ''An Introduction to the Geometry of Numbers''. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions).
* [[John Horton Conway]] and [[Neil Sloane|N. J. A. Sloane]], ''Sphere Packings, Lattices and Groups'', Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998.
* R. J. Gardner, ''Geometric tomography,'' Cambridge University Press, New York, 1995. Second edition: 2006.
* [[Peter M. Gruber|P. M. Gruber]], ''Convex and discrete geometry,'' Springer-Verlag, New York, 2007.
* P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), ''Handbook of convex geometry. Vol. A. B,'' North-Holland, Amsterdam, 1993.
* [[Martin Grötschel|M. Grötschel]], [[László Lovász|Lovász, L.]], [[Alexander Schrijver|A. Schrijver]]: ''Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization'', Springer, 1988
* {{Cita libro|autore=Hancock, Harris|titolo=Development of the Minkowski Geometry of Numbers|url=https://archive.org/details/developmentofmin0000harr|anno=1939|editore=Macmillan}} (Republished in 1964 by Dover.)
* [[Edmund Hlawka]], Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. ''Geometric and Analytic Number Theory''. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
* {{Cita pubblicazione|cognome1=Kalton|nome1=Nigel J.|wkautore1=Nigel Kalton|cognome2=Peck|nome2=N. Tenney|cognome3=Roberts|nome3=James W.|titolo=An F-space sampler|url=https://archive.org/details/fspacesampler0000kalt|serie=London Mathematical Society Lecture Note Series, 89|editore=Cambridge University Press|città=Cambridge|anno=1984|pp=xii+240|isbn=0-521-27585-7}}
* C. G. Lekkerkererker. ''Geometry of Numbers''. Wolters-Noordhoff, North Holland, Wiley. 1969.
* {{Cita pubblicazione|autore=[[Arjen Lenstra|Lenstra, A. K.]]; [[Hendrik Lenstra|Lenstra, H. W., Jr.]]; [[László Lovász|Lovász, L.]]|titolo=Factoring polynomials with rational coefficients|url=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1982-12_261_4/page/515|rivista=[[Mathematische Annalen]]|volume=261|anno=1982|numero=4|pp=515–534|doi=10.1007/BF01457454}}
* [[László Lovász|Lovász, L.]]: ''An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity'', CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
* {{Springer|id=G/g044350|title=Geometry of numbers|first=A.V.|last=Malyshev}}
* {{Cita pubblicazione|cognome1=Minkowski|nome1=Hermann|wkautore1=Hermann Minkowski|titolo=Geometrie der Zahlen|url=https://archive.org/details/geometriederzahl00minkrich|editore=R. G. Teubner|città=Leipzig and Berlin|anno=1910|jfm=41.0239.03|accesso=28 febbraio 2016}}
* [[Wolfgang M. Schmidt]]. ''Diophantine approximation''. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
* {{Cita libro|cognome=Schmidt|nome=Wolfgang M.|wkautore=Wolfgang M. Schmidt|titolo=Diophantine approximations and Diophantine equations|serie=Lecture Notes in Mathematics|volume=1467|editore=Springer-Verlag|anno=1996|edizione=2nd|isbn=3-540-54058-X|zbl=0754.11020}}
* {{Cita libro|autore=Siegel, Carl Ludwig|wkautore=Carl Ludwig Siegel|titolo=Lectures on the Geometry of Numbers|url=https://archive.org/details/lecturesongeomet0000sieg|anno=1989|editore=Springer-Verlag}}
* Rolf Schneider, ''Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory,'' Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
* Anthony C. Thompson, ''Minkowski geometry,'' Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
* [[Hermann Weyl]]. Theory of reduction for arithmetical equivalence . Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940) 126–164. {{doi|10.1090/S0002-9947-1940-0002345-2}}
* Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence. II . Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1942) 203–231. {{doi|10.2307/1989946}}

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